Eindeutigkeit - Modulo < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Di 28.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Löse 5x [mm] \equiv [/mm] 7 mod 13 |
Hallo Leute,
ich habe mal eine Frage zur eindeutigkeit des ganzen und zwar, würde ich jetzt hergehen und x=4 nehmen, dann hätte ich 20 [mm] \equiv [/mm] 7 mod 13, aber ansich ist ja gilt doch auch 20 [mm] \equiv [/mm] 6 mod 13. Im ersten Fall hab ich den Rest, der von 20 übrig bleibt, wenn ich durch 13 teile und im 2. Fall habe ich den Rest, der von 26 (was ja auch in 13 [mm] \IZ [/mm] liegt) bleibt, wenn ich durch 20 teile. Was ist nun richtig oder geht beides?
Danke schonmal!
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Hallo AntonK,
> Löse 5x [mm]\equiv[/mm] 7 mod 13
> Hallo Leute,
>
> ich habe mal eine Frage zur eindeutigkeit des ganzen und
> zwar, würde ich jetzt hergehen und x=4 nehmen, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") dann hätte
> ich 20 [mm]\equiv[/mm] 7 mod 13,
Jo!
> aber ansich ist ja gilt doch auch
> 20 [mm]\equiv[/mm] 6 mod 13.
Nö, 13 teilt nicht 20-6=14
> Im ersten Fall hab ich den Rest, der
> von 20 übrig bleibt, wenn ich durch 13 teile
Ja, 20 und 7 lassen bei Division durch 13 denselben Rest (nämlich 7)
> und im 2.
> Fall habe ich den Rest, der von 26 (was ja auch in 13 [mm]\IZ[/mm]
> liegt) bleibt, wenn ich durch 20 teile. Was ist nun richtig
> oder geht beides?
Du bist hier doch in [mm] $\IZ_{13}$ [/mm] und nicht in [mm] $\IZ_{26}$! [/mm] Das sind verschiedene Mengen.
Die erste Lösung $x=4$ ist richtig.
Eindeutig ist sie aber "nur" modulo 13, dh. alle Zahlen [mm] $4+k\cdot{}13$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$ [/mm] lösen die erste Kongruenz genauso ...
>
> Danke schonmal!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Di 28.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Das bereitet mir irgendwie Kopfschmerzen, wie immer eigentlich, in [mm] 13\IZ [/mm] liegen doch alle vielfache von 13, also auch 26. Kann ich das als Faustregel nehmen, dass ich den Rest abziehe und schauen muss, ob das ganze dann in [mm] 13\IZ [/mm] liegt, also 20-7=13 [mm] \in 13\I? [/mm]
Ich bin immer hergegangen, habe eine Zahl eingesetzt und geschaut wie viel "Abstand" zu einem vielfachen von 13 herrscht und dann habe ich eben den niedrigsten genommen, deswegen kam ich auf 6.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Di 28.08.2012 | | Autor: | teo |
> Das bereitet mir irgendwie Kopfschmerzen, wie immer
> eigentlich, in [mm]13\IZ[/mm] liegen doch alle vielfache von 13,
> also auch 26. Kann ich das als Faustregel nehmen, dass ich
> den Rest abziehe und schauen muss, ob das ganze dann in
> [mm]13\IZ[/mm] liegt, also 20-7=13 [mm]\in 13\I?[/mm]
>
> Ich bin immer hergegangen, habe eine Zahl eingesetzt und
> geschaut wie viel "Abstand" zu einem vielfachen von 13
> herrscht und dann habe ich eben den niedrigsten genommen,
> deswegen kam ich auf 6.
Hallo, nein das ist falsch. Modulo a bedeutet immer, dass du durch a teilen musst und den Rest betrachtest.
Wenn du also 20 modulo 13 betrachtest teilst du die 20 durch 13, schaust also wie oft die 13 in die 20 passt -> 1 mal (nicht 2 mal). Also 20 - 13 = 7
Betrachtest du 34 modulo 13, so siehst du, dass die 13 nur 2 mal in die 34 passt also 34 - 2*13 = 8 und somit gilt 34 [mm] \equiv [/mm] 8 mod 13.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Di 28.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ach, ich bin ja doof, na klar, sorry, beknackte Frage. Danke euch!
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