www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Eindeutigkeit der Zahl e
Eindeutigkeit der Zahl e < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eindeutigkeit der Zahl e: Ansatz gesucht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 So 11.11.2012
Autor: Trollgut

Aufgabe
Zeige, dass es höchstens eine Zahl e [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:

[mm] (1+(1/n))^n \le [/mm] e [mm] \le (1+(1/n))^{n+1} [/mm]

Hallo,

bräuchte bitte einen kleinen Anstoß zu der Aufgabe. Ich habe bereits gezeigt, dass die Folge [mm] f_n=(1+(1/n))^n [/mm] monoton anwächst und dass die Folge [mm] k_n=(1+(1/n))^{n+1} [/mm] monoton fällt.

Jetzt muss ich noch zeigen, dass es eben höchstens einen Wert e gibt, so dass obige Bedingung erfüllt ist. Üblicherweise nimmt man bei so einem Beweis ja an, dass es zwei Zahlen gibt die die Bedingung erfüllen und zeigt dann, dass die beiden Zahlen gleich sind. Nur komme ich dabei nicht so recht voran.

Es wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz liefern könnte.

Gruß



        
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:33 So 11.11.2012
Autor: Diophant

Hallo,

reicht da nicht

[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right) [/mm]

bereits aus, zusammen mit den Grenzwertsätzen?


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:43 So 11.11.2012
Autor: Trollgut

Das Problem ist, dass ich die nicht verwenden darf weil wir die in der Vorlesung noch nicht hatten. Deswegen habe ich mit uns schon bekannten Sätzen bewießen (so wie es auch als Tipp bei der Aufgabe daneben stand), dass gilt:

[mm] (1+\frac{1}{n})^n \le (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} [/mm] und [mm] (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \le (1+\frac{1}{n})^{n+1} [/mm]

und weiß jetzt nicht so recht wie ich weiter machen soll. Ich hatte mir gedacht, dass ich zeigen könnte, dass gilt:
[mm] sup((1+\frac{1}{n+1})^{n+1}) [/mm] = [mm] inf((1+\frac{1}{n+1})^{n+2}) [/mm] = e

Bezug
                        
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 So 11.11.2012
Autor: Diophant

Hallo Trollgut,

ich bin hier eher so der Hobby-Mathematiker, von daher kenne ich mich nicht sonderlich gut aus mit den üblichen Reihenfolgen beim Aufbau einer Vorlesung wie Analysis 1.

Von daher betrachte meine Antwort als 'Schuss aus der Hüfte' und verwende den Tipp von reverend weiter unten. Es ist zwar eigentlich nur ein technischer Unterschied zwiscehn den Vorgehensweisen, aber der ist halt wichtig. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 So 11.11.2012
Autor: Richie1401

Hallo,

es kommt mit dem von Diophant ziemlich gleich, wickelt das ganze aber so auf, wie du es gerne haben wolltest. Daher kommt hier mein Ansatz

Anahme:
[mm] (1+(1/n))^n\to{}e [/mm]
[mm] (1+(1/n))^{n+1}\to{}e' [/mm]

Beide Folgen konvergieren. Man betrachtet (Grenzwertsätze)

[mm] \frac{(1+(1/n))^n}{(1+(1/n))^{n+1}}=\frac{e}{e'} [/mm]

[mm] \frac{1}{1+1/n}=\frac{e}{e'} [/mm]

Für [mm] n\to\infty [/mm] ergibt sich: $ [mm] 1=\frac{e}{e'} \gdw [/mm] e=e' $

Bezug
                
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:01 So 11.11.2012
Autor: reverend

Hallo Richie,

das ist hübsch und einfach - wenn man die Grenzwertsätze verwenden darf.

Das scheint aber nicht der Fall zu sein.

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 So 11.11.2012
Autor: reverend

Hallo Trollgut,

> Zeige, dass es höchstens eine Zahl e [mm]\in \IR[/mm] gibt, so dass
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>  
> [mm](1+(1/n))^n \le[/mm] e [mm]\le (1+(1/n))^{n+1}[/mm]
>  Hallo,
>  
> bräuchte bitte einen kleinen Anstoß zu der Aufgabe. Ich
> habe bereits gezeigt, dass die Folge [mm]f_n=(1+(1/n))^n[/mm]
> monoton anwächst und dass die Folge [mm]k_n=(1+(1/n))^{n+1}[/mm]
> monoton fällt.

Wunderbar. Dann fehlt ja nicht mehr viel.

> Jetzt muss ich noch zeigen, dass es eben höchstens einen
> Wert e gibt, so dass obige Bedingung erfüllt ist.
> Üblicherweise nimmt man bei so einem Beweis ja an, dass es
> zwei Zahlen gibt die die Bedingung erfüllen und zeigt
> dann, dass die beiden Zahlen gleich sind. Nur komme ich
> dabei nicht so recht voran.
>  
> Es wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz liefern
> könnte.

Zeige: [mm] \lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}-\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}\right)=0 [/mm]

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 So 11.11.2012
Autor: Trollgut

Sorry. Ich hatte mich etwas blöd in meinem Anfangstext ausgedrückt. Ich habe nicht gezeigt, dass die Folgen monoton wachsen oder fallen (diese Begriffe von Monotonie und Grenzwerten hatten wir noch nicht), sondern dass gilt:

[mm] (1+\frac{1}{n})^n \le (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} [/mm] und [mm] (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \le (1+\frac{1}{n})^{n+1} [/mm]

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 So 11.11.2012
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Sorry. Ich hatte mich etwas blöd in meinem Anfangstext
> ausgedrückt. Ich habe nicht gezeigt, dass die Folgen
> monoton wachsen oder fallen (diese Begriffe von Monotonie
> und Grenzwerten hatten wir noch nicht), sondern dass gilt:
>  
> [mm](1+\frac{1}{n})^n \le (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}[/mm] und
> [mm](1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \le (1+\frac{1}{n})^{n+1}[/mm]

Gut. Das reicht doch trotzdem.
Nimm an, es gebe zwei verschiedene Grenzwerte, wie vorher: $e,e'$.

Also [mm] \lim()^n=e [/mm] und [mm] \lim()^{n+1}=e'. [/mm]
Bin gerade schreibfaul, aber Du weißt,was ich meine...

Wenn Du den von mir genannten Grenzwert [mm] \lim(()^{n+1}-()^n)=0 [/mm] zeigen kannst, bist Du doch trotzdem fertig. Das kann ja nur sein, wenn $e=e'$ ist (Sandwich-Lemma).

Grüße
reverend


Bezug
                                
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:24 So 11.11.2012
Autor: Trollgut

Danke :). Ich dachte nur, dass es vielleicht noch eine Möglichkeit gäbe den Beweis zu führen ohne Grenwertsätze zu verwenden. Aber ich machs jetzt einfach so.

Bezug
                                        
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:34 So 11.11.2012
Autor: reverend

Hallo,

> Danke :). Ich dachte nur, dass es vielleicht noch eine
> Möglichkeit gäbe den Beweis zu führen ohne
> Grenwertsätze zu verwenden.

So geht es doch ohne Grenzwertsätze!

> Aber ich machs jetzt einfach
> so.

Dann mal los.

lg
rev


Bezug
                                                
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:38 So 11.11.2012
Autor: Richie1401

Hallo reverend,

> Hallo,
>  
> > Danke :). Ich dachte nur, dass es vielleicht noch eine
> > Möglichkeit gäbe den Beweis zu führen ohne
> > Grenwertsätze zu verwenden.
>
> So geht es doch ohne Grenzwertsätze!

Naja, nicht ganz. Immerhin benutzt du hier den einfachsten Grenzwertsatz den es wohl gibt:
[mm] \lim{a_n}+\lim{b_n}=\lim{(a_n+b_n)} [/mm]

(ich bin auch ein bisschen schreibfaul, wegen [mm] n\to\{n_0}) [/mm]

>  
> > Aber ich machs jetzt einfach
> > so.
>
> Dann mal los.
>  
> lg
>  rev
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 Mo 12.11.2012
Autor: reverend

Hallo Richie,

wir haben die Annahme [mm] a_n\le e\blue{<}e'\le b_n [/mm]

[mm] \gdw\quad a_n-b_n\le e-b_n\blue{<}e'-b_n\le{0} [/mm]

Wenn nun [mm] \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0 [/mm] ist, dann brauche ich hier keinen Grenzwertsatz mehr, oder?

Sauberer ist dennoch, auf [mm] (a_n-b_n) [/mm] das [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] anzuwenden, was letztlich auf Wolfgangs Vorgehen hinausläuft, weiter unten im Thread.

Grüße
reverend




Bezug
                                                                
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Mo 12.11.2012
Autor: Richie1401

Hallo reverend,

das stimmt natürlich. Ich habe deinen Gedankengang anders interpretiert.
Ich entschuldige mich.

Liebe Grüße.

Bezug
        
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 So 11.11.2012
Autor: fred97


> Zeige, dass es höchstens eine Zahl e [mm]\in \IR[/mm] gibt, so dass
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>  
> [mm](1+(1/n))^n \le[/mm] e [mm]\le (1+(1/n))^{n+1}[/mm]
>  Hallo,
>  
> bräuchte bitte einen kleinen Anstoß zu der Aufgabe. Ich
> habe bereits gezeigt, dass die Folge [mm]f_n=(1+(1/n))^n[/mm]
> monoton anwächst und dass die Folge [mm]k_n=(1+(1/n))^{n+1}[/mm]
> monoton fällt.
>
> Jetzt muss ich noch zeigen, dass es eben höchstens einen
> Wert e gibt, so dass obige Bedingung erfüllt ist.
> Üblicherweise nimmt man bei so einem Beweis ja an, dass es
> zwei Zahlen gibt die die Bedingung erfüllen und zeigt
> dann, dass die beiden Zahlen gleich sind. Nur komme ich
> dabei nicht so recht voran.
>  
> Es wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz liefern
> könnte.
>  
> Gruß
>  
>  

Mein Vorschlag: Zeige zunächst, dass [mm] (f_n) [/mm] beschränkt ist. Es gibt also ein c>0 mit [mm] f_1 \le f_n \le [/mm] c für alle n.

Dann zeige:

      0 [mm] \le k_n-f_n [/mm] = [mm] \bruch{f_n}{n} [/mm]

Also:  0 [mm] \le k_n-f_n [/mm] = [mm] \bruch{c}{n} [/mm]  für alle n.

Vergiss Herrn Archimedes nicht.

FRED

Bezug
                
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 So 11.11.2012
Autor: Trollgut

Hallo,

hätte ich dann nicht nur gezeigt, dass es überhaupt eine solche Zahl e gibt? Was ist mit der Eindeutigkeit der Zahl?

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 So 11.11.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> hätte ich dann nicht nur gezeigt, dass es überhaupt eine
> solche Zahl e gibt? Was ist mit der Eindeutigkeit der
> Zahl?

Also gut: wir nehmen an, es gäbe a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a<b und [mm] f_n \le [/mm] a<b [mm] \le k_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm]

Dann wäre  0<b-a [mm] \le k_n-f_n \le [/mm] c/n für alle .

Es würde folgen: n [mm] \le \bruch{c}{b-a} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm]

Da hat aber Herr Arcimedes gewaltig was dagegen !

FRED

>  
> Gruß


Bezug
                                
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:45 So 11.11.2012
Autor: Trollgut

Vielen Dank! :)

Bezug
        
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 So 11.11.2012
Autor: Helbig


> Zeige, dass es höchstens eine Zahl e [mm]\in \IR[/mm] gibt, so dass
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>  
> [mm](1+(1/n))^n \le[/mm] e [mm]\le (1+(1/n))^{n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  Hallo,
>  
>
> Jetzt muss ich noch zeigen, dass es eben höchstens einen
> Wert e gibt, so dass obige Bedingung erfüllt ist.
> Üblicherweise nimmt man bei so einem Beweis ja an, dass es
> zwei Zahlen gibt die die Bedingung erfüllen und zeigt
> dann, dass die beiden Zahlen gleich sind. Nur komme ich
> dabei nicht so recht voran.
>  
> Es wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz liefern
> könnte.

Einen Widerspruchsbeweis anzugehen ist schon mal eine gute Idee.

Nimm also an, es gäbe zwei verschiedene Zahlen $a$ und $b$, $a<b$, so daß

$\left(1+\frac 1 n\right)^n \le a < b \le \left(1+\frac 1 n\right)^{n+1}$ für alle $n\in \IN$.

Dann ist

$\left(1+\frac 1 n\right)^{n+1}- \left(1+\frac 1 n\right)^{n} \ge b-a\,.$

Jetzt kannst Du $\left(1+\frac 1 n\right)^{n$ auf der linken Seite ausklammern und ein $n$ finden, das die Ungleichung verletzt.

Versuch es mal!

Gruß,
Wolfgang

PS. Hierzu brauchst Du keine Grenzwertsätze. Die könnten wir auch gar nicht anwenden, da wir nicht wissen, ob die Folgen konvergieren.

Bezug
                
Bezug
Eindeutigkeit der Zahl e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 So 11.11.2012
Autor: Trollgut

Ich danke dir :).
Gruß

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de