Eindeutigkeit einer lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im [mm] \IR^{3} [/mm] seien folgende Vektoren gegeben:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} x_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} x_{3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} y_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 2} y_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} y_{3} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -3}
[/mm]
a) Zeigen Sie das es genua eine lineare Abbildung T : [mm] \IR [/mm] ^{3} -> [mm] \IR [/mm] ^{3} gibt mit T ( [mm] x_{i} [/mm] = [mm] y_{i} [/mm] mit i = 1,2,3
b) Bestimmen sie Kern T , Bild T und deren Dimension.
c) Zeigen Sie, dass T [mm] \circ [/mm] T = T |
Im [mm] \IR^{3} [/mm] seine folgende Vektoren gegeben:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} x_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} x_{3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} y_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 2} y_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} y_{3} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -3}
[/mm]
a) Zeigen Sie dass es genau eine lineare Abbildung T : [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{3} [/mm] gibt mit [mm] T(x_{i}) [/mm] = [mm] y_{i} [/mm] für i =1,2,3
b) Bestimmen Sie Kern(T) und Bild(T) und deren Dimension.
c) Zeigen Sie, dass T [mm] \circ [/mm] T = T gilt. </task>
Hi ,
habe was für a) und b) raus bin mir aber mal wieder sehr unsicher!
a) Da man ja A [mm] \in \IR^{3x3} [/mm] sucht für das gilt [mm] Ax_{i} [/mm] = [mm] y_{i} [/mm] , habe ich für jede Zeile der Darstellunsgmatrix drei Gleichungen bekommen die ich jeweils in ein LGS gebracht habe. Für die 1. Zeile der Darstellungsmatrix ergab das:
[mm] x_{2} [/mm] = -1
[mm] x_{3} [/mm] = 1
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 4 => [mm] x_{1} [/mm] = 2
Am Ende hatte ich damit die drei Zeilen der Darstellungsmatrix einzeln ausgerechnet und diese Matrix erhalten.
A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 }
[/mm]
Sie scheint auch richtig zu sein, denn wenn ich mit einem [mm] x_{i} [/mm] Vektor von links multipliziere kommt der entsprechende [mm] y_{i} [/mm] Vektor raus.
Meine Frage ist: Habe ich dadurch die Eindeutigeit gezeigt oder nur die einzige Lösung angegeben. Habe im Internet gelesen dass man die Eideutigkeit dadurch zeigt dass Bild und Urbild die selbe Basis haben, oder so? Hätte ich das so machen müssen?
b) Hier habe ich um den Kern zu berechnen meine errechnete Darstellungsmatrix zu einem homogenen System erweitert. Nach gaußschem eliminieren habe ich diese Matrix bekommen:
[mm] A_{h} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] hier sehe ich zumindest, dass es für dieses System nur die triviale Lösung und die Lösung
[mm] x_{h} [/mm] = [mm] \vektor{-0,5 \\ 0 \\ 1} [/mm] daraus folg doch das [mm] spann={x_{h} } [/mm] = Kern(T) => dim Kern (T) = 1 und Kern(T) = { x [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] a*x_{h} [/mm] } mit a [mm] \in \IR, [/mm] soweit Korrekt?
Die Dimension vom Bild habe ich durch die Gleichung dim V = dim Kern + dim Bild rausbekommen dim Bild = 3 - 1 = 2 und somit ist aus dim Kern = 2 das die Abbildung eindeutig ist, odeR?
Jetzt soll ich noch Bild T bestimmen, aber hier weiß ich nicht recht weiter. Hier Brauche ich ja eine Menge die alle drei y Vektoren von oben enthällt?
c) Hier komme ich auch nicht weiter:
T [mm] \circ [/mm] T = T (Ax) = A(Ax) das Ax= y => A(y) ... wieso ist das gleicht T, also A(y)=T
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> Im [mm]\IR^{3}[/mm] seien folgende Vektoren gegeben:
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0} x_{2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1} x_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1} y_{1}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 2} y_{2}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1} y_{3}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ -3}[/mm]
> a)
> Zeigen Sie das es genua eine lineare Abbildung T : [mm]\IR[/mm] ^{3}
> -> [mm]\IR[/mm] ^{3} gibt mit T ( [mm]x_{i}[/mm] = [mm]y_{i}[/mm] mit i = 1,2,3
> b) Bestimmen sie Kern T , Bild T und deren Dimension.
> c) Zeigen Sie, dass T [mm]\circ[/mm] T = T
> Im [mm]\IR^{3}[/mm] seine folgende Vektoren gegeben:
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0} x_{2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1} x_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1} y_{1}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 2} y_{2}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1} y_{3}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ -3}[/mm]
> a)
> Zeigen Sie dass es genau eine lineare Abbildung T : [mm]\IR^{3}[/mm]
> -> [mm]\IR^{3}[/mm] gibt mit [mm]T(x_{i})[/mm] = [mm]y_{i}[/mm] für i =1,2,3
> b) Bestimmen Sie Kern(T) und Bild(T) und deren Dimension.
> c) Zeigen Sie, dass T [mm]\circ[/mm] T = T gilt.
> Hi ,
> habe was für a) und b) raus bin mir aber mal wieder sehr
> unsicher!
> a) Da man ja A [mm]\in \IR^{3x3}[/mm] sucht für das gilt [mm]Ax_{i}[/mm] =
> [mm]y_{i}[/mm] , habe ich für jede Zeile der Darstellunsgmatrix
> drei Gleichungen bekommen die ich jeweils in ein LGS
> gebracht habe. Für die 1. Zeile der Darstellungsmatrix
> ergab das:
> [mm]x_{2}[/mm] = -1
> [mm]x_{3}[/mm] = 1
>
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 4 => [mm]x_{1}[/mm] = 2
> Am Ende hatte ich damit die drei Zeilen der
> Darstellungsmatrix einzeln ausgerechnet und diese Matrix
> erhalten.
> A = [mm]\pmat{ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 }[/mm]
> Sie
> scheint auch richtig zu sein, denn wenn ich mit einem [mm]x_{i}[/mm]
> Vektor von links multipliziere kommt der entsprechende
> [mm]y_{i}[/mm] Vektor raus.
Hallo,
mir scheint Deine matrix nicht ganz richtig zu sein, bei Multiplikation mit dem Vektor [mm] x_3 [/mm] bekommt man das falsche Ergebnis.
Das ist nicht so wild, ein kleiner Rechenfehler. Im Prinzip kann man das so machen, wie Du es tust - es ist allerdings sehr (=zu) zeitaufwendig(s.u.)
> Meine Frage ist: Habe ich dadurch die Eindeutigeit gezeigt
Die Eindeutigkei ist gezeigt.
Aufgrund der vorgegebenen Bedingungen hast Du ein Gleichungssystem erhalten, welches eindeutig lösbar ist.
Andernfalls wäre Dein GS nicht lösbar gewesen oder hätte unendlich viele Lösungen gehabt.
Allerdings ignorierst Du mit Deiner Vorgehensweise Dinge, die Du gelernt hast, und die Dir das Leben leicht machen können:
Zur Eindeutigkeit.
Die [mm] x_i [/mm] sind offensichtlich eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Du hast gelernt, daß lineare Funktionen durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind - und diesen Fall hast Du hier.
Die Darstellungsmatrix:
Du weißt (oder solltest es wissen), daß in den Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren stehen.
Wenn Du nun die Matrix bzgl der Standardbasis aufstellen möchtest, dann hast Du alles bis auf [mm] f(\vektor{1\\0\\0}), [/mm] und diesen Funktionswert bekommst Du leicht aus
[mm] 2\vektor{1\\0\\0}=x_3-x_1-x_2. [/mm]
Rechne den Funktionswert aus. Damit hast Du dann auch die erste Spalte Deiner Matrix, die anderen beiden brauchst Du bloß hinzuschreiben.
> oder nur die einzige Lösung angegeben. Habe im Internet
> gelesen dass man die Eideutigkeit dadurch zeigt dass Bild
> und Urbild die selbe Basis haben, oder so?
Das klingt ein bißchen abenteuerlich.
> Hätte ich das
> so machen müssen?
Nein.
>
> b) Hier habe ich um den Kern zu berechnen meine errechnete
> Darstellungsmatrix zu einem homogenen System erweitert.
> Nach gaußschem eliminieren habe ich diese Matrix
> bekommen:
Ich mache jetzt einfach an dieser Stelle weiter, obgleich die matrix ja nicht stimmte. Du mußt das also nochmal rechnen.
Mir geht's um das Prinzip und nicht um die konkrete Aufgabe.
Die Vorgehensweise ist zunächst mal völlig richtig.
> [mm]A_{h}[/mm] = [mm]\pmat{ \red{2 }& -1 & 1 & 0 \\ 0 & \red{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> hier sehe ich zumindest, dass es für dieses System nur die
> triviale Lösung und die Lösung
> [mm]x_{h}[/mm] = [mm]\vektor{-0,5 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Vielleicht ist es nur ein Formulierungsproblem, vielleicht aber auch steckt ein falsches Verständnis dahinter:
dieses System hat nicht nur dieses beiden Lösungen!
Richtig ist, daß es aufgrund des Ranges neben der trivialen Lösung noch eine weitere Lösung gibt.
Der rang der matrix =2, also hat der kern die Dimension 1,
und
> [mm]x_{h}[/mm] = [mm]\vektor{-0,5 \\ 0 \\ 1}[/mm]
ist eine Basis des Lösungsraumes dieses homogenen Systems, also eine Basis des Kerns.
>daraus folg doch das
> [mm]spann={x_{h} }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= Kern(T)
Richtig.
> => dim Kern (T) = 1 und Kern(T) = { x [mm]\in \IR^{3}[/mm] | [mm]a*x_{h}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} mit a [mm]\in \IR,[/mm] soweit Korrekt?
Ja. Also war's oben eher eine Frage der Formulierung.
> Die Dimension vom Bild habe ich durch die Gleichung dim V
> = dim Kern + dim Bild rausbekommen
Das ist eigntlich gar nicht so geschickt. Es ist dim Bild =Rang, also kannst Du direkt ablesen, daß das Bild die Dimension 2 hat.
(Mit Deiner Formel würde man anschließend eher die Dimension des Kerns ermitteln.)
> dim Bild = 3 - 1 = 2 und
Ja.
> somit ist aus dim Kern = 2 das die Abbildung eindeutig ist,
> odeR?
Hä? Vielleicht ist das nur so reingerutscht aufgrund des Eigenlebens, welches Rechner manchmal entwickeln.
> Jetzt soll ich noch Bild T bestimmen, aber hier weiß ich
> nicht recht weiter. Hier Brauche ich ja eine Menge die alle
> drei y Vektoren von oben enthällt?
Kochrezept:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot markiert) stehen in Spalte 1 und 2, also sind die 1. und 2. Spalte der Ursprungsmatrix (!!!) eine Basis des Bildes.
>
> c) Hier komme ich auch nicht weiter:
> T [mm]\circ[/mm] T = T (Ax) = A(Ax) das Ax= y => A(y) ... wieso
> ist das gleicht T, also A(y)=T
Wenn Du dann später die richtige Matrix hast A, dann schau einfach nach, ob [mm] A^2=A.
[/mm]
Wenn [mm] A^2=A, [/mm] dann ist [mm] T^2=T.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hi,
also du hast richtig gemerkt. Das Verständnis habe ich noch nicht ganz... also erstmal zur a):
erstmal ja , habe die A wirklich falsch abgetippt: das ist die Richtige Darstellungsmatrix, dann kommt es auch mit [mm] x_{3} [/mm] hin:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 2 & -1}
[/mm]
aber ist ja erstmal auch egal. Will ja den " richtigen" Weg können.
> Die [mm] x_{i} [/mm] sind offensichtlich eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm]
Das wissen wir, weil wir ein V_Raum mit dim = 3 haben und die drei Vektoren lin. unabhängig sind voneinander, richtig?(Will mich grad bisschen absichern, damit bei mir dann alle richtig ist im Kopf)
>lineare Funktionen durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind
Ok, was heißt "Angabe ihrer Werte auf einer Basis"? Meinst du, dass die Darstellungsmatrix , und somit die lin. Abb. durch die bestimmt ist durch ihrer Basis? Also jede Basis eine andere Darstellungsmatrix hervorruft?
>[i] in den Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren stehen[i/]
Bilder der Basisvektoren? Sind das die Vektoren die die Basisvektoren als lin. Kombination erstellen?
Den letzten Schritt mit der Standartbasis aufstellen verstehe ich auch nicht ganz? Die Standartbasis ist [mm] doch{e_{1},e_{2},e_{3} }, [/mm] soll ich jetzt auf der Basis meine Darstellungsmatrix aufstellen?
Und wo genau zeige ich das die Abbildung eindeutig ist, indem ich zeige das es nur eine Basis gibt? Weil doch die Darstellungsmatrix von der Basis bestimmt wird.
b)
>Richtig ist, daß es aufgrund des Ranges neben der trivialen Lösung noch eine weitere Lösung gibt.
was sagt den der Rang über die anzahl der Lösungen aus, er sagt mir doch nur wie viele lin. unabhängige Zeile das LGS hat. Wie leitet man das herraus?
>Der rang der matrix =2, also hat der kern die Dimension 1
Durch welche Gesetzmäßigkeit kann man das folgern? Tut mir leid wenn ich so simple elementare Frage stelle, ab ich will deine Folgerung auch direkt verstehen, wie du sie machst, aber irgendwie sehe ich das noch nicht.
>dim Bild =Rang
Rang von was ? Des homogenen Systems?
Danke schon mal im voraus!!!
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> > Die [mm]x_{i}[/mm] sind offensichtlich eine Basis des [mm]\IR^{3}[/mm]
>
> Das wissen wir, weil wir ein V_Raum mit dim = 3 haben und
> die drei Vektoren lin. unabhängig sind voneinander,
> richtig?
Hallo,
ja, das ist richtig.
>
> >lineare Funktionen durch Angabe ihrer Werte auf einer
> Basis eindeutig bestimmt sind
>
> Ok, was heißt "Angabe ihrer Werte auf einer Basis"?
Wenn Du irgendeine Basis des Startraumes hast und vorgegeben ist, wie die Funktionswerte für diese Basisvektoren lauten sollen, dann gibt es keinen Spielraum mehr.
Die lineare Abbildung ist hierdurch festgelegt.
Warum ist das so:
Jedes Element der Definitionsmenge kann man als Linearkombination der Basisvektoren schreiben, und aufgrund der Linearität der Funktion ergeben sich hieraus dann die Funktionswerte.
>
> > in den Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der
> Basisvektoren stehen[i/]
>
> Bilder der Basisvektoren? Sind das die Vektoren die die
> Basisvektoren als lin. Kombination erstellen?
>
Die Bilder der Basisvektoren sind das, was rauskommt, wenn man die Abbildung auf die Basisvektoren (des Startraumes) anwendet.
> Den letzten Schritt mit der Standartbasis aufstellen
> verstehe ich auch nicht ganz? Die Standartbasis ist
> [mm]doch{e_{1},e_{2},e_{3} },[/mm] soll ich jetzt auf der Basis
> meine Darstellungsmatrix aufstellen?
Ja, genau.
> Und wo genau zeige ich das die Abbildung eindeutig ist,
> [iindem ich zeige das es nur eine Basis gibt?
Das wird schwerlich gelingen. Es giubt doch ganz viele Basen.
Die Eindeutigkeit ergibt sich aus dem von mir genannnten Satz, ich habe Dir oben angedeutet, wie das kommt.
Der Satz ist sehr wahrscheinlich in der Vorlesung drangewesen, eventuell auch in einer Formulierung mit "...läßt sich eindeutig zu einer linearen Abbildung fortsetzen."
> die
> Darstellungsmatrix von der Basis bestimmt wird.
Ja.
>
> b)
> >Richtig ist, daß es aufgrund des Ranges neben der
> trivialen Lösung noch eine weitere Lösung gibt.
>
> was sagt den der Rang über die anzahl der Lösungen aus,
> er sagt mir doch nur wie viele lin. unabhängige Zeile das
> LGS hat. Wie leitet man das herraus?
Der Rang ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten und damit die Dimension des Bildes.
Homogene lineare Gleichungssysteme mit n Gleichungen und n Variablen sind eindeutig lösbar (also nur die triviale Lösung), wenn der Rang der Koeffizientenmatrix =n ist,
und ist er kleiner, so hat der Lösungsraum mindestens die Dimension 1.
>
> >Der rang der matrix =2, also hat der kern die Dimension 1
>
> Durch welche Gesetzmäßigkeit kann man das folgern? Tut
Aus dem Kern-Bild-Satz: f linear von [mm] V\to [/mm] W, dann gilt dim V= dim kern f +dim bild f.
Dim bild f= Rang der Darstellungsmatrix.
>
> >dim Bild =Rang
Rang der Darstellungsmatrix.
Gruß v. Angela
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Hi,
also erst mal Danke. Merke beim Durchlesen, dass ich vieles gar nicht richtig verinnerlicht habe. Ich verstehe jetzt, das ich dadurch, dass die Startbasis gegeben ist über [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] und auch die Funktionswerte der Abbildung gegeben sind, die Abbildung eindeutig festgelegt ist. Wie ich meine Basis wähle ist egal, jedoch gibt es dann nur eine eindeutige Darstellungsmatrix, welche ich bekomme wenn ich meine Basisverktoren in die Abbildung einsetze und damit die Bilder der Basisvektoren bekomme, aus denen ja die Darstellungsmatrix besteht.
Wählen wir nur die Basis aus den Einheitsvektoren als Startbasis. Brauch ich den für die Bestimmung der Basisvektorbilder nicht die Basis der Zielmenge. Da kann man doch die Basis auch wieder beliebig wählen,oder? Heißt das, ich muss beide Basen wählen( hier z.B beide Base aus Einheitsvektoren) und dann mit denen die Bilder der Startbasisvektoren bestimmen, aus denen sich das die Matrix erstellen lässt?
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> Hi,
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> also erst mal Danke. Merke beim Durchlesen, dass ich vieles
> gar nicht richtig verinnerlicht habe. Ich verstehe jetzt,
> das ich dadurch, dass die Startbasis gegeben ist über
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] und auch die Funktionswerte der Abbildung
> gegeben sind, die Abbildung eindeutig festgelegt ist.
Hallo,
genau. Damit hast Du etwas sehr Wichtiges in Bezug auf lineare Abbildungen begriffen.
> Wie
> ich meine Basis wähle ist egal, jedoch gibt es dann nur
> eine eindeutige Darstellungsmatrix, welche ich bekomme wenn
> ich meine Basisverktoren in die Abbildung einsetze und
> damit die Bilder der Basisvektoren bekomme, aus denen ja
> die Darstellungsmatrix besteht.
Bzgl. vorgegebener Basen ist die Darstellungsmatrix eindeutig. Ändere ich natürlich die Basen in Start- und Zielraum, so ändert sich auch die Matrix - obgleich sie dieselbe Abbildung beschreibt.
>
> Wählen wir nur die Basis aus den Einheitsvektoren als
> Startbasis. Brauch ich den für die Bestimmung der
> Basisvektorbilder nicht die Basis der Zielmenge.
Ja. Ich hatte in Deinem Beispiel die Darstllungsmatrix bzgl. der Standardbasis in Start- und Zielraum gewählt, weil sie einem zunächst am vertrautesten ist.
> Da kann
> man doch die Basis auch wieder beliebig wählen,oder?
Könnte man machen.
> Heißt das, ich muss beide Basen wählen( hier z.B beide
> Base aus Einheitsvektoren) und dann mit denen die Bilder
> der Startbasisvektoren bestimmen, aus denen sich das die
> Matrix erstellen lässt?
Ja. man entscheidet sich für je eine Basis, bestimmt die Bilder der Basisvektoren und drückt sie in Koordiniaten bzgl der zweiten Basis aus.
Man muß dann aber immer die Basen zur matrix notieren. Wenn nichts dasteht, ist üblicherweise die jeweilige Standardbasis gemeint.
Gruß v. Angela
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Hi,
mit diesem Verfahren auf die Basisvektorbilder zu kommen habe ich grad wirklich Schwierigkeiten.
Wählen wir nun die Basis [mm] {e_{1},e_{2},e_{3} } [/mm] bzgl. Start- und Zielraum. Wie fange ich das nun an?
[mm] T(x_{1}) [/mm] ergibt ja nach Afg.stellung [mm] y_{1} [/mm] , also:
[mm] T(\vektor{0 \\ 1 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 2} [/mm] = [mm] -1e_{1} [/mm] + [mm] e_{2} [/mm] + [mm] 2e_{3} [/mm]
heißt dass jetzt die zweite Spalte meine Darstellungsmatrix ist (-1, 1, [mm] 2)^{t}. [/mm] Die 2. Spalte weil [mm] x_{1} [/mm] = [mm] e_{2}?
[/mm]
Wenn das wirklich das richtige Vorgehen ist, was mache ich dann mit [mm] e_{1}, [/mm] dafür steht ja in der Aufg. nicht auf was es abgebildet wird? wird habe ja nur den [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
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> Hi,
> mit diesem Verfahren auf die Basisvektorbilder zu kommen
> habe ich grad wirklich Schwierigkeiten.
> Wählen wir nun die Basis [mm]{e_{1},e_{2},e_{3} }[/mm] bzgl.
> Start- und Zielraum. Wie fange ich das nun an?
> [mm]T(x_{1})[/mm] ergibt ja nach Afg.stellung [mm]y_{1}[/mm] , also:
> [mm]T(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}[/mm] = [mm]-1e_{1}[/mm]
> + [mm]e_{2}[/mm] + [mm]2e_{3}[/mm]
> heißt dass jetzt die zweite Spalte meine
> Darstellungsmatrix ist (-1, 1, [mm]2)^{t}.[/mm]
Hallo,
ja, genau, wenn wir bzgl. der Standardbasen arbeiten, ist das die zweite Spalte.
> Die 2. Spalte weil
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]e_{2}?[/mm]
Ja.
> Wenn das wirklich das richtige Vorgehen ist, was mache ich
> dann mit [mm]e_{1},[/mm] dafür steht ja in der Aufg. nicht auf was
> es abgebildet wird? wird habe ja nur den [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Ich glaube, das hatte ich sogar eingangs schon geschrieben - oder gedacht:
Deine [mm] x_i [/mm] sind doch eine Basis, also kannst Du [mm] e_1 [/mm] schreiben als [mm] e_1=\summe \lambda_ix_i.
[/mm]
Und dann für den Funktionswert die Linearität verwenden: [mm] f(x_1)=f(\summe \lambda_ix_i)=\summe\lambda_if(x_i).
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hi,
danke! Wieder was dazugelernt.
Somit gehe ich für das Bild von [mm] e_{1} [/mm] wie folgt vor:
[mm] T(e_{1}) [/mm] = [mm] T(\bruch{1}{2} (x_{3} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2}) [/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} T(x_{3} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] T(x_{3}) [/mm] - [mm] T(x_{2}) [/mm] - [mm] T(x_{2}) [/mm] )
Somit kriege ich auch die Darstellungsmatrix für die alle Argumente mit ihren Bilder stimmen.
Noch mal kurz zum Verständnis von der b) :
Ich bilde ja das homogene LGS und Kriege eine 3x3 - Matrix mit eine Nullzeile raus. Daraus folg nun:
Rang (A|0) = Rang (A) = 2 und wengen dimV=dimKern + dimBild mit dimBild = RangA =>dimKern = dimV - RangA =1
Aus der (A|0) Matrix kriegt man nur die Triviallösung und eine nichttriviale, in dem man einen [mm] x_{i} [/mm] selber setzt.
Dadurch ergibt KernA = [mm] {x\in \IR^{3} : x = a*x_{h} , a\in \IR }
[/mm]
Und noch schnell die c) :)
Ich soll ja zeigen das [mm] T\circ [/mm] T = T
Ich bezweifle das ein Beispiel mit meiner Darstellunsgmatrix hier ausreicht. D.h. ich muss es allg. beweisen.
[mm] T\circ [/mm] T = T(T(v)) = A(A(v) = (AA)(v) = A(v)
Wie zeige ich jetzt aber allgemein das [mm] A^{2} [/mm] = A
Das muss doch was damit zu tun haben, dass A aus den Bilder der Basisvektoren besteht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 05.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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