Eindeutigkeit von Potenzreihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Fr 06.01.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | Sei P(x) = [mm] \summe_{n=o}^{\infty}c_nx^n [/mm] eine reelle potenzreihe mit konvergenzradius R>0
zeigen Sie: Ist P(x)=o für alle [mm] x\in [/mm] (-R,+R), so ist [mm] c_n=0 [/mm] für alle n [mm] \in IN_0 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgabe ist im prinzip kein problem wenn man den Eindeutigkeitssatz für potenzreihen verwendet aber da wir den in der Vorlesung nicht hatten muss ich den wohl beweisen und da weiß ich nicht wie ich anfangen soll
Alternativ habe ich mir auch überlegt,dass
weil R>0 ist nicht alle x [mm] \in [/mm] (-R,+R) null sind und außer für x=1 die Reihe nur null wird wenn alle [mm] c_n=0 [/mm] sind dass kann ich aber leider auch nicht beweisen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei P(x) = [mm]\summe_{n=o}^{\infty}c_nx^n[/mm] eine reelle
> potenzreihe mit konvergenzradius R>0
> zeigen Sie: Ist P(x)=o für alle [mm]x\in[/mm] (-R,+R), so ist [mm]c_n=0[/mm]
> für alle n [mm]\in IN_0[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum
> auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Die Aufgabe ist im prinzip kein problem wenn man den
> Eindeutigkeitssatz für potenzreihen verwendet aber da wir
> den in der Vorlesung nicht hatten muss ich den wohl
> beweisen und da weiß ich nicht wie ich anfangen soll
Nun, genau den Satz sollst du hier beweisen  Also wirst du ihn nicht verwenden koennen...
> Alternativ habe ich mir auch überlegt,dass
> weil R>0 ist nicht alle x [mm]\in[/mm] (-R,+R) null sind und außer
> für x=1 die Reihe nur null wird wenn alle [mm]c_n=0[/mm] sind dass
> kann ich aber leider auch nicht beweisen
Nein, das stimmt nicht: Du weisst dann nur (also falls $R > 1$), dass [mm] $\sum_{n=0}^\infty c_n [/mm] = 0$ ist. Daraus folgt nicht, dass alle [mm] $c_n [/mm] = 0$ sind! (Etwa [mm] $c_0 [/mm] = 1$, [mm] $c_1 [/mm] = -1$, [mm] $c_n [/mm] = 0$ fuer $n > 1$.)
Hattet ihr schon, dass Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind und wie die Ableitungen aussehen? (Dafuer reicht es zu wissen das sie einmal differenzierbar sind und dass man die Potenzreihe gliedweise ableiten darf.) Wenn ja, dann folgt aus $P(x) = 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] (-R, R)$ ja, dass auch alle Ableitungen von $P$ dort verschwinden.
So. Und ist nun [mm] $c_n \neq [/mm] 0$, was ist dann der Wert der $n$-ten Ableitung von $P$ im Nullpunkt?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Fr 06.01.2006 | | Autor: | neli |
ableitungen von potenzreihen hatten wir keine
haben nur den Konvergenzradius, Quotientenkriterium und Formel von Hadamard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei P(x) = [mm]\summe_{n=o}^{\infty}c_nx^n[/mm] eine reelle
> potenzreihe mit konvergenzradius R>0
> zeigen Sie: Ist P(x)=o für alle [mm]x\in[/mm] (-R,+R), so ist [mm]c_n=0[/mm]
> für alle n [mm]\in IN_0[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum
> auf anderen Internetseiten gestellt.
Mal versuchen das ohne Ableitungen zu machen
Angenommen, [mm] $c_0 [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] c_{k-1} [/mm] = 0$ und [mm] $c_k \neq [/mm] 0$. Ist dann $P(x) = 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] (-R, R)$, so betrachte die Funktion $F(x) := P(x) / [mm] x^k$ [/mm] fuer $x [mm] \in [/mm] (-R, R) [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] und $F(0) := 0$. Ist $x [mm] \neq [/mm] 0$, so gilt offensichtlich $F(x) = [mm] \sum_{n=k}^\infty c_n x^{n-k}$. [/mm] Insbesondere hat damit die Potenzreihe $G(x) := [mm] \sum_{n=0}^\infty d_n x^n$ [/mm] mit [mm] $d_n [/mm] := [mm] c_{n+k}$ [/mm] ebenfalls den Konvergenzradius $R$ (oder zumindest ist er mindestens gleich $R$).
Nun ist $G(x) = F(x)$ fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$, und gleichzeitig ist $F(x) = 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] (-R, R)$. Jetzt sind $G$ und $F$ beide stetig auf $(-R, R)$ (ihr hattet doch wenigstens, dass Potenzreihen im Konvergenzintervall stetig sind, oder?) und sie sind ueberall gleich, ausser eventuell in $0$, und muessen daher auch in $0$ gleich sein (warum?). Jetzt ueberleg dir mal, welche Konsequenz das hat.
Falls ihr die Stetigkeit von Potenzreihen nicht hattet: Hattet ihr wenigstens, dass eine gleichmaessig konvergierende Reihe von Funktionen stetig ist, wenn alle Summanden stetig sind? Und das Potenzreihen (als Funktionenreihen) auf kompakten Teilmengen des Konvergenzintervalls gleichmaessig konvergieren?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Sa 07.01.2006 | | Autor: | neli |
also dass die dann auch in 0 gleich sind folgt denke ich mal aus dem zwischenwertsatz
aber bei den konsequenzen davon komm ich nicht weiter
also daraus folgt ja zum einen das G(x) ebenfalls gleich null ist für [mm] x\in [/mm] (-R,+R) weiß aber nicht wie mich das weiterbringen sollte
dann folgt daraus noch das P(x) [mm] =x^k* [/mm] G(x) ist aber daraus konnte ich nur folgern, dass [mm] \summe_{n=0}^{k-1} c_n*x^n [/mm] =0 ist aber das ist ja auch schon klar weiß nich twas ich sonst noch versuchen könnte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Sa 07.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Neli
P(0)=0 daraus folgt [mm] c_{0}=0, [/mm] also betrachte P1(x)=P(x)/x) in jeder Umgebung von x=0 ist auch P1= 0 wegen P1(x)*x=0 für ALLE [mm] x\ne0 [/mm] folgt daraus auch P1(o)=0; daraus dann [mm] c_{1}=0 [/mm] usw, oder vollständige Induktion.
Gruss leduart
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