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| Aufgabe | | Warum folgt die eindeutigkeit von q und r in der vorliegenden Version des Divisionslemmas nicht automatisch aus q´und r´? |
Hallo,
ich stehe gerade total auf dem Schlauch. Schons seit gestern denke ich über die Lösung dieses Problems nach, komme aber einfach nicht weiter.
Das gegebene Divisionslemma latet wie folgt :
Es seien x und y ganze Zahlen mit [mm] y\not=0. [/mm] Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r, so dass x = qy +r , mit [mm] 0\ler<|y| [/mm] gibt.
Die Deinition der eindeutigkeit ist mir natürlich klar, aber warum aus der von q und r nicht die von q´und r´folgt verstehe ich einfach nicht.
Ich formuliere einfach mal den Eindeutigkeitsbeweis für den Fall q>q´, dann gilt q-q´>0.
0=(q-q´)y+(r-r´)
(q-q´)y=(r´-r)
Nun setze ich für (q-q´) =1(was ich wohl machen darf, weil es das kleinste Element ist.
y=(r´r).
Dann gilt aber wegen [mm] 0\le [/mm] r auch
y [mm] \le [/mm] (r´r).
Womit ich auf einen Wiederspruch gestoßen bin.
So ich hoffe man kann meinen wirren Gedanken folgen.
Nur wie gesagt, will mir die gestellte Frage nicht einleuchten.
Ich bin für jede Hilfestellung , Hinweise und Erklärungen dankbar.
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> Warum folgt die eindeutigkeit von q und r in der
> vorliegenden Version des Divisionslemmas nicht automatisch
> aus q´und r´?
> Hallo,
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> ich stehe gerade total auf dem Schlauch. Schons seit
> gestern denke ich über die Lösung dieses Problems nach,
> komme aber einfach nicht weiter.
>
> Das gegebene Divisionslemma latet wie folgt :
> Es seien x und y ganze Zahlen mit [mm]y\not=0.[/mm] Dann gibt es
> eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r, so dass x = qy +r
> , mit [mm]0\le r<|y|[/mm] gibt.
>
> Die Deinition der eindeutigkeit ist mir natürlich klar,
> aber warum aus der von q und r nicht die von q´und
> r´folgt verstehe ich einfach nicht.
Hallo,
die Idee beim Eindeutigkeitsbeweis ist diese:
man nimmt an, daß es zwei verschiedene Zerlegungen mit der oben genannten Eigenschaft gibt, und man zeigt dann, daß das nicht sein kann.
>
> Ich formuliere einfach mal den Eindeutigkeitsbeweis
Seien [mm] x,y\in\IZ [/mm] und q,q', [mm] r,r'\in \IZ [/mm] mit
x = qy +r
x = q'y +r' mit [mm] 0\le [/mm] r,r'<|y|.
Wenn q und q' gleich sind, sind auch r und r' und damit die Zerlegungen gleich.
Seien also q und q' verschieden.
Angenommen es ist
> für den Fall q>q´, dann gilt q-q´>0.
Durch Subtraktion bekommt man
> 0=(q-q´)y+(r-r´)
<==>
> (q-q´)y=(r´-r)
Man sieht: y teilt r'-r
Es gilt aber -|y|< r'-r < |y|,
und wenn y das teilt, dann muß r'-r=0 sein.
==> q=q' . Widerspruch.
Die Annahme, daß es zwei verscheidene Zerlegungen gibt, führt zum Widerspruch.
Also sind sie gleich.
Die Zerlegung ist also eindeutig.
LG Angela
> Nun setze ich für (q-q´) =1(was ich wohl machen darf,
> weil es das kleinste Element ist.
> y=(r´r).
> Dann gilt aber wegen [mm]0\le[/mm] r auch
> y [mm]\le[/mm] (r´r).
> Womit ich auf einen Wiederspruch gestoßen bin.
>
> So ich hoffe man kann meinen wirren Gedanken folgen.
> Nur wie gesagt, will mir die gestellte Frage nicht
> einleuchten.
>
> Ich bin für jede Hilfestellung , Hinweise und Erklärungen
> dankbar.
>
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| Aufgabe | Warum folgt die Eindeutigkeit von q und r in der
vorliegenden Version des Divisionslemmas nicht automatisch
aus q´und r´? |
Hallo,
Danke Dir für dein Mühen.
Entweder ich verstehe die Frage Falsch, oder ich erkenne die Lösung in deiner Erläuterung einfach nicht.
Die grundlegende Idee eines Eindeutigkeitsbeweises via Widerspruch ist mir klar.
Wenn ich die Frage richtig verstehe lautet die Anforderung doch zu zeigen, warum die Eindeutigkeit von q und r NICHT aus der Eindeutigkeit von q´und r´folgt. Als war um die Eindeutigkeit von q´und r´nicht die von q und r impliziert, oder vestehe ich das falsch?
Die Eindeutigkeit von q und r wurde per Widerspruchsbeweis dargestellt, aber die gilt doch auch für q´und r´, und wenn das eine Zahlenpaar eindeutig ist zieht das doch die Eindeutigkeit des anderen nach sich, weil ja q´=q und r´= r.
Also wie soll man zeigen, dass q und r in der
vorliegenden Version des Divisionslemmas NICHT automatisch
aus q´und r´folgt?
Sehe ich den sprichwörtlichen Wald nicht?
Villeicht kann mir da ja noch jemand auf die Sprünge helfen.
L.G.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mo 16.05.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
kommt denn in eurem Beweis des Lemmas irgendwo q' und r' vor? sonst macht für mich auch die Frage keinen Sinn. denn es ist ja nicht gesagt, was q#,r# sein sollen.
Gruß leduart
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| Aufgabe | | Warum folgt die Eindeutigkeit von q und r in der vorliegenden Version des Divisionslemmas nicht automatisch aus q´und r´? |
Hallo,
ja vorgekommen sind q´und r´schon, ich schreib jetzt einfach mal den gesamten Beweis, so wie er in dem Buch steht, aus dem ich die Aufgabe habe:
Beweis.
Es sei y´= - y wegen des des Divisionslemmas existieren dann ganze Zahlen q und r, so dass x = qy´+ r mit [mm] 0\le [/mm] r<y´ gilt.
Also folgt x =(- q)y + r mit [mm] 0\le [/mm] r<|y|.
Eindeutigkeitsbeweis.
Angenommen, q und r seien nicht eindeutig, so dass Zahlen q´und r´existieren, die die Bedingung x = q´y+r´mit [mm] 0\le [/mm] r´<y erfüllen und für die q [mm] \not= [/mm] q´oder r [mm] \not= [/mm] r´ gilt. Wenn q = q´ist, dann folgt r = x - qy = x-q´y=r´.
Also können wir annehmen, dass q und q´unterschiedlich sind.
O.b.d.A. setzen wir dabei q > q´voraus. Aus der Gleichung x = qy + r und x =q´y + r´ folgt dann ( q-q´)y = r´- r. Da q - q´> 0 ist, muss insbesondere q - q´mindestens gleich 1 und damit y [mm] \le [/mm] r´- r sein. Doch dies ist ein Wiederspruch, da r und r´beide negativ und kleiner als y sind.
Leider ist es mir nicht möglich zu erkennen warum die Eindeutigkeit von q und r in der vorliegenden Version des Divisionslemmas nicht automatisch aus q´und r´folgen sollte?
Ich bin für jede Hilfestellung dankbar
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> Warum folgt die Eindeutigkeit von q und r in der
> vorliegenden Version des Divisionslemmas nicht automatisch
> aus q´und r´?
> Hallo,
> ja vorgekommen sind q´und r´schon, ich schreib jetzt
> einfach mal den gesamten Beweis, so wie er in dem Buch
> steht, aus dem ich die Aufgabe habe:
Hallo,
wenn Du den gesamten Beweis aufschreibst, gehört natürlich auch die genaue Formulierung der zu beweisenden Aussage dazu. Die fehlt hier.
Wenn ich mir die Sache zusammenreime, ist es wahrscheinlich so:
im Buch wird zunächst das Divisionslemma für natürliche Zahlen x,y bewiesen.
Und nun soll wohl gezeigt werden, daß es für ganze Zahlen y, also auch die negativen, ebenfalls gilt?
So?
Seien [mm] x,y\in \IZ [/mm] mit y<0.
Dann gibt es eindeutig bestimmte [mm] q,r\in \IZ [/mm] mit x=qy+r mit [mm] 0\le [/mm] r<|y| ?
>
> Beweis.
Sei [mm] y\in \IZ [/mm] mit y<0
Dann ist y'=-y eine natürliche Zahl und
> Es sei y´= - y wegen des des Divisionslemmas existieren
> dann ganze Zahlen q und r, so dass x = qy´+ r mit [mm]0\le[/mm]
> r<y´ gilt.
> Also folgt x =(- q)y + r mit [mm]0\le[/mm] r<|y|.
Damit ist nun für diesen Fall die Existenz einer passenden Zerlegung gezeigt,
denn mit -q und r hat man ja basierend auf einer zuvor bewiesenen Aussage passende Zahlen gefunden.
Damit ist aber die Eindeutigkeit noch nicht gezeigt - es könnte ja irgendwelche anderen Aussagen geben, welche eine weitere Zerlegung liefern.
Daß dies nicht der Fall ist, muß geprüft werden:
>
> Eindeutigkeitsbeweis.
> Angenommen, q und r seien nicht eindeutig, so dass Zahlen
> q´und r´existieren, die die Bedingung x = q´y+r´mit
> [mm]0\le[/mm] r´<y erfüllen
??? Hier müßte es wohl eher [mm] 0\le [/mm] r'<|y| heißen, oder?
Der Rest soll doch positiv sein?
> und für die q [mm]\not=[/mm] q´oder r [mm]\not=[/mm]
> r´ gilt. Wenn q = q´ist, dann folgt r = x - qy =
> x-q´y=r´.
> Also können wir annehmen, dass q und q´unterschiedlich
> sind.
> O.b.d.A. setzen wir dabei q > q´voraus. Aus der Gleichung
> x = qy + r und x =q´y + r´ folgt dann ( q-q´)y = r´- r.
> Da q - q´> 0 ist, muss insbesondere q - q´mindestens
> gleich 1
Soweit folge ich.
> und damit y [mm]\le[/mm] r´- r sein.
??? y ist negativ, dachte ich.
Also ist [mm] |y|\le [/mm] |r'-r|.
> Doch dies ist ein
> Wiederspruch, da r und r´beide negativ
??? Die sind doch positiv? Jedenfalls, wenn die Situation so ist, wie ich mir sie zusammenreime.
> und kleiner als y
Es ist [mm] 0\le [/mm] r,r'<|y|,
so daß [mm] 0\le [/mm] |r'-r|<|y| ,
und damit haben wir einen Widerspruch zu [mm] |y|\le [/mm] |r'-r|.
Für genaueres bräuchte man den kompletten Beweis - und dazu gehört insbesondere die Formulierung der zu beweisenden Aussagen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:42 Fr 20.05.2016 | | Autor: | Windbeutel |
Hallo Angela,
danke für deine Unterstützung.
Leider habe ich keine weiteren Informationen. Alles was vorgegeben wurde, sowie die gestellte Aufgabe habe ich wortwörtlich und detailgetreu wiedergegeben.
Sieht ganz so aus, als ich nie erfahren werde, was der Autor sich gedacht hat, denn leider hat er keine Lösung veröffentlicht.
Dennoch danke und Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:11 Fr 20.05.2016 | | Autor: | hippias |
Ich habe den Post in eine Mitteilung umgewandelt, da er meiner Ansicht nach keine Frage enthält. Wenn gewünscht, mache ich es aber auch wieder rückgängig.
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