Eindim. Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Tageseinnahme einer Imbissbude [in Tsd. €] sei eine im Intervall [1;4] rechtssteil dreiecksverteilte Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
f(x) = [mm] -\bruch{2}{9} [/mm] + [mm] \bruch{2}{9}x
[/mm]
Aufg.) Welche Tageseinnahme kann der Besitzer der Imbissbude im Durchschnitt erwarten? |
Gesucht ist ja der Erwartungswert, laut Formelsammlung...
E(X) = [mm] \mu [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}
[/mm]
-> E(X) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{-\bruch{2}{9}x + \bruch{2}{9}x^2 dx}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(-\bruch{1}{9}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{2}{27}x^3) [/mm] - [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}(-\bruch{1}{9}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{2}{27}x^3)
[/mm]
Was ist nun [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}?
[/mm]
Da ich ja x*f(x) und nicht einfach nur f(x) integriere, bekomme ich ja nicht die Verteilungsfunktion, für die [mm] F(-\infty) [/mm] = 0 unf F [mm] (+\infty) [/mm] = 1 gilt. Was also tun?
Oder hab ich irgendwo nen Fehler drin?
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Hallo spartakus,
> Die Tageseinnahme einer Imbissbude [in Tsd. €] sei eine
> im Intervall [1;4] rechtssteil dreiecksverteilte
> Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
>
> f(x) = [mm]-\bruch{2}{9}[/mm] + [mm]\bruch{2}{9}x[/mm]
Für [mm] $x\in [/mm] [1,4]$, sonst $=0$
>
> Aufg.) Welche Tageseinnahme kann der Besitzer der
> Imbissbude im Durchschnitt erwarten?
>
> Gesucht ist ja der Erwartungswert, laut Formelsammlung...
> E(X) = [mm]\mu[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}[/mm]
Hier ist die Dichte doch außerhalb von [1,4] Null
Also [mm] $E(X)=\int\limits_{1}^4{xf(x) \ dx}$
[/mm]
> ->
> E(X) = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{-\bruch{2}{9}x + \bruch{2}{9}x^2 dx}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(-\bruch{1}{9}x^2[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{27}x^3)[/mm] -
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}(-\bruch{1}{9}x^2[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{27}x^3)[/mm]
>
> Was ist nun [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}?[/mm]
>
> Da ich ja x*f(x) und nicht einfach nur f(x) integriere,
> bekomme ich ja nicht die Verteilungsfunktion, für die
> [mm]F(-\infty)[/mm] = 0 unf F [mm](+\infty)[/mm] = 1 gilt. Was also tun?
> Oder hab ich irgendwo nen Fehler drin?
Die Grenzen passen nicht!
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ok, ich setzte also für [mm] -\infty [/mm] die untere Intervallgrenze 1 ein und für [mm] +\infty [/mm] die obere Intervallgrenze 4. Dann kome ich auf 3 [Tsd. €], was dem richtigen Ergebnis entspricht.
Ist eigentlich logisch, dass nur das betrachtete Intervall [1;4] von Interesse ist. Verwirrend ist eben nur die Formulierung in der Formelsammlung mit [mm] -\infty [/mm] und [mm] +\infty. [/mm] Die Intervallgrenzen passe ich also automatisch an, soweit gegeben? D.h., es muss auch den Fall mit offenen Intervallen geben? Sonst macht die Formulierung für mich wenig Sinn. Naja, man sollte wohl nicht immer blind die Formelsammlung kopieren ;)
Also nochmals danke für die schnelle Hilfe.
Gruß spartakus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo spartakus,
bei einer reellwertigen Zufallsvariablen liegen die Werte sicherlich irgendwo zwischen - Unendlich und + Unendlich. Daher rührt die Aussage aus der Formelsammlung. Anpassen musst Du aber schon die Grenzen an Deine vorgegebene Verteilungsdichte. Du kannst auch komplett die Grenzen aus dem Unendlichen ansetzen, dann solltest Du aber berücksichtigen, dass es Intervalle auf der reellen Zahengerade gibt, wo die Dichte gliech Null ist und demzufolge das Integral darüber auch.
Viele Grüße,
Infinit
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Ah ok, d.h. technisch gesehen würde ich dann in dieser Aufgabe das Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx} [/mm] aufspalten in die drei Integrale [mm] \integral_{-\infty}^{1}{x*f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{4}{x*f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{4}^{\infty}{x*f(x) dx} [/mm] und da das erste und letzte Intervall 0 ergeben, kann ich sie praktisch ignorieren?
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Hallo nochmal,
> Ah ok, d.h. technisch gesehen würde ich dann in dieser
> Aufgabe das Integral [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}[/mm]
> aufspalten in die drei Integrale
> [mm]\integral_{-\infty}^{1}{x*f(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{1}^{4}{x*f(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{4}^{\infty}{x*f(x) dx}[/mm] und da das erste und
> letzte Intervall
Integral
> 0 ergeben, kann ich sie praktisch
> ignorieren?
Ja, denn auf [mm](-\infty,1)[/mm] ist [mm]f(x)=0[/mm], ebenso auf [mm](4,\infty)[/mm]
Die Dichtefunktion ist in der Aufgabe etwas ungenau angegeben.
Korrekt wäre [mm]f(x)=\left(-\frac{2}{9}+\frac{2}{9}x\right)\cdot{}\chi_{[1,4]}(x)[/mm], wobei [mm]\chi[/mm] die Indikatorfunktion ist.
Dann ist [mm]E[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{}\left(-\frac{2}{9}+\frac{2}{9}x\right)\cdot{}\chi_{[1,4]}(x) \ dx} \ = \ \int\limits_1^4{x\cdot{}\left(-\frac{2}{9}+\frac{2}{9}x\right) \ dx} \ = \ldots[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Danke, das hat mir sehr weitergeholfen. Nur noch eine letzte Frage: f(x) = 0 in den Intervallen [mm] (-\infty;1) [/mm] und [mm] (4;\infty)
[/mm]
Gilt das dann aber auch immer für x*f(x) oder [mm] x^2*f(x), [/mm] das ich für die Varianzberechnung verwende?
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Hallo nochmal,
> Danke, das hat mir sehr weitergeholfen. Nur noch eine
> letzte Frage: f(x) = 0 in den Intervallen [mm](-\infty;1)[/mm] und
> [mm](4;\infty)[/mm]
> Gilt das dann aber auch immer für x*f(x) oder [mm]x^2*f(x),[/mm]
> das ich für die Varianzberechnung verwende?
Jo, die Dichte $f(x)$ ist außerhalb von $[1,4]$ doch Null.
Und dass du $x$ oder [mm] $x^2$ [/mm] dranmultipliziert, ändert daran nix ...
Gruß
schachuzipus
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