Eine "Brücke - Funktion" < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | An infinitely differentiable "bridging function",equal to 1 on [mm] [1,\infty),equal [/mm] to 0 on [mm] (-\infty,0],and [/mm] strictly monotonic on [0,1].
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
exp[-\bruch{1}{x^2}*exp(-\bruch{1}{(1-x)^2})], & \mbox{wenn }\mbox{0 |
hallo!
Ich muss ein Proseminar vorbereiten über das Thema "bridging function", die unendlich mal differetierbar ist. Als erste Ableitung zwischen 0 und 1 habe ich f(x)´= [mm] exp[-\bruch{1}{x^2}*exp(-\bruch{1}{(1-x)^2})]*exp(-\bruch{1}{(1-x)^2})*(\bruch{2*(1-x)^3+2*x}{x^3*(1-x)^3})
[/mm]
Ich bin mir aber nicht so sicher .
Und allgemein, kann mir jemand paar Ideen bringen, was ich da wohl machen könnte. Oder vielleicht ein Tipp wo ich die Information zu dem Thema finden kann?
Vielen Dank im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:11 Sa 27.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> An infinitely differentiable "bridging function",equal to 1
> on [mm][1,\infty),equal[/mm] to 0 on [mm](-\infty,0],and[/mm] strictly
> monotonic on [0,1].
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
exp[-\bruch{1}{x^2}*exp(-\bruch{1}{(1-x)^2})], & \mbox{wenn }\mbox{0
>
> hallo!
>
> Ich muss ein Proseminar vorbereiten über das Thema
> "bridging function", die unendlich mal differetierbar ist.
> Als erste Ableitung zwischen 0 und 1 habe ich f(x)´=
> [mm]exp[-\bruch{1}{x^2}*exp(-\bruch{1}{(1-x)^2})]*exp(-\bruch{1}{(1-x)^2})*(\bruch{2*(1-x)^3+2*x}{x^3*(1-x)^3})[/mm]
> Ich bin mir aber nicht so sicher .
Mein Rechenknecht gibt mir dasselbe Ergebnis.
Nur: was bringt es dir, diese Ableitung auszurechnen?
> Und allgemein, kann mir jemand paar Ideen bringen, was ich
> da wohl machen könnte. Oder vielleicht ein Tipp wo ich die
> Information zu dem Thema finden kann?
Überlege dir zunächst einmal, warum diese Funktion die angegebenen Eigenschaften hat. Das sie außerhalb des Intervalls $[0,1]$ unendlich oft diff'bar ist, ist ja offensichtlich. Für das offene Intervall $(0,1)$ ist das auch recht einfach zu sehen. Die Frage ist also: warum ist die Funktion an den Punkten 0 und 1 unendlich oft diff'bar?
Wenn du so eine Funktion hast, wozu kannst du sie brauchen?
In gewisser Weise ist sie eine Verallgemeinerung der Funktion
[mm] h(x) = \begin{cases} x, &0
$h(x)$ ist an den Punkten 0 und 1 zwar stetig, aber nicht differenzierbar.
Manchmal braucht man eine Möglichkeit, einen Übergang zwischen zwei Funktionen vorzunehmen. Wenn du zwei Funktionen
[mm] g_1, g_2 : \IR\to\IR [/mm]
hast und eine Funktion g suchst, die links wie [mm] $g_1$ [/mm] und rechts wie [mm] $g_2$ [/mm] aussehen soll, kannst du sie mit Hilfe von $h(x)$ miteinander verheiraten:
[mm] g(x) = h(x) g_2(x) + (1-h(x))g_1(x) [/mm] .
Damit ist $g(x)$ für $x<0$ identisch mit [mm] $g_1(x)$, [/mm] für $x>1$ identisch mit [mm] $g_2(x)$, [/mm] und dazwischen gibt es einen stetigen Übergang.
Solange Stetigkeit alles ist, was du brauchst, funktioniert das wunderbar. Die oben gegebene Funktion $f(x)$ erlaubt es dir, aus zwei differenzierbaren Funktionen [mm] $g_1,g_2$ [/mm] wieder eine differenzierbare Funktion zu machen, und zwar genau wie eben:
[mm] g(x) = f(x) g_2(x) + (1-f(x))g_1(x) [/mm] .
Da $f(x)$ auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] unendlich oft differenzierbar ist, bekommt $g(x)$ die Differenzierbarkeitseigenschaften von [mm] $g_1(x)$ [/mm] und [mm] $g_2(x)$.
[/mm]
Das heisst zum Beispiel, dass $g(x)$ dort eine Taylorreihe hat, wo [mm] $g_1(x)$ [/mm] bzw. [mm] $g_2(x)$ [/mm] in eine Taylorreihe entwickelt werden können.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Viele Grüße
Rainer
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