Eine Kurvendiskussion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Do 28.04.2005 | | Autor: | FloF |
Hallo,
ich schreibe nächste Woche Abitur und habe zur Übung eine Kurvendiskussion gemacht. ich werde mal die Aufgabe posten und dann meine Lösungen ergänzen. Dazu habe ich aber einige Fragen. Wäre also super, wenn ihr mir mal bei ein paar Dingen behilflich sein könntet.
--> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. <--
So als erstes die Aufgabe:
[mm] f_a(x) = \bruch{1}{x*(a-lnx)^2} [/mm]
a) [mm] D_a [/mm] und Asymptoten (L'Hospital als Hinweis)
b) Nullstellen, globale und lokale Extrema
c) Zeigen, dass der Graph keine Wendestellen für alle [mm] a\in\IR [/mm] besitzt.
2.Ableitung ist gegeben:
[mm]f_a''(x)= \{2} \bruch{(lnx)^2 + (3-2a)lnx + (a^2 - 3a +3)}{x^3 (a-lnx)^2} [/mm]
d) Besitzen zwei verschiedene Graphen der gegebenen Funktionenschar gemeinsame Punkte?
(e) Skizzieren des Graphen)
f) Jeder Graph der gegebenen Funktionenschar besitzt genau eine Tangente [mm]t_a[/mm] , die durch den Ursprung geht. Bestimmen sie die Tangentengleichung von [mm]t_a[/mm]
Diese Tangente [mm] t_a [/mm] bildet mit der x-Achse und der Geraden [mm]x=e^a[/mm] ein Dreieck. Zeigen sie, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks unabhängig von a ist.
(g) Wäre eine Substitutionsaufgabe, aber die habe ich denke ich richtig.)
So nun meine Lösungen:
a) [mm] D_a = \left\{ x \in \IR | x > 0 und a - lnx \not= 0 \right\}
= \left\{ x \in \IR | x > 0 und lnx \not= 0 \right\}
= \left\{ x \in \IR | x > 0 und x \not= 0 e^a \right\} [/mm]
Meine Frage dazu lautet: Ist diese Schreibweise korrekt? Also kann ich mit einem "ungleich" so umgehen wie mit einem "gleich", oder ist das nicht zulässig?
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[mm] \limes_{x \to \ 0 }f_a und \limes_{x \to \ e^a }f_a [/mm] zu untersuchen.
Zwischenfrage: Wie kann ich bei TeX einbauen, dass sich ein Grenzwert von links bzw. von rechts annähert?
[mm] \limes_{x \to \ 0 }f_a = \limes_{x \to \ 0 }\bruch{1}{x*(a-lnx)^2} = \limes_{x \to \ 0 }f_a = \limes_{x \to \ 0 }\bruch{1}{x} * \limes_{x \to \ 0 }f_a = \limes_{x \to \ 0 }\bruch{1}{x*(a-lnx)^2} [/mm]
Ich bleibe hier irgendwie ein wenig stecken. Wie soll ich hier L'Hospital anwenden? Ich habe das bei diesem Grenzwert einfach mit den Grenzwertsätzen zerlegt und geschaut, was dabei rauskommt. Am Ende hatte ich + unendlich. Ist das richtig?
So der zweite:
[mm] \limes_{x \to \ e^a }f_a = \limes_{x \to \ e^a }\bruch{1}{x*(a-lnx)^2} = \limes_{x \to \ e^a }f_a = \limes_{x \to \ e^a }\bruch{1}{x} * \limes_{x \to \ e^a }f_a = \limes_{x \to \ e^a }\bruch{1}{x*(a-lnx)^2} [/mm]
Tja hiermit habe ich auch irgendwie Probleme. Könnt ihr mir sagen, wie ich am besten mit solchen Grenzwerten umgehe?
b) Keine Nullstellen da [mm] f_a(x) > 0 für alle x in D_a [/mm]
Extrema: [mm]f_a'(x) = \bruch{-a+ lnx - 2}{x^2 (a - lnx)^3} [/mm]
Dabei kriege ich [mm] x = e^{a+2} [/mm]
Bei der hinreichenden Bedingung dann einen VZW von - nach +, also lokales Minimum.
c)
Hier komme ich irgendwie nicht weiter.
So weit kam ich:
[mm] f_a''(x) = 0 \gdw (lnx)^2 + (3-2a)lnx + (a^2 - 3a + 3) = 0 [/mm]
Hier habe ich dann einfach mal lnx mit u substituiert. Darf ich das ohne weiteres?
[mm] \gdw u^2 + (3-2a)u + (a^2 - 3a + 3) = 0 [/mm]
Mit der pq-Formel kriege ich dann sowas:
[mm] u_1 = - \bruch{3} {2} + a + \wurzel (\bruch{9 - 4a + 4a^2}{4} - a^2 + 3a - 3) [/mm]
(Anmerkung: Alles in der großen Klammer ist in der Wurzel. Habe es irgendwie nicht hingekriegt, alles unter die Wurzel zu packen.)
Hier komme ich dann nicht weiter. Ich hatte gehofft, irgendwas nicht zulässiges zu erhalten, womit dann ja bewiesen wäre, dass es keine Wendestellen gibt, oder? Wie geht es weiter??
d)
Das fand ich nicht so schwer. Habe da die Funktionen [mm] f_a(x) und f_b(x) mit b \not= a [/mm] gleichgesetzt und [mm]a = b[/mm] rausgekriegt. Das geht so doch ohne weiteres, oder?
f)
Bei dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht weiter. Ich habe da die Tangentengleichung [mm] t(x) = f_a'(x)(x-x_0) + f_a(x_0) [/mm] genommen. Dabei muss doch aber [mm]x_0 = 0 [/mm] sein, oder? Aber das ist doch gar nicht definiert??
Gut, das wären meine Fragen. Sind ja doch ein ganzer Haufen. Ich würde mich riesig darüber freuen, wenn mir jemand mit den Aufgaben weiterhelfen könnte.
Vielen Dank,
Florian
P.S.: Hui, an TeX muss man sich erstmal gewöhnen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Loddar |
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Nicht vergessen, noch einen Satz zu den globalen Extrema zu schreiben (Stichwort: Randextrema).
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Fr 29.04.2005 | | Autor: | FloF |
Hi Loddar,
danke für deine Antworten. Ich habe jetzt die Lösungen:
Zu den Asymptoten:
Der Trick mit dem
$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{1}{x\cdot{}[a-\ln(x)]^2} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{x}}{[a-\ln(x)]^2} [/mm] $
war super. Nun komme ich auf die Grenzwerte
[mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{1}{x\cdot{}[a-\ln(x)]^2} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x \rightarrow \infty} \bruch{1}{x\cdot{}[a-\ln(x)]^2} [/mm] = 0
[mm] \limes_{x \rightarrow e^a} \bruch{1}{x\cdot{}[a-\ln(x)]^2} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Zu den Extrema:
Wichtiger Hinweis: Ich hatte einen Vorzeichenfehler bei der 1. Ableitung. Sie ist nämlich:
[mm] f_a'(x) = \bruch{-a+ lnx + 2}{x^2 (a - lnx)^3} [/mm]
Dadurch ändert sich das Extremum: [mm] x = e^{a-2} [/mm]
Kein globales Extremum wegen [mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{1}{x\cdot{}[a-\ln(x)]^2} [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \limes_{x \rightarrow \infty} \bruch{1}{x\cdot{}[a-\ln(x)]^2} [/mm] \ = 0
der Tiefpunkt ist [mm] ( e^{a-2} | \bruch{1}{4e^{a-2}} ) [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Flo!
> Zu den Extrema:
> Wichtiger Hinweis: Ich hatte einen Vorzeichenfehler bei der
Und ich bin auch noch drauf reingefallen ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") ...
War wohl schon etwas spät gestern Abend!
> der Tiefpunkt ist [mm]\left( e^{a-2} \left| \bruch{1}{4e^{a-2}} \right)[/mm]
Jetzt stimmt's aber wirklich ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Fr 29.04.2005 | | Autor: | FloF |
So, da bin ich wieder.
Das mit der binomischen Formel war ja sehr peinlich 
Jetzt müsste ich es aber eigentlich haben:
[...]
[mm] u_1 = - \bruch{3} {2} + a + \wurzel{\bruch{9 - {12}a + 4a^2}{4} - a^2 + 3a - 3} [/mm]
Die Wurzel fällt weg. Es bleibt
[mm] u = - \bruch{3} {2} + a [/mm]
Durch eine Rücksubstitution erhalte ich
[mm] lnx = \bruch{3} {2} + a [/mm]
[mm] \gdw a = lnx + \bruch{3} {2} [/mm]
Eingesetzt in [mm]f_a''(x) [/mm]:
[...]
[mm]\gdw \bruch{3} {4} = 0 [/mm] , was ein Widerspruch ist. Also gibt es für kein [mm] a \in\ IR [/mm] Wendestellen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Flo!
> [mm]u_1 = - \bruch{3} {2} + a + \wurzel{\bruch{9 - {12}a + 4a^2}{4} - a^2 + 3a - 3}[/mm]
>
> Die Wurzel fällt weg.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da solltest Du nochmal nachrechnen ...
Ich erhalte unter der Wurzel $- [mm] \bruch{3}{4}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Fr 29.04.2005 | | Autor: | FloF |
Oh stimmt. Ich mache manchmal wirklich richtig fiese Flüchtigkeitsfehler...
So ist es richtig:
[mm] u_1 = - \bruch{3} {2} + a + \wurzel{\bruch{9 - {12}a + 4a^2}{4} - a^2 + 3a - 3} [/mm]
[mm] \gdw u_1 = - \bruch{3} {2} + a + \wurzel{\bruch{-3}{4}} [/mm] , was offensichtlich nicht funktioniert. Also existieren für kein [mm] a \in \IR [/mm] Wendestellen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Loddar |
> d) Besitzen zwei verschiedene Graphen der gegebenen
> Funktionenschar gemeinsame Punkte?
> d)
>
> Das fand ich nicht so schwer. Habe da die Funktionen [mm]f_a(x) und f_b(x) mit b \not= a[/mm]
> gleichgesetzt und [mm]a = b[/mm] rausgekriegt. Das geht so doch ohne
> weiteres, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wie lautet also die Antwort auf die Frage?
Gemeinsame Punkte? Ja oder Nein?
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Fr 29.04.2005 | | Autor: | FloF |
Oh, sorry. Dies bedeutet, dass zwei verschiedene Graphen keine gemeinsamen Punkte haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Loddar |
> Oh, sorry. Dies bedeutet, dass zwei verschiedene Graphen
> keine gemeinsamen Punkte haben.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Jawoll ...
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Loddar |
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> f) Jeder Graph der gegebenen Funktionenschar besitzt genau
> eine Tangente [mm]t_a[/mm] , die durch den Ursprung geht. Bestimmen
> sie die Tangentengleichung von [mm]t_a[/mm]
>
> Diese Tangente [mm]t_a[/mm] bildet mit der x-Achse und der Geraden
> [mm]x=e^a[/mm] ein Dreieck. Zeigen sie, dass der Flächeninhalt
> dieses Dreiecks unabhängig von a ist.
> f)
>
> Bei dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht weiter. Ich
> habe da die Tangentengleichung [mm]t(x) = f_a'(x)(x-x_0) + f_a(x_0)[/mm]
> genommen. Dabei muss doch aber [mm]x_0 = 0[/mm] sein, oder? Aber das
> ist doch gar nicht definiert??
Der Ansatz stimmt!
Für die Funktion [mm] $f_a(x)$ [/mm] ist $x \ = \ 0$ nicht definiert, für die Tangente aber wohl.
Wir setzen also ein:
[mm] $t_a(x) [/mm] \ = \ [mm] f_a'(x_B) [/mm] * (x - 0) + 0 \ = \ [mm] f_a'(x_B) [/mm] * x$
Und an der Stelle [mm] $x_B$ [/mm] müssen auch die Funktionswerte von [mm] $f_a$ [/mm] und [mm] $t_a$ [/mm] übereinstimmen:
[mm] $f_a(x_B) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x_B * [a - \ln(x_B)]^2} [/mm] \ = \ [mm] t_a(x_B) [/mm] \ = \ [mm] f'(x_B) [/mm] * [mm] x_B [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-a+\ln(x_B)-2}{x_B^2*[a-\ln(x_B)]^3} [/mm] * [mm] x_B$
[/mm]
Kannst Du diese Gleichung nun nach [mm] $x_B$ [/mm] auflösen?
Zur Kontrolle (bitte nachrechnen, da ohne Gewähr): [mm] $x_B [/mm] \ = \ [mm] e^{a+1}$
[/mm]
Und anschließend die nächste Teilaufgabe mit der Fläche?
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:30 Fr 29.04.2005 | | Autor: | FloF |
Wichtig: Die 1.Ableitung hatte einen kleinen Vorzeichenfehler!
So, ich habe das ganze nochmal nachgerechnet.
[...]
[mm] \gdw a - \ln(x_B) = -a + \ln(x_B) + 2 [/mm]
[mm] \gdw 2a - 2 = 2 \ln(x_B) [/mm]
[mm] \gdw x_B = e^{a-1} [/mm]
So müsste es passen. Mal schauen, wie es weiter geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Flof,
ja [mm] $x_B=e^{a-1}$ [/mm] ist richtig! Jetzt kannst du ja mal den Flächeninhalt zwischen der Geraden [mm] $t_a$, [/mm] der $x$-Achse und der senkrechten [mm] $x=e^a$ [/mm] ausrechnen.
Danach musst du nur noch zeigen, dass $A$ unabhängig von $a$ ist.
Gruß Max
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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Grenzwertsatz nach de l'Hospital