Einfach Zusammenhängend < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:56 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Pidgin |
| Aufgabe | (a) Zeige dass wenn eine Funktion f: [mm] [0,\infty) ->\mathds{C} [/mm] stetig und injektiv ist, [mm] U=\mathds{C} \setminus f([0,\infty)) [/mm] eine maximal einfach zusammenhängende offene Teilmenge von [mm] \mathds{C} \setminus [/mm] f(0) ist.
(b) Betrachte das Beispiel f(t) = t [mm] \cdot exp(t\cdot i\cdot \pi) [/mm] für [mm] t\geq [/mm] 0. Es existiert der analytische Logarithmus L auf U mit L(1) = 0 (Ohne Beweis). Berechne L(-2), L(3) und L(5). |
Ich habe bei dieser Aufgabe schon bewiesen, dass U einfach zusammenhängend ist. Evtl. hilft das ja weiter.
Leider habe ich keine Ahnung wie ich bei a) und b) weiterkommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Mi 05.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> (a) Zeige dass wenn eine Funktion f: [mm][0,\infty) ->\mathds{C}[/mm]
> stetig und injektiv ist, [mm]U=\mathds{C} \setminus f([0,\infty))[/mm]
> eine maximal einfach zusammenhängende offene Teilmenge von
> [mm]\mathds{C} \setminus[/mm] f(0) ist.
Was heisst eigtl. maximal einfach zush.? Ich sehe noch nicht einmal einfach zush, ja noch nicht einmal zush.!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Pidgin |
Naja was maximal einfach zusammenhängend ist kann ich leider auch nur spekulieren. Aber ich wäre schon glücklich es nur für einfach zusammenhängend zu beweisen:
Ein Raum ist einfach zusammenhängend, falls er wegzusammenhängend ist und sich jeder geschlossene Weg auf einen Punkt zusammenziehen lässt, d.h. nullhomotop ist. (Quelle Wikipedia).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Mi 05.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > (a) Zeige dass wenn eine Funktion f: [mm][0,\infty) ->\mathds{C}[/mm]
> > stetig und injektiv ist, [mm]U=\mathds{C} \setminus f([0,\infty))[/mm]
> > eine maximal einfach zusammenhängende offene Teilmenge von
> > [mm]\mathds{C} \setminus[/mm] f(0) ist.
>
> Was heisst eigtl. maximal einfach zush.?
Das es sich um eine größtmögliche einfach zusammenhängende Menge handelt, es sich also nicht um eine echte Teilmenge einer einfach zusammenhängenden Menge handelt.
In diesem speziellen Fall: Jede Menge V mit [mm] $U\subsetneqq [/mm] V [mm] \subset \mathds{C} \setminus \{f(0)\} [/mm] $ ist nicht einfach zusammenhängend.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Do 06.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das es sich um eine größtmögliche einfach
> zusammenhängende Menge handelt, es sich also nicht um eine
> echte Teilmenge einer einfach zusammenhängenden Menge
> handelt.
Und wieso gilt das in diesem speziellen Fall? Ich habe mir folgendes überlegt: man könnte doch ein "Zickzack" injektiv einbetten, so dass die jeweiligen Strecken immer länger werden, also eine Approximation einer Geraden (Ich will ausgehend von 0 quasi in Schliefen auf der Geradne laufen um sie zu überdecken, da f injektiv sein muss, entzerre ich es ein bisschen). Dann ist aber das Komplement nicht mehr (weg)zush. - ich kann keine 2 Punkte aus unterschiedlichen Komponenten verbinden, ohne das "Zickzack" zu überqueren.
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Do 06.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Das es sich um eine größtmögliche einfach
> > zusammenhängende Menge handelt, es sich also nicht um eine
> > echte Teilmenge einer einfach zusammenhängenden Menge
> > handelt.
>
> Und wieso gilt das in diesem speziellen Fall? Ich habe mir
> folgendes überlegt: man könnte doch ein "Zickzack"
> injektiv einbetten, so dass die jeweiligen Strecken immer
> länger werden, also eine Approximation einer Geraden (Ich
> will ausgehend von 0 quasi in Schliefen auf der Geradne
> laufen um sie zu überdecken, da f injektiv sein muss,
> entzerre ich es ein bisschen). Dann ist aber das Komplement
> nicht mehr (weg)zush. - ich kann keine 2 Punkte aus
> unterschiedlichen Komponenten verbinden, ohne das
> "Zickzack" zu überqueren.
Das verstehe ich nicht. Wegen der injektiven Einbettung überschneidet sich dein Weg nicht selbst. Da er in 0 anfängt und nach [mm] $\infty$ [/mm] geht, teilt er die Ebene nicht in zwei Teile. Wieso kannst du 2 Punkte nicht verbinden?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Do 06.05.2010 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Also hier vielleicht einmal ein Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt musst du dir vorstellen die Steigungen werden immer kleiner, die Längen gehen gegen unendlich, aber alles bleibt in einen Quadranten.
Oder anders: bitte beweist mir jemand, dass die Aussage des OP stimmt.
SEcki
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:17 Fr 07.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> Also hier vielleicht einmal ein Bild:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Jetzt musst du dir vorstellen die Steigungen werden immer
> kleiner, die Längen gehen gegen unendlich, aber alles
> bleibt in einen Quadranten.
Aber jede einzelne Strecke ist endlich lang. Wenn ich mir zwei Punkte nehme, kann ich immer einen Weg von oberen Punkte ganz nach links, dann nach unten und dann wieder nach rechts zum unteren Punkt finden.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mi 05.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> (a) Zeige dass wenn eine Funktion f: [mm][0,\infty) ->\mathds{C}[/mm]
> stetig und injektiv ist, [mm]U=\mathds{C} \setminus f([0,\infty))[/mm]
> eine maximal einfach zusammenhängende offene Teilmenge von
> [mm]\mathds{C} \setminus[/mm] f(0) ist.
>
> (b) Betrachte das Beispiel f(t) = t [mm]\cdot exp(t\cdot i\cdot \pi)[/mm]
> für [mm]t\geq[/mm] 0. Es existiert der analytische Logarithmus L
> auf U mit L(1) = 0 (Ohne Beweis). Berechne L(-2), L(3) und
> L(5).
> Ich habe bei dieser Aufgabe schon bewiesen, dass U einfach
> zusammenhängend ist. Evtl. hilft das ja weiter.
> Leider habe ich keine Ahnung wie ich bei a) und b)
> weiterkommen.
Mir fehlt der Kontext, in dem du die Aufgabe lösen sollst, aber ich vermute, dass du die gesuchten Werte per analytischer Fortsetzung berechnen musst.
Hast du dir die Menge U bzw. [mm] $f([0,\infty))$ [/mm] schon mal aufgemalt?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 07.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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