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Hallo, ich habe mich jetzt mal dran gesetzt um ein paar "einfache" Beweise zu führen.
Leider schaffe ich es nur sie gegenseitig zu beweisen und das ist ja nicht zulässig:
1) 1 * a = a
2) 0 * a = 0
3) (-1) * a = -a
Meine ersten Lösungen waren dann:
1) 1 * a = a
[mm] \gdw [/mm] 1 * a + (-1) * a = a + (-1) * a
[mm] \gdw [/mm] (1-1) * a = a + -a
[mm] \gdw [/mm] 0 * a = 0
[mm] \gdw [/mm] 0 = 0
Dieser Beweis wäre doch zulässig wenn 2) und 3) bewiesen wären oder?
2) 0 * a = 0
[mm] \gdw [/mm] (1+(-1)) * a = 0
[mm] \gdw [/mm] 1 * a + (-1) * a = 0
[mm] \gdw [/mm] a + -a = 0
[mm] \gdw [/mm] 0 = 0
3) Analog zu 1).
Meine neue Überlegung wäre
1) 1 * a = a und nun von links 1 *
[mm] \gdw [/mm] 1 * (1 * a) = 1 * a
[mm] \gdw [/mm] (1 * 1) * a = 1 * a
[mm] \gdw [/mm] 1 * a = 1 * a
Ist dies so zulässig?
Schonmal danke im Voraus.
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Hallo Andreas,
> Hallo, ich habe mich jetzt mal dran gesetzt um ein paar
> "einfache" Beweise zu führen.
>
> Leider schaffe ich es nur sie gegenseitig zu beweisen und
> das ist ja nicht zulässig:
>
> 1) 1 * a = a
> 2) 0 * a = 0
> 3) (-1) * a = -a
Wo befinden wir uns?
In einem Körper?
Falls ja, einigen Anmerkungen ...
>
> Meine ersten Lösungen waren dann:
>
> 1) 1 * a = a
> [mm]\gdw[/mm] 1 * a + (-1) * a = a + (-1) * a
> [mm]\gdw[/mm] (1-1) * a = a + -a
> [mm]\gdw[/mm] 0 * a = 0
> [mm]\gdw[/mm] 0 = 0
>
> Dieser Beweis wäre doch zulässig wenn 2) und 3) bewiesen
> wären oder?
Ja, das verwendest du zumindest.
Aber [mm]1[/mm] ist doch eh neutral bzgl. Mult., das ist doch ein Axiom!
Das beweist man nicht.
Ist das echt eine Aufgabe oder hast du dir 1) ausgedacht?
>
> 2) 0 * a = 0
> [mm]\gdw[/mm] (1+(-1)) * a = 0
> [mm]\gdw[/mm] 1 * a + (-1) * a = 0
> [mm]\gdw[/mm] a + -a = 0
> [mm]\gdw[/mm] 0 = 0
Hier würde ich es so angehen:
[mm]\red{0\cdot{}a}=(0+0)\cdot{}a[/mm] denn [mm]0[/mm] ist neutr. Element der Addit.
[mm]\red{=0\cdot{}a+0\cdot{}a}[/mm] Distr. im Körper
Nun ist [mm]-(0\cdot{}a)[/mm] additiv invers zu [mm] $0\cdot{}a$, [/mm] das auf beiden Seiten anwenden:
[mm]\Rightarrow 0=0\cdot{}a[/mm]
>
> 3) Analog zu 1).
>
>
> Meine neue Überlegung wäre
> 1) 1 * a = a und nun von links 1 *
> [mm]\gdw[/mm] 1 * (1 * a) = 1 * a
> [mm]\gdw[/mm] (1 * 1) * a = 1 * a
> [mm]\gdw[/mm] 1 * a = 1 * a
Wieso gilt [mm] $1\cdot{}1=1$ [/mm] ?
Sind wir also doch in einem Körper?
>
> Ist dies so zulässig?
>
> Schonmal danke im Voraus.
Ich stell das mal auf teilweise beantwortet ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Do 30.09.2010 | | Autor: | Heatshawk |
Die Uni beginnt ja erst am 11.10.
Und ich hatte nochmal meine Unterlagen von der Schule durchgeschaut und einen Aufgabenzettel mit diesen 3 Aufgaben gefunden. Und ich meine, dass wir gesagt haben, es gehe um einen Körper. Wir haben davor auch sowas wie e*a=a*e oder "e ist eindeutig" bewiesen.
Vielleicht war 1) ja dafür da, um uns zu zeigen, dass es Axiome geben muss. Trotzdem danke für 2 und 3.
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Hallo,
gut, dann ist das geklärt 
Du musst unterscheiden zwischen Axiomen und "Rechenregeln", die aus diesen folgen.
Das in 1), also [mm]1\cdot{}a=a[/mm] ist ein Axiom.
Mit der 1 wird das neutr. Element der Multiplikation bezeichnet, für das axiomatisch gilt [mm]1\cdot{}a=a\cdot{}1=a[/mm]
2) und 3) sind Rechenregeln
Wie man 2) allein aus den Körperaxiomen zeigt, habe ich dir geschrieben.
3) kannst du so angehen:
zu zeigen ist ja [mm](-1)\cdot{}a=-a[/mm]
Nun ist [mm]a[/mm] additiv invers zu [mm]-a[/mm] (und umgekehrt), also genügt es zu zeigen: [mm](-1)\cdot{}a+\red{a}=0[/mm]
Und das rote [mm]a[/mm] kannst du auch schreiben als [mm]1\cdot{}a[/mm]
Dann benutze mal wie im Beweis von 2) nur Körperaxiome (hier insbesondere das Distributivgesetz und die Tatsache, dass du u.a. eine additive Gruppe hast ...)
Bekommst du's hin?
Kannst ja mal posten, wie weit du mit 3) kommst ...
Viel Erfolg
schachuzipus
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Hallo nochmal,
wenn du noch ein bissl üben magst, zeige mal:
[mm] $(-a)\cdot{}(-b)=a\cdot{}b$
[/mm]
Verwenden kannst du, was du vorher gezeigt hast oder du machst es "puristisch" nur mithilfe der Kösperaxiome ...
Gruß
schachuzipus
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Also ich versuchs ^^
Das Studium hat ja noch nicht angefangen, aber ich finde, es schadet nichts sich damit schon vorher auseinanderzusetzen.
Also:
(-1) * a = -a
[mm] \gdw [/mm] (-1) * a + a = 0
[mm] \gdw [/mm] (-1) * a + 1 * a = 0
[mm] \gdw [/mm] ((-1) + 1) * a = 0
[mm] \gdw [/mm] 0 * a = 0
[mm] \gdw [/mm] 0 = 0
Das wäre dann aber mit 2).
Noch ein Versuch^^
(-1) * a + a = -1 * a + 1 * a
= ((-1) + 1) * a = 0 * a = (0 + 0) * a
= 0 * a + 0 * a
Wenn man sich dann die letzten beiden Terme anschaut und + -(0 * a) addiert komme ich auf
0 = 0 * a
Aber das ist ja auch wieder das, was du geschrieben hast, nur dass ich 3) erst auf die Form 0 * a = 0 gebracht habe.
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Hallo nochmal,
> Also ich versuchs ^^
> Das Studium hat ja noch nicht angefangen, aber ich finde,
> es schadet nichts sich damit schon vorher
> auseinanderzusetzen.
Im Gegenteil, ich finde das sehr gut von dir. Es zeigt, dass du schon ganz motiviert bist.
Das ist schön! Außerdem gewöhnst du dich so schon mal ein bisschen an die univeritäre "Beweiserei" 
>
> Also:
>
> (-1) * a = -a
> [mm]\gdw[/mm] (-1) * a + a = 0
> [mm]\gdw[/mm] (-1) * a + 1 * a = 0
> [mm]\gdw[/mm] ((-1) + 1) * a = 0
> [mm]\gdw[/mm] 0 * a = 0
> [mm]\gdw[/mm] 0 = 0 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Schön!
>
> Das wäre dann aber mit 2).
Ja, warum auch nicht?
Gerade zu Beginn ist es empfehlenswert, immer die Begründungen für Umformungen hinzuschreiben, dh. welches Axiom oder welche bereits bewiesene Aussage du gerade in einem Umformungsschritt benutzt.
Gerade bei solchen "Klein-klein"-Beweisen. Die sollen zeigen, dass du mit den Axiomen umgehen kannst ...
Also schreib's immer schön daneben, was du gerade benutzt (hast)
>
> Noch ein Versuch^^
> (-1) * a + a = -1 * a + 1 * a
> = ((-1) + 1) * a = 0 * a = (0 + 0) * a
> = 0 * a + 0 * a
> Wenn man sich dann die letzten beiden Terme anschaut und +
> -(0 * a) addiert komme ich auf
> 0 = 0 * a
Hmm, da steht ja mal ohne das Zwischengedöhns (also nur linke Seite = rechte Seite):
[mm](-1)\cdot{}a+a=0\cdot{}a+0\cdot{}a[/mm]
Und hier sehe ich nicht, wie du auf die linke Seite 0 kommst, wenn du [mm]-(0\cdot{}a)[/mm] addierst ...
Nutze in der letzten Zeile [mm]0\cdot{}a=0[/mm] zweimal aus und dass [mm]0+0=0[/mm] ist (warum?)
Dann hast du's auch (wieder mit 2))
> Aber das ist ja auch wieder das, was du geschrieben hast,
> nur dass ich 3) erst auf die Form 0 * a = 0 gebracht habe.
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Do 30.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey!
was möchtest du studieren? ;)...
(hoffe das stand noch nich da) ;)..
JAn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Do 30.09.2010 | | Autor: | Heatshawk |
Wenn alles läuft Bachelor, Master, Promotion.
Also erstmal Bachelor.
Mal schauen wie weit ich komme.
Mal versuchen:
(-a)(-b)= ((-1)*a)*((-1)*b) = (-1)*a*(-1)*b = (-1)(-1)*a*b
= ((-1)(-1))ab= 1 (ab) = 1*a * 1*b = a*b
Wobei ich nicht weiß, ob ich (-1)²=1 schreiben darf.^^
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Dann verfasse ich es nocheinmal als Frage^^
Wenn alles läuft Bachelor, Master, Promotion.
Also erstmal Bachelor.
Mal schauen wie weit ich komme.
Mal versuchen:
(-a)(-b)= ((-1)*a)*((-1)*b) = (-1)*a*(-1)*b = (-1)(-1)*a*b
= ((-1)(-1))ab= 1 (ab) = 1*a * 1*b = a*b
Ein weiterer Beweis den ich gefunden habe ist die Eindeutigkeit des neutralen Elements der Multiplikation:
Annahme neutrale Elemente: e und e'
e = e * e' = e' * e = e' Reicht das schon?
Im Moment sitze ich an der Dreiecksungleichung |A+B| [mm] \le [/mm] |A| + |B|
Hier weiß ich nicht wie ich hier vorgehen soll =/
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:04 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, sieht ok aus. Dass (-1)*(-1)=1 ist, kann man auch noch zeigen. Du weißt ja, dass (-1)*a=-a ist. Daher ist (-1)*(-1)=-(-1). Nun ist das additiv Inverse von -1 einerseits -(-1), andererseits auch 1. Da das Inverse aber eindeutig ist, muss -(-1)=1 gelten.
Der Beweis zur Eindeutigkeit des neutralen Elements ist auch richtig. Kurz und schmerzlos. ;)
Zur Dreiecksungleichung: Quadriere mal beide Seiten. Das geht gefahrlos, weil ja beide Seiten positiv sind. Dann beachte noch, dass [mm] $|x|\ge [/mm] x$ ist für alle [mm] x\in\IR [/mm] (das kannst du einfach mit der Definition des Betrages zeigen).
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Okay, ist ja auf jeden Fall positiv, dann darf ich ja Quadrieren.
|A+B| [mm] \le [/mm] |A| + |B|
[mm] \gdw [/mm] A² + 2AB + B² [mm] \le [/mm] A² + 2|A||B| + B²
[mm] \gdw [/mm] 2AB [mm] \le [/mm] 2|A||B|
[mm] \gdw [/mm] 2AB [mm] \le [/mm] 2|AB|
und nun gilt ja X [mm] \le [/mm] |x| [mm] \forallx \in [/mm] IR
Stimmt das so?
Habt ihr noch ein paar kleinere Beweise?
Danke im Voraus
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Hallo Andreas,
> Okay, ist ja auf jeden Fall positiv, dann darf ich ja
> Quadrieren.
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> |A+B| [mm]\le[/mm] |A| + |B|
> [mm]\gdw[/mm] A² + 2AB + B² [mm]\le[/mm] A² + 2|A||B| + B²
Dazu solltest du ein Wort verlieren: " [mm]\gdw[/mm] , weil ... "
> [mm]\gdw[/mm] 2AB [mm]\le[/mm] 2|A||B|
> [mm]\gdw[/mm] 2AB [mm]\le[/mm] 2|AB| ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und nun gilt ja X [mm]\le[/mm] |x| [mm]\forallx \in[/mm] IR
Begründe dies noch kurz!
>
> Stimmt das so?
Jo, sieht gut aus!
> Habt ihr noch ein paar kleinere Beweise?
Hmm, mal sehen, so auf die Schnelle:
Zeige die umgekehrte Dreiecksungleichug:
[mm]\left||x|-|y|\right| \ \le \ |x-y|[/mm] für alle [mm]x,y\in\IR[/mm]
> Danke im Voraus
Gruß
schachuzipus
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Da fragst du glaube an der richtigen Stelle, ich weiß nicht, ob ich es präzise genug begründen kann.
Ich würde sagen
> > |A+B| [mm]\le[/mm] |A| + |B|
> > [mm]\gdw[/mm] A² + 2AB + B² [mm]\le[/mm] A² + 2|A||B| + B²
>
> Dazu solltest du ein Wort verlieren: " [mm]\gdw[/mm] , weil ...
auf der linken Seite der Betrag die ganze Summe erfasst, ist diese auf jeden Fall positiv. Auf der rechten aber kann ich nicht einfach auch +2ab schreiben, da durch die Beträge der einzelnen Summanden 2ab nicht eindeutig positiv sein muss.
Nun die Begründung, dass 2AB [mm] \le [/mm] 2|AB|
Man könnte auf beiden Seiten durch 2 dividieren un AB := x definieren, so komme ich auf das gewünschte x [mm] \le [/mm] |x|
Und der Betrag ist für positive x (und 0) gleich also:
x=|x| für x [mm] \in \IR^{\ge0}
[/mm]
Und für negatives x kehrt der Betrag das Vorzeichen um, also
x < |x| für x [mm] \in \IR^{<0}
[/mm]
Nun setze ich mich an die umgekehrte Dreiecksgleichung und poste diese in einem neuen Thread.
Vielen dank
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Hallo nochmal,
> Da fragst du glaube an der richtigen Stelle, ich weiß
> nicht, ob ich es präzise genug begründen kann.
> Ich würde sagen
>
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> > > |A+B| [mm]\le[/mm] |A| + |B|
> > > [mm]\gdw[/mm] A² + 2AB + B² [mm]\le[/mm] A² + 2|A||B| + B²
> >
> > Dazu solltest du ein Wort verlieren: " [mm]\gdw[/mm] , weil ...
>
> auf der linken Seite der Betrag die ganze Summe erfasst,
> ist diese auf jeden Fall positiv. Auf der rechten aber kann
> ich nicht einfach auch +2ab schreiben, da durch die
> Beträge der einzelnen Summanden 2ab nicht eindeutig
> positiv sein muss.
Naja, ich meinte eher das, was Teufel schon gesagt hat.
Du musst natürlich die Äquivalenzumformung begründen (beide Seiten positiv... s.oben)
I.A ist das Quadrieren ja keine Äquivalenzumformung ...
>
>
> Nun die Begründung, dass 2AB [mm]\le[/mm] 2|AB|
> Man könnte auf beiden Seiten durch 2 dividieren un AB :=
> x definieren, so komme ich auf das gewünschte x [mm]\le[/mm] |x|
> Und der Betrag ist für positive x (und 0) gleich also:
> x=|x| für x [mm]\in \IR^{\ge0}[/mm]
> Und für negatives x kehrt
> der Betrag das Vorzeichen um, also
> x < |x| für x [mm]\in \IR^{<0}[/mm]
Ja, schreibe es doch genau auf:
Für [mm]x<0[/mm] ist [mm]|x|=-x[/mm]
Also hast du [mm]x \ \le \ |x|[/mm]
[mm]\gdw x \ \le \ -x[/mm]
[mm]\gdw 1 \ \le \ -1[/mm]
>
> Nun setze ich mich an die umgekehrte Dreiecksgleichung und
> poste diese in einem neuen Thread.
Gute Idee, ist ja schon etwas länger und bissl unübersichlich hier.
>
> Vielen dank
Gerne
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 02.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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