Einfache Mengenbeweis < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Kaelthas |
| Aufgabe | Seien A,B,C Mengen.Beweisen sie folgennde Äquivalenzen
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = [mm] A\cap(B \cup [/mm] C) [mm] \gdw C\subseteq [/mm] A |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = (A [mm] \cap B)\cup(A \cap [/mm] C) ;Distributivgesetz
Kann ich nun vereinfachen und:
[mm] \gdw [/mm] C = A [mm] \cap [/mm] C dafür schreiben
und dann nur nur noch
C = A [mm] \cap [/mm] C [mm] \gdw C\subseteq [/mm] A beweisen?
habe keine Erfahrungen bisher ob man so verfahren kann ...
Ich habe mich auch so an der Aufgabe versucht (ohne Vereinfachung)
dazu eine weitere Frage:
Wenn ich diese Richtung beweisen möchte:
[mm] C\subseteq [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = [mm] A\cap(B \cup [/mm] C)
muss ich ja auch Zeigen das:
unter Annahme von [mm] C\subseteq [/mm] A ; also x [mm] \in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A
gilt das (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C [mm] \subset A\cap(B \cup [/mm] C)
habe (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C soweit umgeformt zu:
[mm] (x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] C) und [mm] (x\in [/mm] B oder x [mm] \in [/mm] C)
->Hier Meine Frage kann ich die Vorraussetzung:
nur für die erste Klammer einsetzen?
so das:
[mm] (x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] A) und [mm] (x\in [/mm] B oder x [mm] \in [/mm] C)
[mm] \Rightarrow x\in [/mm] A und [mm] (x\in [/mm] B oder x [mm] \in [/mm] C)
[mm] \Rightarrow A\cap(B \cup [/mm] C) folgen kann?
wenn das net richtig is weiss ich leider momentan nicht weiter..
Folgende Beweisrichtung habe ich schon viel versucht aber bisher kein
Gefühl wie ich die Mengengleichung umformen soll da wir grade erst angefangen haben mit Mengen umzugehn
Annahme : (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = [mm] A\cap(B \cup [/mm] C) gilt
zeige das x [mm] \in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A gilt
i
ch habe auch nach ähnlichen Aufgaben gesucht hier im Forum gesucht und da hab ich noch eine Frage :
Folgende Aufgabe kopiert:
Seien M,N,T Mengen. Zeigen Sie:
> [mm]M\cap (N\cup M)=M\cup (N\cap M)=M[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich "wandel" den ersten teil derMengenverknüpfung erstmal
> in aussagen um,
Dieser Weg ist zwar möglich, aber nach meinem Gefühl wohl eher nicht im Sinne des Aufgabenstellers. Ich empfehle Dir eher den Beweis über eine Anwendung folgender Beziehungen zwischen Vereinigung bzw. Durchschnitt und Inklusion für beliebige Mengen $A,B,C$ zu führen:
[mm]A,B\subseteq C\Rightarrow A\cup B\subseteq C[/mm]
[mm]C\subseteq A \Rightarrow C\subseteq A\cup B[/mm]
[mm]C\subseteq A,B \Rightarrow C\subseteq A\cap B[/mm]
[mm]A\subseteq C \Rightarrow A\cap B\subseteq C[/mm]
Diese Beziehungen sind unmittelbar einleuchtend, wenn man sich klar macht, dass [mm] $A\cup [/mm] B$ die kleinste obere Schranke bzw. [mm] $A\cap [/mm] B$ die grösste untere Schranke von $A$ und $B$ bezüglich der Inklusions(partial)ordnung [mm] $\subseteq$ [/mm] ist.
Aufgrund dieser Beziehungen ist z.B. leicht zu sehen, dass [mm] $M\subseteq M\cap (N\cup M)\subseteq [/mm] M$, also insgesamt [mm] $M\cap (N\cup [/mm] M)=M$.
Dieser Stelle meine ich wie is das leicht zu sehn...?
die 4 allgemeingültigen Aussagen sind mir absolut klar
kann mir das einer erklären wie ma die anwendet alle 4 Aussagen haben ja spezielle Vorraussetzungen aus denen Beziehungen( [mm] \Rightarrow [/mm] )Folgen hab Probleme zu verstehen wie ma sie überträgt
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> ich habe auch nach ähnlichen Aufgaben gesucht hier im Forum
> gesucht und da hab ich noch eine Frage :
>
> Folgende Aufgabe kopiert:
>
>
> Seien M,N,T Mengen. Zeigen Sie:
> > [mm]M\cap (N\cup M)=M\cup (N\cap M)=M[/mm]
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Ich "wandel" den ersten teil derMengenverknüpfung erstmal
> > in aussagen um,
>
> Dieser Weg ist zwar möglich, aber nach meinem Gefühl wohl
> eher nicht im Sinne des Aufgabenstellers. Ich empfehle Dir
> eher den Beweis über eine Anwendung folgender Beziehungen
> zwischen Vereinigung bzw. Durchschnitt und Inklusion für
> beliebige Mengen [mm]A,B,C[/mm] zu führen:
>
> [mm]A,B\subseteq C\Rightarrow A\cup B\subseteq C[/mm]
> [mm]C\subseteq A \Rightarrow C\subseteq A\cup B[/mm]
>
> [mm]C\subseteq A,B \Rightarrow C\subseteq A\cap B[/mm]
> [mm]A\subseteq C \Rightarrow A\cap B\subseteq C[/mm]
>
> Diese Beziehungen sind unmittelbar einleuchtend, wenn man
> sich klar macht, dass [mm]A\cup B[/mm] die kleinste obere Schranke
> bzw. [mm]A\cap B[/mm] die grösste untere Schranke von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm]
> bezüglich der Inklusions(partial)ordnung [mm]\subseteq[/mm] ist.
>
> Aufgrund dieser Beziehungen ist z.B. leicht zu sehen, dass
> [mm]M\subseteq M\cap (N\cup M)\subseteq M[/mm], also insgesamt [mm]M\cap (N\cup M)=M[/mm].
>
> Dieser Stelle meine ich wie is das leicht zu sehn...?
Aus [mm] $M\subseteq [/mm] M$ und [mm] $M\subseteq N\cup [/mm] M$ folgt [mm] $M\subseteq M\cap (N\cup [/mm] M)$. (Dies ist eine Anwendung der dritten oben angegebenen allgemeinen Schlussweise [mm] $C\subseteq A,B\Rightarrow C\subseteq A\cap [/mm] B$ mit $C := M$, $A := M$ und $B := [mm] N\cup [/mm] M$.)
Aus [mm] $M\subseteq [/mm] M$ folgt, [mm] $M\cap (N\cup [/mm] M) [mm] \subseteq [/mm] M$. (Dies ist eine Anwendung der vierten oben angegebenen allgemeinen Schlussweise [mm] $A\subseteq [/mm] C [mm] \Rightarrow A\cap B\subseteq [/mm] C$ mit $C := M$, $A := M$ und $B := [mm] N\cup [/mm] M$.)
> die 4 allgemeingültigen Aussagen sind mir absolut klar
>
> kann mir das einer erklären wie ma die anwendet alle 4
> Aussagen haben ja spezielle Vorraussetzungen aus denen
> Beziehungen( [mm]\Rightarrow[/mm] )Folgen hab Probleme zu verstehen
> wie ma sie überträgt
Siehe oben.
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> Seien A,B,C Mengen.Beweisen sie folgennde Äquivalenzen
>
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = [mm]A\cap(B \cup[/mm] C) [mm]\gdw C\subseteq[/mm] A
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
>
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = (A [mm]\cap B)\cup(A \cap[/mm] C)
> ;Distributivgesetz
>
> Kann ich nun vereinfachen und:
>
> [mm]\gdw[/mm] C = A [mm]\cap[/mm] C dafür schreiben
>
> und dann nur nur noch
>
> C = A [mm]\cap[/mm] C [mm]\gdw C\subseteq[/mm] A beweisen?
Ich würde den Beweis in zwei Schritten führen: [mm] $\Rightarrow$ [/mm] und [mm] $\Leftarrow$.
[/mm]
Den Beweis $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = [mm] A\cap(B \cup C)\Rightarrow C\subseteq [/mm] A$ würde ich (indirekt) durch Transposition führen. Es gilt [mm] $C\not\subseteq A\Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C [mm] \neq A\cap(B \cup [/mm] C)$. Denn aus der Voraussetzung [mm] $C\not\subseteq [/mm] A$ folgt, dass es ein [mm] $x\in C\backslash [/mm] A$ gibt. Dieses $x$ liegt also auch in $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C $, aber nicht in [mm] $A\cap(B \cup [/mm] C)$. Denn es ist ja [mm] $A\cap(B \cup C)\subseteq [/mm] A$.
Die wesentliche Idee für den Beweis in der andren Richtung, d.h. von $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = [mm] A\cap(B \cup C)\Leftarrow C\subseteq [/mm] A$, hast Du selbst schon hingeschrieben. Denn aus [mm] $C\subseteq [/mm] A$ folgt (ja ist sogar äquivalent mit) [mm] $A\cap [/mm] C = C$. Daher liefert eine simple Anwendung des Distributivgesetzes, dass gilt
[mm] [center]$A\cap(B \cup [/mm] C) = [mm] (A\cap B)\cup(A\cap C)=(A\cap B)\cup [/mm] C$[/center]
was (für diese Richtung der Bijektion zu zeigen war).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Kaelthas |
danke an Somebody für die Lösung meiner Mengenprobleme!
das M [mm] \subseteq [/mm] M gilt war der Hinweis der mir fehlte darauf lässt sich ja dann alles aufbauen ...
das der Beweis der Aussage:
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = [mm] A\cap(B \cup C)\Rightarrow C\subseteq [/mm] A
auch durch den Beweis der Aussage:
[mm] C\not\subseteq A\Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C [mm] \neq A\cap(B \cup [/mm] C)
erfolg ...wär mir sicherlich auch net alsoschnell aufgefallen oO
also danke für den wertvollen Hinweis..
denke ich hätte weiterhin versucht zu zeigen das wenn:
A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = [mm] A\cap(B \cup [/mm] C) gilt
dann gilt auch für alle x: x [mm] \in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A gilt
dabei kam ich aber nach Def. einsetzen und und simplen Umstellungen zu keinem brauchbaren Ausdruck ..
vlt fehlt mir da noch Erfahrung wie man Mengengleichungen äqivalent umformt oder diese Ansatz ist hier eher ungünstig
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Kaelthas |
Eine Sache würde ich doch gerne noch wissen
habe (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C soweit umgeformt zu:
[mm] (x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] C) und [mm] (x\in [/mm] B oder x [mm] \in [/mm] C)
->Hier Meine Frage kann ich die Vorraussetzung:
[mm] C\subseteq [/mm] A ; also x [mm] \in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A
nur für die erste Klammer einsetzen?
so das:
[mm] (x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] A) und [mm] (x\in [/mm] B oder x [mm] \in [/mm] C) folgt ?
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> Eine Sache würde ich doch gerne noch wissen
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> habe (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C soweit umgeformt zu:
>
> [mm](x\in[/mm] A oder [mm]x\in[/mm] C) und [mm](x\in[/mm] B oder x [mm]\in[/mm] C)
>
> ->Hier Meine Frage kann ich die Vorraussetzung:
> [mm]C\subseteq[/mm] A ; also x [mm]\in[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A
>
> nur für die erste Klammer einsetzen?
>
> so das:
>
> [mm](x\in[/mm] A oder [mm]x\in[/mm] A) und [mm](x\in[/mm] B oder x [mm]\in[/mm] C) folgt ?
>
[mm] $x\in C\Rightarrow x\in [/mm] A$ ist äquivalent mit der Aussage [mm] $x\in [/mm] A [mm] \vee x\notin [/mm] C$. Insgesamt hast Du damit die folgende Konjunktion
[mm] [center]$(x\in [/mm] A [mm] \vee x\notin C)\wedge (x\in [/mm] A [mm] \vee x\in [/mm] C) [mm] \wedge (x\in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C)$[/center]
die sich auf die gewünschte Weise umformen lässt
[mm]\begin{array}{lcl}
(x\in A \vee x\notin C)\wedge (x\in A \vee x\in C) \wedge (x\in B \vee x \in C) &\Leftrightarrow& \big[(x\in A \vee x\notin C)\wedge (x\in A \vee x\in C)\big]\wedge (x\in B \vee x \in C)\\
&\Leftrightarrow& \big[x\in A\wedge (x\notin C\vee x\in C)\big]\wedge (x\in B \vee x \in C)\\
&\Leftrightarrow& x\in A \wedge (x\in B \vee x\in C)
\end{array}[/mm]
Aber wirklich etwas Grossartiges gewonnen hast Du mit dem Übergang zu Aussagen der Form [mm] $x\in \ldots$ [/mm] eigentlich nicht: ausser mehr Schreibarbeit.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 So 04.11.2007 | | Autor: | Kaelthas |
als Übung wollte ich ich diese Richtung beweisen :
[mm] C\subseteq [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = [mm] A\cap(B \cup [/mm] C)
in dem ich unter Annahme von : [mm] C\subseteq [/mm] A ; also x [mm] \in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A
zeige das:
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C [mm] \subset A\cap(B \cup [/mm] C) und [mm] A\cap(B \cup [/mm] C) [mm] \subset (A\cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C gilt.
um (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C [mm] \subset A\cap(B \cup [/mm] C) zu beweisen hab ich
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C in Form von:
[mm] (x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] C) und [mm] (x\in [/mm] B oder x [mm] \in [/mm] C) hingeschrieben
und wollte nun für [mm] x\in [/mm] C einfach [mm] x\in [/mm] A schreiben aber nur in der 1. Klammer!?
dann würde ja das folgen was ich brauche:
[mm] (x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] A) und [mm] (x\in [/mm] B oder x [mm] \in [/mm] C)
woraus ja [mm] \Rightarrow A\cap(B \cup [/mm] C) folgt ;
nur weiss ich net ab das so korrekt is...
@Somebody
oben hast ja gezeigt
wie aus der Vorraussetzungen:
[mm] C\subseteq [/mm] A [mm] \gdw x\in C\Rightarrow x\in [/mm] A [mm] \gdw x\in [/mm] A [mm] \vee x\notin [/mm] C
also aus [mm] x\in [/mm] A [mm] \vee x\notin [/mm] C und (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C
[mm] \Rightarrow A\cap(B \cup [/mm] C) folgt
somit auch : (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C [mm] \subset A\cap(B \cup [/mm] C)
diese Vorgehnsweise dabei scheit mir auf jeden Fall exakter danke dafür !
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