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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Mi 13.06.2012 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | | Ein Element $[k]$ ist genau dann eine Einheit in [mm] $\mathbb{Z}_n [/mm] := [mm] \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, [/mm] wenn ggT($k,n$) = 1 gilt. |
Ich wüsste sehr gern, wieso es gilt.
Die Begründung, die mir eingefallen ist finde ich selber nicht besonders gut: Wäre ggT($k,n$) [mm] $\neq$ [/mm] 1, so wäre es nicht möglich das zu $[k]$ inverse Element mit Hilfe vom erweiterten Eucklidischen Algorithmus zu bestimmen und somit wäre $[k]$ keine Einheit.
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Hallo GeMir,
wenn ggT(k,n)=1, was heißt das dann für kgV(k,n)?
...und was sagt Dir das dann zum Thema "Einheit"?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mi 13.06.2012 | | Autor: | GeMir |
Mit einer weniger didaktisch wertvollen Antwort wäre ich auch zufrieden,
aber ich kann auch mitspielen:
Da die Zahlen teilerfremd sind, ist kgV($k, n$) = [mm] $k\cdot [/mm] n$,
und was sollte dies mir zum Thema "Einheit" sagen?
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moin,
> Mit einer weniger didaktisch wertvollen Antwort wäre ich
> auch zufrieden,
> aber ich kann auch mitspielen:
>
> Da die Zahlen teilerfremd sind, ist kgV([mm]k, n[/mm]) = [mm]k\cdot n[/mm],
> und was sollte dies mir zum Thema "Einheit" sagen?
Ja, das gilt im Fall ggt(k,n) = 1.
In diesem Fall ist es aber eine Einheit, da du das Inverse ja mit dem Euklidischen Algorithmus berechnen kannst.
Was ist jetzt, wenn ggt(k,n) = a>1 wäre?
Dann wäre kgV(k,n) = [mm] $\ldots$
[/mm]
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Do 14.06.2012 | | Autor: | GeMir |
Wäre ggT($k, n$) = a > 1, so wäre kgV($k, n$) = [mm] $\frac{k\cdot n}{a}$ [/mm] und ich wüßte immer noch nicht, worauf ihr beide hinaus wollt :)
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> Wäre ggT([mm]k, n[/mm]) = a > 1, so wäre kgV([mm]k, n[/mm]) = [mm]\frac{k\cdot n}{a}[/mm]
> und ich wüßte immer noch nicht, worauf ihr beide hinaus
> wollt :)
Die Zahl $a$ ist ein Teiler von $n$.
Damit gilt mit $s := [mm] \frac{n}{a}$, [/mm] dass $s*k$ ein Vielfaches von $n$ ist.
Überdies gilt $1 < s < n$.
Betrachte das ganze jetzt mal in Restklassen, dann sollte das passen.
lg
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