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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Mi 29.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | (1) Bestimmen Sie alle Einheiten von [mm] Z_{15}, [/mm] wobei [mm] Z_n [/mm] := [mm] \IZ/n\IZ [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] bezeichnet.
(2) Zeigen Sie, dass [mm] \overline{n-1} \in Z_n [/mm] für alle [mm] n\in \IN_{\ge2} [/mm] eine Einheit ist.
(3) Berechnen Sie [mm] \overline{5^{54321}} [/mm] in [mm] Z_7. [/mm] |
Hallo,
Aufgaben (1) und (2) habe ich bereits gelöst. Bei (3) weiß ich nicht so ganz, wie ich am besten anfangen soll. Es gilt [mm] \overline{5^{54321}}=\overline{(-2)^{54321}}. [/mm] Ich vermute, dass [mm] \overline{5^{54321}} [/mm] gleich [mm] \overline{1}, \overline{2} [/mm] oder [mm] \overline{4}, [/mm] aber ich weiß nicht, wie ich dies begründen soll.
Über einen Tipp bin ich sehr dankbar.
Viele Grüße
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Mi 29.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo Katrin!
> (1) Bestimmen Sie alle Einheiten von [mm]Z_{15},[/mm] wobei [mm]Z_n[/mm] :=
> [mm]\IZ/n\IZ[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] bezeichnet.
> (2) Zeigen Sie, dass [mm]\overline{n-1} \in Z_n[/mm] für alle [mm]n\in \IN_{\ge2}[/mm]
> eine Einheit ist.
> (3) Berechnen Sie [mm]\overline{5^{54321}}[/mm] in [mm]Z_7.[/mm]
> Hallo,
> Aufgaben (1) und (2) habe ich bereits gelöst.
Sehr schön.
> Bei (3)
> weiß ich nicht so ganz, wie ich am besten anfangen soll.
Vielleicht ein bißchen probieren ... oder der kleine Fermatsche Satz, falls bekannt.
Was sind denn die ersten 6 Potenzen von 5 in [mm] Z_7?
[/mm]
> Es gilt [mm]\overline{5^{54321}}=\overline{(-2)^{54321}}.[/mm] Ich
> vermute, dass [mm]\overline{5^{54321}}[/mm] gleich [mm]\overline{1}, \overline{2}[/mm]
> oder [mm]\overline{4},[/mm] aber ich weiß nicht, wie ich dies
> begründen soll.
Woher kommt denn diese Vermutung? Sie ist nicht richtig.
> Über einen Tipp bin ich sehr dankbar.
Die ersten 6 Potenzen berechnen und dann noch mal scharf nachdenken.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 29.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich habe die Aufgabe nun folgendermaßen gerechnet:
[mm] \overline{5^0}=\overline{1}, [/mm] ..., [mm] \overline{5^3}=\overline{6}, [/mm] ..., [mm] \overline{5^6}=\overline{1}, [/mm] ...
Daraus habe ich geschlossen, dass [mm] \overline{5^3}=\overline{5^{3+6a}} [/mm] mit a [mm] \in \IN [/mm] gilt. Da 54321 mod 6 = 3, gilt [mm] \overline{5^{54321}}=\overline{5^3}=\overline{6}
[/mm]
Ist das so richtig? Wie kann ich noch besser begründen, dass [mm] \overline{5^{54321}} [/mm] und [mm] \overline{5^3} [/mm] wirklich dasselbe sind?
Vielen Dank.
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mo 03.01.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich habe die Aufgabe nun folgendermaßen gerechnet:
> [mm]\overline{5^0}=\overline{1},[/mm] ...,
> [mm]\overline{5^3}=\overline{6},[/mm] ...,
> [mm]\overline{5^6}=\overline{1},[/mm] ...
> Daraus habe ich geschlossen, dass
> [mm]\overline{5^3}=\overline{5^{3+6a}}[/mm] mit a [mm]\in \IN[/mm] gilt. Da
> 54321 mod 6 = 3, gilt
> [mm]\overline{5^{54321}}=\overline{5^3}=\overline{6}[/mm]
> Ist das so richtig? Wie kann ich noch besser begründen,
> dass [mm]\overline{5^{54321}}[/mm] und [mm]\overline{5^3}[/mm] wirklich
> dasselbe sind?
Damit hast du doch alles gesagt, was willst du da noch mehr begründen?
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Mo 03.01.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hilfe.
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| Aufgabe | | Berechnen Sie $ [mm] \overline{5^{54321}} [/mm] $ in $ [mm] Z_7. [/mm] $ |
Hallo,
also ich muss hier nochmal nachhaken, weil ich denk Rechenweg/Gedankengang von katrin10 immernoch nicht verstehe.
Ich hab die ersten 6 Potenzen von 5 in [mm] Z_{7} [/mm] aufgeschrieben:
[mm] $5^{...}$ $Z_{7}$
[/mm]
0: 1 [mm] \overline{1}
[/mm]
1: 5 [mm] \overline{5}
[/mm]
2: 25 [mm] \overline{25}=\overline{7*3+4}=\overline{4}
[/mm]
3: 125 [mm] \overline{125}=\overline{7*17+6}=\overline{6}
[/mm]
4: 625 [mm] \overline{625}=\overline{7*89+2}=\overline{2}
[/mm]
5: 3125 [mm] \overline{3125}=\overline{7*446+3}=\overline{3}
[/mm]
6: 15625 [mm] \overline{15625}=\overline{7*2232+1}=\overline{1}
[/mm]
So, nun sieht man ,dass sich die Restklassen alle 6 Potenzen wiederholen.
kathrin10 sagt jetzt, da $54321 mod 6 = 3$ ist (warum mod6 und nicht mod7 wegen der [mm] Z_{7}) [/mm] und das damit [mm] $\overline{5^{54321}}=\overline{5^{3}} [/mm] = [mm] \overline{6}$.
[/mm]
Ja, also auf den Schritt mit dem 54321 mod 6 = 3 [mm] \Rightarrow $\overline{5^{54321}}=\overline{5^{3}} [/mm] = [mm] \overline{6}$ [/mm] wäre ich irgendwie nicht gekommen. Kann mir das nochmal jemand genauer erklären?
Ciao
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> Berechnen Sie [mm]\overline{5^{54321}}[/mm] in [mm]Z_7.[/mm]
> Hallo,
>
> also ich muss hier nochmal nachhaken, weil ich denk
> Rechenweg/Gedankengang von katrin10 immernoch nicht
> verstehe.
>
> Ich hab die ersten 6 Potenzen von 5 in [mm]Z_{7}[/mm]
> aufgeschrieben:
> [mm]5^{...}[/mm] [mm]Z_{7}[/mm]
> 0: 1 [mm]\overline{1}[/mm]
> 1: 5 [mm]\overline{5}[/mm]
> 2: 25 [mm]\overline{25}=\overline{7*3+4}=\overline{4}[/mm]
> 3: 125 [mm]\overline{125}=\overline{7*17+6}=\overline{6}[/mm]
> 4: 625 [mm]\overline{625}=\overline{7*89+2}=\overline{2}[/mm]
> 5: 3125 [mm]\overline{3125}=\overline{7*446+3}=\overline{3}[/mm]
> 6: 15625
> [mm]\overline{15625}=\overline{7*2232+1}=\overline{1}[/mm]
>
> So, nun sieht man ,dass sich die Restklassen alle 6
> Potenzen wiederholen.
Hallo,
und man sieht vor allem, daß [mm] \overline{5^{6*n}} [/mm] ein sehr gemütliches Ergebnis hat, nämlich [mm] \overline{1}. [/mm] (Eventuell hast Du einen entsprechenden Satz gelernt, so daß Du Dir das Ausrechnen hättest ersparen können.)
Weil man dieses behagliche Ergebnis kennt, schreibt man
54321=...*6+3,
und damit bekommt man [mm] $\overline{5^{54321}}$=$\overline{5^{...*6+3}}$=$\overline{(5^{6})^{...}}*$\overline{5^{3}}$$
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 02.01.2011 | | Autor: | alex.05 |
| Aufgabe | | (2) Zeigen Sie, dass $ [mm] \overline{n-1} \in Z_n [/mm] $ für alle $ [mm] n\in \IN_{\ge2} [/mm] $ eine Einheit ist. |
Ich wollte fragen, wie du diese gelöst hast, weil ich komm nicht ganz klar mit dieser.
Mir ist bekannt, dass bspw. [mm] \IZ_{n} [/mm] ja gedarde {1,2,...,n-1} Elemente besitzt. Muss ich eventuell mit dem ggT argumentieren? Oder vielleicht mit Induktion beweisen? Weil wir haben ja ein [mm] n\ge2 [/mm] für das gelten soll, dass n-1 eine Einheit bildet. Ja und bei [mm] \IZ_{2} [/mm] ist [mm] \overline{1}\*\overline{1}=\overline{1}.
[/mm]
Wenn man sich [mm] \IZ_{15} [/mm] anschaut, dann ist ja n=15 und n-1=15-1=14.
Dann folgt [mm] \overline{14}\*\overline{14}=\overline{196}=\overline{1}. [/mm]
Einheit heißt ja, dass es ein a,a' [mm] \in [/mm] R gibt mit [mm] a\*a'=1, [/mm] wobei R ein Ring ist und es gilt weiter [mm] R\not= [/mm] {0}.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> (2) Zeigen Sie, dass [mm]\overline{n-1} \in Z_n[/mm] für alle [mm]n\in \IN_{\ge2}[/mm]
> eine Einheit ist.
>
> Ich wollte fragen, wie du diese gelöst hast, weil ich komm
> nicht ganz klar mit dieser.
> Mir ist bekannt, dass bspw. [mm]\IZ_{n}[/mm] ja gedarde
> {1,2,...,n-1} Elemente besitzt. Muss ich eventuell mit dem
> ggT argumentieren?
Damit ist es am einfachsten: es gilt ja $ggT(a, b) = ggT(a, b - a)$. Mit $b = n$ und $a = n - 1$ kommst du sofort zum Ziel.
> Oder vielleicht mit Induktion beweisen?
Einfacher: zeige, dass $(n - [mm] 1)^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{n}$ [/mm] ist.
(Schliesslich ist ja $n - 1 [mm] \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{n}$.)
[/mm]
LG Felix
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