Einheiten im Faktorring < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 So 25.08.2013 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | | Wie viele Elemente des Ringes [mm] Z[X]/(47,X^2+1) [/mm] sind Einheiten? |
Hallo,
für eine Prüfungsvorbereitung habe ich diese Aufgabe im Internet gefunden, leider weiß ich nicht wie ich sie lösen soll.
Einheiten in Ringen Z/nZ sind die Teilerfremden Zahlen zu n, aber wie geht das in einem Faktorring?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 So 25.08.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also die Elemente in dem Ring sehen ja aus wie Polynome von höchstens Grad 1 mit Koeffizienten modulo 47. Meine Lösung sieht jetzt so aus, aber es geht sicher irgendwie besser.
Ich würde so anfangen: $aX+b [mm] \in R^\times [/mm] $
[mm] $\gdw \exists [/mm] c,d [mm] \in \IZ_{47}: (aX+b)(cX+d)=acX^2+(ad+bc)X+bd=(ad+bc)X+bd-ac=1$
[/mm]
[mm] $\gdw \exists [/mm] c,d [mm] \in \IZ_{47}: [/mm] ad+bc=0 [mm] \mod [/mm] 47, bd-ac=1 [mm] \mod [/mm] 47$
Lös das mal nach c und d auf. Dann findest du auch eine Bedingung, die für a und b gelten muss, damit eine Lösung existiert. Damit hast du ein anderer Problem, das du vielleicht besser lösen kannst.
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Hey can,
47 ist glücklicherweise eine Primzahl.
Mit Isomorphiesätzen ist dein Faktorring isomorph zu [mm] $\IF_{47}/\langle x^2+1 \rangle$.
[/mm]
Nun stellt sich die Frage: Ist [mm] $x^2+1$ [/mm] irreduzibel über [mm] $\IF_{47}$?
[/mm]
Falls ja ist dein Ring sogar ein Körper und du kannst die Anzahl der Einheiten sofort bestimmen.
Falls nein kannst du ja ein wenig weiterüberlegen.
Auch wie du überprüfst, ob es irreduzibel ist, lass ich mal deine Sache sein, wenn du dabei nicht weiterkommst kannst du ja gern fragen. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 25.08.2013 | | Autor: | can19 |
x²+1 ist irreduzibel über [mm] \IF_{47}, [/mm] da das Polynom in [mm] \IF_{47} [/mm] keine Nullstellen besitzt.
Dh. der Ring ist ein Körper...wie verfahre ich jetzt weiter?
Kann ich mit der [mm] \phi-Funktion [/mm] (Eulerschen [mm] \phi-Funktion) [/mm] die Einheiten wie gewohnt bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 25.08.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Kannst du begründen, warum [mm] X^2+1 [/mm] keine Nullstelle hat? Über [mm] \IZ[X] [/mm] ist es klar, aber im Ring [mm] \IZ_{47}[X] [/mm] muss man noch etwas mehr dazu sagen.
Genau, der Ring ist dann auch ein Körper (warum genau?) und was weißt du über die Einheitengruppe von Körpern?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 25.08.2013 | | Autor: | can19 |
So genau weiß ich das leider nicht.
Ich habe mir die Elemente betrachtet.
Das Polynom enthält 4 Elemente {[0],[1],[x],[X+1]}
Die Eineitengruppe [mm] U_{p}=\IF^{*}_{p} [/mm] ist ein Körper, sie ist zyklisch und damit ist sie isomorph zu der Gruppe [mm] \IZ/(p-1)\IZ
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 26.08.2013 | | Autor: | Teufel |
Was meinst du genau damit, dass das Polynom 4 Elemente hat?
Ok, also du hast jetzt das Polynom [mm] $X^2+1\in \IZ_{47}[X]$. [/mm] Mir fallen jetzt spontan 2 Möglichkeiten ein um nach Nullstellen zu suchen:
1. du probierst alle Zahlen $a$ von 0 bis 46 aus und guckst, ob [mm] a^2+1=0 [/mm] mod 47 ist. Das ist einfach verständlich, aber dauert seine Zeit.
2. Falls es ein [mm] $a\in \IZ_{47}$ [/mm] mit [mm] a^2+1=0 [/mm] mod 47 gibt, dann ist das äquivalent zu [mm] a^2=-1 [/mm] mod 47. Also wäre -1 ein quadratischer Rest modulo 47. Ist das so?
Und nochmal zur Einheitengruppe: Nein, ich meine etwas einfacheres. Vergessen wir mal, dass wir irgendwie konkrete Körper gegeben haben. Sei $K$ ein beliebiger Körper. Was ist die Einheitengruppe [mm] $K^\times$ [/mm] von $K$ ganz allgemein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 So 25.08.2013 | | Autor: | Teufel |
Hallo Schadow!
Kannst du mir bitte sagen, wie du einen Isomorphiesatz angewendet hast? Ich komme da auf keinen grünen Zweig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:27 Mo 26.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Teufel,
> Kannst du mir bitte sagen, wie du einen Isomorphiesatz
> angewendet hast? Ich komme da auf keinen grünen Zweig.
das ist u.a. der zweite Isomorphiesatz: [mm] $\IF_{47}[x] [/mm] / [mm] \langle x^2 [/mm] + 1 [mm] \rangle \cong (\IZ[x] [/mm] / [mm] \langle [/mm] 47 [mm] \rangle) [/mm] / [mm] (\langle [/mm] 47, [mm] x^2 [/mm] + 1 [mm] \rangle [/mm] / [mm] \langle [/mm] 47 [mm] \rangle) \cong \IZ[x] [/mm] / [mm] \langle [/mm] 47, [mm] x^2 [/mm] + 1 [mm] \rangle$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:50 Mo 26.08.2013 | | Autor: | can19 |
Felix könntest du mir sagen was ich genau rechnen muss?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 28.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mo 26.08.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi, Felix!
Danke für die Antwort. Ich bin irgendwie nicht auf die erste Isomorphie gekommen, obwohl es natürlich nahe lag diese zu prüfen. Ich habe das jetzt mal etwas "zu Fuß" gemacht, im Sinne von [mm] $\IZ_{47}[X] \cong \IZ[X]/(47)$ [/mm] via [mm] $\varphi \Rightarrow \IZ_{47}[X]/(X^2+1) \cong \varphi(\IZ_{47}[X])/\varphi((X^2+1))=\IZ[X]/(47)/\varphi((X^2+1))$ [/mm] und dann zeigen, dass [mm] \varphi((X^2+1))=(47,X^2+1)/(47) [/mm] gilt.
Geht das auch irgendwie einfacher? Oder hast du das auch so gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mi 28.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Teufel,
> Danke für die Antwort. Ich bin irgendwie nicht auf die
> erste Isomorphie gekommen, obwohl es natürlich nahe lag
> diese zu prüfen. Ich habe das jetzt mal etwas "zu Fuß"
> gemacht, im Sinne von [mm]\IZ_{47}[X] \cong \IZ[X]/(47)[/mm] via
> [mm]\varphi \Rightarrow \IZ_{47}[X]/(X^2+1) \cong \varphi(\IZ_{47}[X])/\varphi((X^2+1))=\IZ[X]/(47)/\varphi((X^2+1))[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und dann zeigen, dass [mm]\varphi((X^2+1))=(47,X^2+1)/(47)[/mm]
> gilt.
Erstmal hast du ja [mm] $\varphi(\langle X^2 [/mm] + [mm] 1\rangle) [/mm] = [mm] \langle X^2 [/mm] + 1 [mm] \rangle$ [/mm] (siehe auch unten). Und dann hast du das Resultat aus dem Isomorphiesatz, dass [mm] $\varphi(\langle X^2 [/mm] + 1 [mm] \rangle) [/mm] = [mm] (\langle [/mm] 47 [mm] \rangle [/mm] + [mm] \langle X^2 [/mm] + 1 [mm] \rangle) [/mm] / [mm] \langle [/mm] 47 [mm] \rangle$ [/mm] ist.
> Geht das auch irgendwie einfacher? Oder hast du das auch so
> gemacht?
Ich wuerd allgemein folgendes Resultat zeigen, aus dem das folgt:
Ist $R$ ein Ring und $I$ ein Ideal in $R$, und sind [mm] $X_j, [/mm] j [mm] \in [/mm] J$ Unbestimmte ueber $R$ und $S := [mm] R[X_j \mid [/mm] j [mm] \in [/mm] J]$ der zugehoerige Polynomring, so ist [mm] $\langle [/mm] I [mm] \rangle_S$ [/mm] die Menge aller Polynome in $S$ mit Koeffizienten in $I$ und es gilt [mm] $S/\langle [/mm] I [mm] \rangle_S \cong (R/I)[X_j \mid [/mm] j [mm] \in [/mm] J]$, wobei der Isomorphismus durch den surjektiven Ringhomomorphismus $S [mm] \to (R/I)[X_j \mid [/mm] j [mm] \in [/mm] J]$ induziert wird.
Wenn man das einmal bewiesen hat kann man es immer wieder brauchen, wie z.B. hier 
Ansonsten kannst du auch folgendes beweisen:
Ist [mm] $\pi [/mm] : R [mm] \to [/mm] S$ ein surjektiver Ringhomomorphismus und $I = [mm] \langle a_j \mid [/mm] i [mm] \in [/mm] J [mm] \rangle$ [/mm] ein Ideal in $R$, so ist [mm] $\pi(I) [/mm] = [mm] \langle \pi(a_j) \mid [/mm] j [mm] \in [/mm] J [mm] \rangle$ [/mm] ein Ideal in $S$.
(Den Grossteil davon hat man ja meist eh schon bewiesen  )
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 28.08.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi Felix!
Vielen Dank für die Erklärung!
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