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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Einheitengruppe
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Einheitengruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Mi 08.08.2007
Autor: SusanneK

Aufgabe
Die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo 10 besteht aus den Elementen 1,3,7 und 9.

Ich verstehe diese Aussage nicht, vielleicht auch weil ich die Begriffe noch nicht so ganz verstehe:

Die Einheitengruppe ist doch die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente des Restklassenringes.

Die Elemente 1,3,7,9  des Restklassenringes lauten
[mm]1:=\{..,-9,1,11,21,31,..\}[/mm]
[mm]3:=\{..,-7,3,13,23,33,..\}[/mm]
[mm]7:=\{..,-3,7,17,27,37,..\}[/mm]
[mm]9:=\{..,-1,9,19,29,39,..\}[/mm]
Ist da richtig ?
Warum sind gerade diese 4 Elemente invertierbar ?



        
Bezug
Einheitengruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Mi 08.08.2007
Autor: Leopold_Gast

Es besitzen genau diejenigen Restklassen multiplikative Inverse, deren Erzeugende teilerfremd zu 10 sind:

1,10 teilerfremd
2,10 nicht teilerfremd
3,10 teilerfremd
4,10 nicht teilerfremd
5,10 nicht teilerfremd
6,10 nicht teilerfremd
7,10 teilerfremd
8,10 nicht teilerfremd
9,10 teilerfremd

Also bilden die Restklassen [mm]\overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9}[/mm] die Einheitengruppe. Du kannst das überprüfen: Jedes Gruppenelement muß ein Inverses besitzen:

[mm]\overline{1} \cdot \overline{1} = \overline{1}[/mm]
[mm]\overline{3} \cdot \overline{7} = \overline{21} = \overline{1}[/mm]
[mm]\overline{9} \cdot \overline{9} = \overline{81} = \overline{1}[/mm]

[mm]\overline{1}[/mm] und [mm]\overline{9}[/mm] sind also jeweils zu sich selbst invers; [mm]\overline{3}[/mm] und [mm]\overline{7}[/mm] sind invers zueinander. Die Gruppe ist zyklisch von der Ordnung 4. Ein erzeugendes Element ist z.B. [mm]\overline{3}[/mm]:

[mm]\overline{3}^1 = \overline{3}[/mm]
[mm]\overline{3}^2 = \overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{9}[/mm]
[mm]\overline{3}^3 = \overline{3}^2 \cdot \overline{3} = \overline{9} \cdot \overline{3} = \overline{27} = \overline{7}[/mm]
[mm]\overline{3}^4 = \overline{3}^3 \cdot \overline{3} = \overline{7} \cdot \overline{3} = \overline{21} = \overline{1}[/mm]

Bezug
                
Bezug
Einheitengruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Mi 08.08.2007
Autor: SusanneK

Hallo Leopold_Gast,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe !

Wenn ich das jetzt besser verstehe, kommen in eine Einheitengruppe immer die Elemente, die ich durch Multiplikation auf ein Element in der Gruppe 1 bringen kann, und die 1 ist immer ein Element der Einheitengruppe - stimmt das ?

Was bedeutet "teilerfremd"  ?

> 1,10 teilerfremd
>  2,10 nicht teilerfremd

Kommt man auf ein solches Element wie hier die 3 nur durch Probieren ?

> zueinander. Die Gruppe ist zyklisch von der Ordnung 4. Ein
> erzeugendes Element ist z.B. [mm]\overline{3}[/mm]:
> [mm]\overline{3}^1 = \overline{3}[/mm]
> [mm]\overline{3}^2 = \overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{9}[/mm]
> [mm]\overline{3}^3 = \overline{3}^2 \cdot \overline{3} = \overline{9} \cdot \overline{3} = \overline{27} = \overline{7}[/mm]
> [mm]\overline{3}^4 = \overline{3}^3 \cdot \overline{3} = \overline{7} \cdot \overline{3} = \overline{21} = \overline{1}[/mm]

Danke und Gruss, Susanne.

Bezug
                        
Bezug
Einheitengruppe: einiges dazu
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Mi 08.08.2007
Autor: statler

Hallo Susanne!

> Wenn ich das jetzt besser verstehe, kommen in eine
> Einheitengruppe immer die Elemente, die ich durch
> Multiplikation auf ein Element in der Gruppe 1 bringen
> kann, und die 1 ist immer ein Element der Einheitengruppe -
> stimmt das ?

besser: ... durch Multiplikation in dem betrachteten Ring ...

Etwas allgemeiner: Du hast einen (kommutativen) Ring mit 1. Dann sind die Einheiten diejenigen Elemente, die
- multiplikativ invertierbar sind
oder gleichwertig
- die 1 teilen.

In Matrizenringen kann man auch Einheiten suchen, z. B. in M(2, Z). Der ist allerdings nicht kommutativ.

> Was bedeutet "teilerfremd"  ?
>  > 1,10 teilerfremd

>  >  2,10 nicht teilerfremd

Dieses 'teilerfremd' bezieht sich auf ganze Zahlen. Da bedeutet es, daß sie keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.

> Kommt man auf ein solches Element wie hier die 3 nur durch
> Probieren ?

Bei kleinen Zahlen geht das am schnellsten. Bei richtig großen Zahlen hilft der Euklidische Algorithmus. Und bei Matrizen muß man Gleichungen lösen.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                                
Bezug
Einheitengruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Mi 08.08.2007
Autor: SusanneK

Hallo Dieter,
vielen Dank für deine Hilfe !

Leider habe ich immer noch nicht alles verstanden:

> Dieses 'teilerfremd' bezieht sich auf ganze Zahlen. Da
> bedeutet es, daß sie keinen gemeinsamen Teiler außer 1
> haben.

Die 2 oder die 5 haben doch auch nur die 1 als Teiler ?

Nochmals vielen Dank und Gruss nach Harburg, Susanne.

Bezug
                                        
Bezug
Einheitengruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Mi 08.08.2007
Autor: angela.h.b.


> Leider habe ich immer noch nicht alles verstanden:
>  
> > Dieses 'teilerfremd' bezieht sich auf ganze Zahlen. Da
> > bedeutet es, daß sie keinen gemeinsamen Teiler außer 1
> > haben.
>  Die 2 oder die 5 haben doch auch nur die 1 als Teiler ?

Hallo,

klar!

Bloß für die Fragestellung interessiert das nicht.

Du suchtest doch die Einheiten des Restklassenringes modulo 10, und um die zu finden, schaust Du nach, welche der Zahlen
1,2,...,8, 9 teilerfrend zu 10 sind.


Wenn der Tag kommt, an welchem Du die Einheiten des restklassenringes mod 12 suchst, guckst Du, welche der Zahlen
1,2,...,10,11 teilerfremd zu 12 sind.

Suchst Du die Einheiten des Restklassenringes mod 13, wirst Du eine Überraschung erleben.

Gruß v. Angela

Bezug
                                                
Bezug
Einheitengruppe: Danke !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 Mi 08.08.2007
Autor: SusanneK

Hallo Angela,
vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden !




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