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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Squanto |
| Aufgabe | Für $i [mm] \in \IC$, [/mm] mit [mm] $i^2 [/mm] = -1$ sei [mm] $\IZ [/mm] [i] = [mm] \{a+ib \in \IC | a, b \in \IZ\}$.
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass die Abbildung
[mm] $$\phi [/mm] : [mm] \IZ[i] \to \IN_0, [/mm] a + ib [mm] \mapsto a^2 [/mm] + [mm] b^2,$$ [/mm] multiplikativ ist, d.h. für alle $x,y [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] gilt [mm] $\phi(xy) [/mm] = [mm] \phi(x)\phi(y)$.
[/mm]
c) Benutzen Sie Teil b) um die Einheitengruppe [mm] $E(\IZ[i])$ [/mm] zu bestimmen. |
Hallo!
Die Aufgabe b) habe ich wie folgt gelöst:
$(a +ib) * (c + id) &= ac + ibc + aid + ibid$
$&= ac + ibc + aid - bd$
$&= ac - bd + ibc + aid$
$&= (ac -bd) + i(cb + ad)$
$&= (ac - [mm] bd)^2 [/mm] + (cb + [mm] ad)^2$
[/mm]
$&= [mm] a^2c^2 [/mm] - 2acbd + [mm] b^2d^2 [/mm] + [mm] c^2b^2 [/mm] + 2acbd + [mm] a^2d^2$
[/mm]
$&= a^2c^^2 + [mm] b^2d^2 [/mm] + [mm] c^2d^2 [/mm] + [mm] a^2d^2$
[/mm]
$&= [mm] (a^2 [/mm] + [mm] b^2) [/mm] * [mm] (c^2 [/mm] + [mm] d^2)$
[/mm]
$&= [mm] \phi(a+ib)*\phi(c+id)$
[/mm]
In c) soll ich dies nun benutzen um die Einheitengruppe zu bestimmen. Allerdings weiß ich nicht genau was das ist, geschweige denn wie man diese berechnet. Habe ich b) richtig gelöst?
Wäre nett wenn mir einer einen Tipp für die Aufgabe c) geben könnte.
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:41 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für [mm]i \in \IC[/mm], mit [mm]i^2 = -1[/mm] sei [mm]\IZ [i]= \{a+ib \in \IC | a, b \in \IZ\}[/mm].
>
> b) Zeigen Sie, dass die Abbildung
> [mm]\phi : \IZ[i] \to \IN_0, a + ib \mapsto a^2 + b^2,[/mm]
> multiplikativ ist, d.h. für alle [mm]x,y \in \IZ[i][/mm] gilt
> [mm]\phi(xy) = \phi(x)\phi(y).[/mm]
Ist dir aufgefallen, dass [mm] $\phi(x) [/mm] = [mm] |x|^2$ [/mm] ist?
> c) Benutzen Sie Teil b) um die Einheitengruppe [mm]E(\IZ[i])[/mm] zu
> bestimmen.
Ich hab deine Rechnung zu b) nur ueberflogen, sieht aber ok aus.
Die Einheitengruppe ist die Menge aller Elemente in [mm] $\IZ[i]$, [/mm] die ein multiplikativ Inverses besitzen, also [mm] $E(\IZ[i]) [/mm] = [mm] \{ a \in \IZ[i] \mid \exists b \in \IZ[i] : a b = 1 \}$.
[/mm]
Wenn du jetzt $a [mm] \in E(\IZ[i])$ [/mm] hast, dann gilt [mm] $a^{-1} \in \IZ[i]$ [/mm] und [mm] $\phi(a) \cdot \phi(a^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(1) [/mm] = 1$ nach b). Da [mm] $\phi(a)$ [/mm] und [mm] $\phi(a^{-1})$ [/mm] natuerliche Zahlen sind, muss [mm] $\phi(a) [/mm] = 1 = [mm] \phi(a^{-1})$ [/mm] gelten.
Damit kannst du sehr einfach alle moeglichen Elemente $a [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] finden mit [mm] $\phi(a) [/mm] = 1$, und musst nur noch bei diesen schauen ob sie Einheiten sind.
Jetzt kannst du dich allerdings auch fragen, ob aus [mm] $\phi(a) [/mm] = 1$ schon folgt, dass $a$ eine Einheit ist. Dazu beachte, dass [mm] $\phi(\overline{a}) [/mm] = [mm] \phi(a)$ [/mm] gilt und [mm] $\overline{a}$ [/mm] ebenfalls ein Element aus [mm] $\IZ[i]$ [/mm] ist (dies ist die komplexe Konjugation). Kannst du damit etwas anfangen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Do 23.04.2009 | | Autor: | Squanto |
Zunächst danke für die Antwort!
Das mit dem multiplikativen Inversen meine ich nun verstanden zu haben.
Es muss also gelten [mm] $\phi(x) [/mm] = 1$ das bedeutet doch auch [mm] $\phi(a [/mm] + ib) = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 1$
und dies geht nur, wenn $a = 1$ und $b = 0$ oder $a = 0$ und $b = 1$ ist. $-1$ ist keine Lösung, da nach [mm] $\IN_0$ [/mm] abgebildet wird, oder?
Ebenso wäre doch auch $i$ eine Lösung, da $i$ in der Zuordnungsvorschrift "verloren" geht.
Die "komplexe Konjugation" sagt mir leider nichts.
Den Wikipedia-Artikel hierzu finde ich auch wenig aufschlussreich.
Wenn $y = a + ib$ ist, ist dann [mm] $\overline{y} [/mm] = a - ib$ bzw. [mm] $\overline{y} [/mm] = a + i(-b)$? Dies ändert doch dann nichts an meiner Abbildung. Allerdings würde es meine Behauptung von oben widersprechen, denn dann wäre ja auch $-1$ eine Lösung, ebenso $-i$ ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Do 23.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es Bildet doch nur [mm] \Phi [/mm] nach [mm] \IN_0 [/mm] ab, und [mm] \Phi(-1)=1
[/mm]
du musst fuer die Kandidaten [mm] e_i [/mm] , die du gefunden hast noch -wie fred schon gesagt hat-, ausrechnen ob fuer sie auch gilt
$ [mm] E(\IZ[i]) [/mm] = [mm] \{ a \in \IZ[i] \mid \exists b \in \IZ[i] : a b = 1 \} [/mm] $
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Do 23.04.2009 | | Autor: | Squanto |
Gut, ich versuche es mal mit $1, -1, i, -i$
Mit Eins klappt es ja recht gut:
$1 * a = a$ $ | :a$
$1 = 1$
Für die drei anderen klappt es jedoch nicht:
$-1 * a = a$ $ | :a$
$-1 = 1$ Widerspruch
$i * a = a$ $ | :a$
$i = 1$ Widerspruch
$(-i ) * a = a$ $ | :a$
$(-i) = 1$ Widerspruch
Ist somit die $1$ mein einziges Element in der Einheitengruppe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Do 23.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es heisst doch nicht zu jedem a muss es dasselbe Inverse geben.
lies mal die Def vin E nochmal durch!
gibt es etwa zu -1 ein Element b sodass -1*b=1 ist?
entsprechend mit den anderen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Do 23.04.2009 | | Autor: | Squanto |
Irgendwie habe ich nun den Faden verloren, drum fange ich nochmal an:
Wir sagten, dass die Einheitenguppe alle Elemente sind, für die gilt: [mm] $E(\IZ[i]) [/mm] = [mm] \{ a \in \IZ[i] \mid \exists b \in \IZ[i] : a b = 1 \}$. [/mm] Dies bedeutet, dass [mm] $\phi(a [/mm] + ib) = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 1$ gelten muss (richtig bis hier hin?).
Wenn das der Fall ist, dann kann es nur die [mm] $\pm [/mm] 1$ sein, da man die Gleichung nur erfüllen kann, wenn $a = [mm] \pm [/mm] 1$ und $b = 0$ oder $a = 0$ und $b = [mm] \pm [/mm] 1$ ist.
Beweis hierfür:
$1 * b = 1$ $ | : 1$
$ b = 1 [mm] \in \IZ$
[/mm]
und
$(-1) * b = 1$ $ | : (-1)$
$b = -1 [mm] \in \IZ$
[/mm]
Hoffe nun ist alles richtig.
Grüße Squanto
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Do 23.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
i*b=1 gibts da wirklich keinen deiner kandidaten, der das tut?
ebenso -i*b=1 b=?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Do 23.04.2009 | | Autor: | Squanto |
Hatte ich vergessen.
$i * b = 1$ $ | :i$
$b = [mm] \bruch{1}{i}$
[/mm]
und
$(-i) * b = 1$ $ | :(-i)$
$b = [mm] -\bruch{1}{i}$
[/mm]
Damit haben wir nun alles, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Do 23.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn 1/i?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Do 23.04.2009 | | Autor: | Squanto |
Öhm, gute Frage.
Nach Aufgabenstellung ist $i$ eine komplexe Zahl. Gibt es da besondere Rechenregeln für?
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> Öhm, gute Frage.
>
> Nach Aufgabenstellung ist [mm]i[/mm] eine komplexe Zahl. Gibt es da
> besondere Rechenregeln für?
Hallo,
komt drauf an, was Du unter "besonders" verstehst.
Jedenfalls ist i*i=-1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Do 23.04.2009 | | Autor: | Squanto |
Hi, kann ich dann daraus schließen, dass gilt:
$i * i = (-1)$ $ | :i$
$ i = [mm] -\bruch{1}{i}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] b = [mm] -\bruch{1}{i} [/mm] = i$
und
$b = [mm] \bruch{1}{i} [/mm] = (-i)$ ?
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> Hi, kann ich dann daraus schließen, dass gilt:
>
> [mm]i * i = (-1)[/mm] [mm]| :i[/mm]
> [mm]i = -\bruch{1}{i}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b = -\bruch{1}{i} = i[/mm]
> und
> [mm]b = \bruch{1}{i} = (-i)[/mm] ?
Hallo,
ja, so ist das.
Gruß v. Angela
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