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Hallo zusammen!
Ich wiederhole gerade den Gauß'schen Integralsatz in der Ebene und dabei sind einige Fragen aufgetaucht und zwar:
Wir hatten in der Vorlesung folgendes definiert: Für eine Parametrisierung [mm] \gamma:[a,b]\to\IR^2 [/mm] einer Kurve C ist [mm] v(t)=\bruch{(-\gamma_{2}'(t),\gamma_{1}'(t))}{\parallel \gamma'(t) \parallel} [/mm] der positive Normaleneinheitsvektor.
Ferner hatten wir festgehalten, dass [mm] \gamma[/mm] positiv orientiert heißt, falls v ins Innere zeigt. Man nennt v dann die Innere Normale. (negativ orientiert: v ins äußere - Äußere Normale)
Meine Probleme sind nun:
1.) Müsste die Definition nich eigentlich nur für geschlossene Kurven gelten?
2.) Zeigt der positive Normaleneinheitsvektor immer ins "Innere" oder ins "äußere" einer Kurve?
(Das Problem wird durch folgendes verursacht: Beim Satz von Gauß in der Ebene benötigt man das äußere Einheitsnormalenfeld und dabei haben wir festgehalten dass für dieses Feld gilt: [mm] v=(v_{x},v_{y})=\bruch{(\gamma_{2}'(t),-\gamma_{1}'(t))}{\parallel \gamma'(t) \parallel} [/mm])
Ich verzweifle bald daran! Wahrscheinlich ist es wieder ganz simpel, aber ich checks einfach nicht! Über hilfreiche Kommentare würde ich mich echt freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Fr 14.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine Fragen richtig verstanden haben, aber ich probier's mal.
> 1.) Müsste die Definition nich eigentlich nur für geschlossene Kurven gelten?
Du meinst, weil es für nicht geschlossene Kurven kein Innen und Außen gibt?
Das ist richtig, für offene Kurven kann man nicht sagen, ob die Normale nach Innen oder Außen zeigt. Es gibt aber auch für offene Kurven immer die zwei Möglichkeiten, die Normale zu definieren, die sich durch das Vorzeichen unterscheiden.
> 2.) Zeigt der positive Normaleneinheitsvektor immer ins
> "Innere" oder ins "äußere" einer Kurve?
Versuche, eine geschlossene Kurve zu konstruieren, bei der der Normalenvektor das Vorzeichen umkehrt, wenn man einmal ganz herum läuft. Tipp: es geht, wenn die Kurve sich selbst schneidet und eine Spitze hat.
> (Das Problem wird durch folgendes verursacht: Beim Satz
> von Gauß in der Ebene benötigt man das äußere
> Einheitsnormalenfeld und dabei haben wir festgehalten dass
> für dieses Feld gilt:
> [mm]v=(v_{x},v_{y})=\bruch{(\gamma_{2}'(t),-\gamma_{1}'(t))}{\parallel \gamma'(t) \parallel} [/mm])
Kannst du dein Problem näher erklären? Was verstehst du nicht?
Viele Grüße
Rainer
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Hi, danke schon mal, jetzt hat es schon ein wenig mehr Klick gemacht! Aber mein Problem ist immer noch folgendes:
Wir hatten den Einheitsnormalenvektor so definiert:
[mm]v(t)=\bruch{(-\gamma_{2}'(t),\gamma_{1}'(t))}{\parallel \gamma'(t) \parallel}[/mm]
Im Satz von Gauß, in dem ja das äußere Einheitsnormalenfeld benutzt wird, haben wir gerade genau das Negative dieses Ausdrucks genommen.
Für mich würde das im Schluss bedeuten, dass die Einheitsnormalenvektoren aus der Definition stets nach innen zeigen, da ihr negatives nach dem Satz von Gauss ja stets nach außen zeigt!
Ist das denn richtig?
Gruß
Deuterinomium
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Deuterinomium,
Beim Gaußschen Integralsatz in der Ebene verknüpft man ja einen Bereich über ein Kurvenintegral über den Rand des Bereiches. Dieser Bereich ist im mathematisch positiven Sinne zu durchlaufen, auf Deutsch gegen den Uhrzeigersinn. Wie diese Umlaufrichtung nun mit dem Normalenvektor verknüpft wird, ist Definitionssache.
Viele Grüße,
Infinit
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Vielen Dank!
Gruß
Deuterinomium
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