Einhüllende bzw. Hüllfunktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 So 07.11.2010 | | Autor: | matheman |
| Aufgabe | | Gegen ist die Funktion [mm] \\{ s(t)=4*e^{-0.1*t}*sin(\pi*t) }. [/mm] Bestimme die Einhüllende. |
Wie bestimmt man diese einhüllende Funktion rechnerisch? Mir ist klar, dass es "von oben" die Funktion [mm] \\{g(t)=4*e^{-0.1t}} [/mm] ist. Aber wie weisst man das rechnerisch nach? Ich habe keinen für mich verständlichen Rechenweg gefunden. Aber es muss doch gelten:
1. f und g berühren sich "regelmäßig"
2. [mm] \\{f(x) \le g(x)}
[/mm]
Kann man damit schon die Funktion g ausrechnen? Und wenn ja, wie?
Grüße
matheman
|
|
| |
|
> Gegen ist die Funktion [mm]\\
{ s(t)=4*e^{-0.1*t}*sin(\pi*t) }.[/mm]
> Bestimme die Einhüllende.
> Wie bestimmt man diese einhüllende Funktion rechnerisch?
> Mir ist klar, dass es "von oben" die Funktion
> [mm]\\
{g(t)=4*e^{-0.1t}}[/mm] ist. Aber wie weisst man das
> rechnerisch nach? Ich habe keinen für mich verständlichen
> Rechenweg gefunden. Aber es muss doch gelten:
>
> 1. f und g berühren sich "regelmäßig" ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. [mm]\\
{f(x) \le g(x)}[/mm]
>
> Kann man damit schon die Funktion g ausrechnen? Und wenn
> ja, wie?
Na ausrechnen geht nicht so direkt. Man schachtelt die Funktion g(t) ein, d.h. man sucht:
- eine Funktion o(t), die die Funktion von oben abgrenzt, d.h. 1. und 2. von deinen Bedingungen
- eine Funktion u(t), die die Funktion von unten abgrenzt, d.h. 1. von deinen Bedingungen und [mm]s(t)\geq u(t)[/mm]
.
Anders ausgedrückt "schätzt" man die Funktion nach oben und unten ab.
[mm]s(t)=4*e^{-0.1*t}*sin(\pi*t)[/mm]
Die Funktionen besteht aus dem Teil [mm]4*e^{-0.1*t}[/mm] und [mm]sin(\pi*t)[/mm]. Der Sinus lässt den Funktionsgraphen Wellen schlagen. Wenn man eine Funktion findet, die immer die Wellenberge trifft, dann ist man fertig.
Also [mm]\red{u(t)}\leq s(t)\leq \green{o(t)}[/mm].
Dabei schätzt man den Sinus ab:
[mm]\red{(-1)}\leq sin(\pi*t) \leq \green{1}[/mm]
[mm]4*e^{-0.1*t}*\red{(-1)}\leq 4*e^{-0.1*t}*sin(\pi*t))\leq 4*e^{-0.1*t}*\green{1}[/mm]
[mm]-4*e^{-0.1*t}*\leq 4*e^{-0.1*t}*sin(\pi*t))\leq 4*e^{-0.1*t}[/mm]
Dann erhält man:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mo 08.11.2010 | | Autor: | matheman |
Ok. Nur die Wellenberge werden gar nicht getroffen. Die Einhüllende berührt die Ausgangsfunktion immer etwas weiter rechts. Passt dann deine Argumentation noch?
matheman
|
|
|
| |
|
> Ok. Nur die Wellenberge werden gar nicht getroffen. Die
> Einhüllende berührt die Ausgangsfunktion immer etwas
> weiter rechts. Passt dann deine Argumentation noch?
>
> matheman
Ich versteht dich leider nicht. Die einhüllenden Funktionen haben Schnittpunkte mit der Ausgangsfunktion, wie gewollt
Der Plot ist nicht in HD, daher sieht es vielleicht so aus 
|
|
|
| |
|
> Ok. Nur die Wellenberge werden gar nicht getroffen. Die
> Einhüllende berührt die Ausgangsfunktion immer etwas
> weiter rechts. Passt dann deine Argumentation noch?
>
> matheman
Hallo,
du hast Recht. Die Kurve [mm] e_1 [/mm] (bzw. o nach wieschoo) geht
nicht durch die Hochpunkte der Kurve s , sondern berührt
diese jeweils etwas rechts davon.
Eine mögliche Zusatzaufgabe wäre:
| Aufgabe | Bestimme eine möglichst einfache monotone Funktion h(t) ,
deren Graph durch alle Hochpunkte der Kurve y=s(t) geht. |
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Gegen ist die Funktion [mm]\\{ s(t)=4*e^{-0.1*t}*sin(\pi*t) }.[/mm]
> Bestimme die Einhüllende.
> Wie bestimmt man diese einhüllende Funktion rechnerisch?
> Mir ist klar, dass es "von oben" die Funktion
> [mm]\\{g(t)=4*e^{-0.1t}}[/mm] ist. Aber wie weisst man das
> rechnerisch nach? Ich habe keinen für mich verständlichen
> Rechenweg gefunden. Aber es muss doch gelten:
>
> 1. f und g berühren sich "regelmäßig"
> 2. [mm]\\{f(x) \le g(x)}[/mm]
>
> Kann man damit schon die Funktion g ausrechnen? Und wenn
> ja, wie?
>
> Grüße
>
> matheman
Hallo matheman,
der Begriff "Enveloppe" oder "Einhüllende" im mathematischen
Sinn trifft auf das, was in dieser Aufgabe vermutlich gemeint
ist, gar nicht zu. Eine ![[]](/images/popup.gif) Einhüllende bezieht sich stets auf
eine unendliche Kurvenschar. Im vorliegenden Fall hat man
aber gar keine Schar, sondern nur eine einzelne Kurve.
Man könnte aus der vorgegebenen Kurvengleichung allerdings
leicht eine Kurvenschar-Gleichung machen, indem man die
Konstante [mm] \pi [/mm] durch einen Scharparameter - nennen wir ihn $p$
(ich wage es ja doch nicht so recht, das "heilige" [mm] \pi [/mm] zu einer
profanen Variablen zu deklassieren ...) - ersetzt:
$\ [mm] s_p(t)\ [/mm] =\ [mm] 4*e^{-0.1*t}*sin(\,p*t\,)$
[/mm]
Der Parameter $p$ darf nun irgendwelche Werte aus [mm] \IR\backslash\{0\} [/mm] annehmen.
Für jeden solchen Wert erhält man eine Kurve der Schar.
Diese Kurvenschar hat nun die obere Enveloppe [mm] $e_1(t)\ [/mm] =\ [mm] 4*e^{-0.1*t}$
[/mm]
und die untere Enveloppe [mm] $e_2(t)\ [/mm] =\ [mm] 4*e^{-0.1*t}$
[/mm]
Die gesamte Kurvenschar mit [mm] p\in\IR\backslash\{0\} [/mm] füllt das gesamte Gebiet
zwischen den Graphen von [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] komplett aus.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mo 08.11.2010 | | Autor: | matheman |
Der Begriff Einhüllende wird bei gedämpften Schwingungen anscheinend häufiger verwendet (in Büchern zur Ingenieurmathematik), obwohl keine Kurvenscharen im Spiel sind. Ich habe meine Frage am Anfang gestellt um selbst auf die Einhüllende der Funktion [mm] \\f(x)=4*e^{-0.1t}*(sin(pi*t)+cos(t)) [/mm] zu kommen. Aber ich komme trotz eurer Hilfe doch nicht drauf. Kann mir nochmal jemand bei dieser Funktion helfen? Ich suche die Funktion, die die "hohen" Maxima berührt. Ab t>0 jedes 4.
Grüße
matheman
|
|
|
| |
|
> Der Begriff Einhüllende wird bei gedämpften Schwingungen
> anscheinend häufiger verwendet (in Büchern zur
> Ingenieurmathematik), obwohl keine Kurvenscharen im Spiel
> sind. Ich habe meine Frage am Anfang gestellt um selbst auf
> die Einhüllende der Funktion
> [mm]\\f(x)=4*e^{-0.1t}*(sin(\pi*t)+cos(t))[/mm] zu kommen. Aber ich
> komme trotz eurer Hilfe doch nicht drauf. Kann mir nochmal
> jemand bei dieser Funktion helfen? Ich suche die Funktion,
> die die "hohen" Maxima berührt. Ab t>0 jedes 4. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Grüße
> matheman
Guten Abend,
wie du selber schon gemerkt hast, deckt sich auch dein
etwas besonderer Begriff einer Einhüllenden für eine
einzige Kurve zu einer gedämpften Schwingung nicht
mit dem einer Kurve, die durch (alle oder einige) Hochpunkte
verläuft.
In diesem neuen Beispiel würde es wohl auch schwierig,
eine Kurve der letzten Art zu finden. Grund: weil die Terme
[mm] \pi*t [/mm] und $t$ (in den Klammern) inkommensurabel sind,
hat man in dieser Funktion eine ganz unregelmäßige
"Schwebung" drin. Auch abgesehen von der Dämpfung durch
den exponentiellen Faktor hat man da keine periodische
Funktion mehr.
Überschaubar würde das Ganze beispielsweise wieder bei
der Funktion:
[mm]\\f(x)=4*e^{-0.1t}*(sin(\pi*t)+cos(\frac{\pi}{3}*t))[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Di 09.11.2010 | | Autor: | matheman |
Hallo Al,
vielen Dank für dein Erklärungen. Also liegt es an der Inkommensurabilität der Terme hinter der e-Funktion, dass es nicht so einfach zu berechnen ist.
Grüße
matheman
|
|
|
|
