Einhüllende einer ganzr. Funkt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 So 11.09.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo alle miteinander.
Ich fang gleich mal an mit der Aufgabe:
Zeigen Sie, dass g(t) die Einhüllende der Funktion f(t) darstellt und damit das Abklingverhalten bestimmt.
g(t) = [mm] 3e^{k*t}
[/mm]
f(t) = [mm] 3e^{k*t} [/mm] *cos(t)
Dass g(t) die Einhüllende sein muss sieht man eigentlich schon.
Aber wie zeigt man es rechnerisch?
Die Einhüllende Funktion liegt immer über der Funktion f(t) und berührt sie. Das heißt ebenfalls, dass sie auch schneidet.
Nun betrachte ich also zwei Ansätze
Berechnung der Schnittpunkte
g(t) = f(t)
[mm] 3e^{k*t} [/mm] = [mm] 3e^{k*t} [/mm] *cos(t) || : [mm] 3e^{k*t}
[/mm]
1 = cos (t) || : cos
arc cos (1) = t
Ergebnis der Schnittpunkte: arc cos (1) = t
Berechnung der Berührünkte
f'(t) = [mm] 3e^{k*t}( [/mm] k*cos(t) - sin(t) )
g'(t) = [mm] 3ke^{k*t}
[/mm]
g'(t) = f'(t)
[mm] 3ke^{k*t} [/mm] = [mm] 3e^{k*t}( [/mm] k*cos(t) - sin(t) ) || [mm] 3e^{k*t}
[/mm]
k = k*cos(t) - sin(t) ||+sin(t)
k + sin (t) = k*cos(t)
Ich möchte nun an dieser Stelle die Rechnung abbrechen, da ich schon sehe, dass die Berührpunkte nicht mit den Schnittpunkten übereinstimmen. Müsste es aber! Also habe ich mich wohl verrechnet? Und wenn ich jetzt diese Gleichung auflöse, so komme ich auch nicht auf das Ergebnis der Schnittpunkte.
Warum haut die ganze Sache nicht hin?
mfG und Danke für Eure Hilfen: Johann
PS: Die Funktionsgleichungen f(t) sowie g(t) stimmen - da sind keine Tippfehler drinne!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 So 11.09.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Johann,
an Deinen Gleichungen kann etwas nicht stimmen, denn die angegebene Variable ist x, diese taucht aber in den beiden Gleichungen überhaupt nicht auf.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 So 11.09.2005 | | Autor: | Phoney |
> Hallo Johann,
Hallo
> an Deinen Gleichungen kann etwas nicht stimmen, denn die
> angegebene Variable ist x, diese taucht aber in den beiden
> Gleichungen überhaupt nicht auf.
> Viele Grüße
Peinlich.
es heisst natürlich g(t) sowie f(t).
Da ich meinte, dass die Funktionsgleichungen richtig sind, ist es noch peinlicher.
Die Frage wird editiert, sobald sie nicht mehr beantwortet wird.
mfG Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 So 11.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Phoney!
> Die Einhüllende Funktion liegt immer über der Funktion
> f(x) und berührt sie. Das heißt ebenfalls, dass sie auch
> schneidet.
Nun, das ist nicht unbedingt richtig, je nachdem, wie sehr Du Berühren und Schneiden voneinander trennst.
Schnittpunkte sind immer auch Berührpunkte, aber in diesem Fall reicht es, dass Du weisst, dass Du die Ableitungen von g und f nicht betrachten musst.
Du musst eigentlich nur zeigen, dass f und g gemeinsame Punkte haben und $|f(x)| [mm] \le [/mm] |g(x)|$ für alle x aus dem Definitionsbereich gilt.
> Nun betrachte ich also zwei Ansätze
> Berechnung der Schnittpunkte
> g(x) = f(x)
> [mm]3e^{k*t}[/mm] = [mm]3e^{k*t}[/mm] *cos(t) || : [mm]3e^{k*t}[/mm]
> 1 = cos (t) || : cos
> arc cos (1) = t
>
> Ergebnis der Schnittpunkte: arc cos (1) = t
An dieser Stelle hast Du nun die Punkte berechnet, an denen sich f und g berühren, schneiden tun sie sich nach dem Verständis aus der Schule dort nichteinmal, da $h(x) := f(x) -g(x)$ dort nicht das Vorzeichen wechselt.
> Berechnung der Berührünkte
Dieser ganze Teil ist für die Betrachtung Deines Problems irrelevant.
> Warum haut die ganze Sache nicht hin?
Um die Frage einfach zu beantworten: Weil Du nicht versuchst, das Richtige zu zeigen.
Es würde reichen, gemeinsame Punkte aufzuzeigen, und dass $|f(x)| [mm] \le [/mm] |g(x)|$ für alle x aus dem Definitionsbereich gilt.
Dazu reicht es, sich anzusehen, wie groß cos(x) maximal werden kann.
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 11.09.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo nochmal.
Zunächst einmal: Danke für die Antwort (auch für die Mitteilung). Ich denke, dass erleichtert mein Verständnis.
Mitunter habe ich gerade gelernt, dank dir AT-Colt, dass ich nicht zwingend die Berührpunkte berechne, sondern unter umständen auch immer nur: in welchem Punkt haben sie die gleiche Steigung?
> Schnittpunkte sind immer auch Berührpunkte, aber in diesem
> Fall reicht es, dass Du weisst, dass Du die Ableitungen von
> g und f nicht betrachten musst.
Ich möchte mal ein Beispiel für meine Definition von Berührpunkten nennen:
Die Gerade g(x) tangiert die Parabel f(x). Das Tangieren, sprich im selben Punkt die selbe Steigung haben, ist ein Berührpunkt. Also ist Berührpunkt ein Berührpunkt und Schnittpunkt. Schnittpunkte kann ich ja nicht über die erste Ableitung berechnen. Aber das lassen wir bitte mal außen vor, denn das Kernproblem kommt gleich.
> Du musst eigentlich nur zeigen, dass f und g gemeinsame
> Punkte haben und [mm]|f(x)| \le |g(x)|[/mm] für alle x aus dem
> Definitionsbereich gilt.
Auch hierfür: dankeschön, das war super gesagt, warum ich falsch war. Jedoch überschreitet diese Antwort etwas meine Kompetenz:
1) was heißt |f(x)| ? Nur Positive Y-werte?
> > Warum haut die ganze Sache nicht hin?
>
> Um die Frage einfach zu beantworten: Weil Du nicht
> versuchst, das Richtige zu zeigen.
>
> Es würde reichen, gemeinsame Punkte aufzuzeigen, und dass
> [mm]|f(x)| \le |g(x)|[/mm] für alle x aus dem Definitionsbereich
> gilt.
> Dazu reicht es, sich anzusehen, wie groß cos(x) maximal
> werden kann.
2) Die gemeinsamen Punkte habe ich doch durch die f(t) = g(t) berechnet?
3) wie zeigt man, dass cos(t) maximal 1 groß werden kann?
4) Ich verstehe leider nicht, wieso noch zusätzlich die gemeinsamen Punkte betrachtet werden müssen? Gemeinsame Punkte geben doch gerade einen Aufschluß darauf, dass f(t) < g(t) sein kann?!?
5) Wahrscheinlich wiederholt sich das jetzt, aber wie zeige ich:
|f(x)| [mm] \le [/mm] |g(x)|? Indem man zeigt, dass cos immer kleiner bzw. gleich 1 groß ist?
> greetz
>
> AT-Colt
Danke noch einmal für alles, das war schon einmal sehr aufschlußreich!
Grüße Johann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 So 11.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Sorry, dass die Antwort erst jetzt kommt, ich habe mich dem Fernseher hingegeben ^^;
> sondern unter
> umständen auch immer nur: in welchem Punkt haben sie die
> gleiche Steigung?
>
> > Schnittpunkte sind immer auch Berührpunkte, aber in diesem
> > Fall reicht es, dass Du weisst, dass Du die Ableitungen von
> > g und f nicht betrachten musst.
>
> Ich möchte mal ein Beispiel für meine Definition von
> Berührpunkten nennen:
> Die Gerade g(x) tangiert die Parabel f(x). Das Tangieren,
> sprich im selben Punkt die selbe Steigung haben, ist ein
> Berührpunkt. Also ist Berührpunkt ein Berührpunkt und
> Schnittpunkt. Schnittpunkte kann ich ja nicht über die
> erste Ableitung berechnen. Aber das lassen wir bitte mal
> außen vor, denn das Kernproblem kommt gleich.
Ja, um ehrlich zu sein, wir reden hier von Äpfeln und Birnen und meinen eigentlich Obst ^^
Was ich meine: Bei stetigen Funktionen f und g, die an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] den gleichen Wert annehmen, für die in einer Umgebung um [mm] x_0 [/mm] kein Vorzeichenwechsel von $f(x)-g(x)$ stattfindet, ist die Steigung von [mm] f(x_0) [/mm] gerade gleich der Steigung von [mm] g(x_0), [/mm] it est die Ableitungen an diesem Punkt sind gleich.
In dieser Aufgabenstellung ist es aber gerade so: Du sollst zeigen, dass eine Funktion die andere einhült, das bedeutet gerade, dass keine Schnittpunkte, sondern höchstens Berührpunkte vorliegen. Wenn Du also gezeigt hast, dass g f einhüllt, kannst Du Dir sparen, nachzuweisen, dass die Schnittpunkte von f und g gerade Berührpunkte sind.
Insofern hattest Du weiter oben recht: Ohne etwas dazuzutun hast Du mit $f(x)=g(x)$ nur die Schnittpunkte der beiden Funktionen bestimmt und mit $f'(x)=g'(x)$ nur die Punkte, an denen die beiden Funktionen dieselbe Steigung haben. Ich habe in einem anderen Thread gelesen, dass die scheinbare Unstimmigkeit in Deinem Ergebnis sich doch als unzutreffend und das Ergebnis damit als korrekt ergeben hat.
> > Du musst eigentlich nur zeigen, dass f und g gemeinsame
> > Punkte haben und [mm]|f(x)| \le |g(x)|[/mm] für alle x aus dem
> > Definitionsbereich gilt.
>
> Auch hierfür: dankeschön, das war super gesagt, warum ich
> falsch war. Jedoch überschreitet diese Antwort etwas meine
> Kompetenz:
> 1) was heißt |f(x)| ? Nur Positive Y-werte?
$|f(x)|$ ist der Betrag der Funktion, das heisst:
$|f(x)|=f(x)$, falls f(x) größer/gleich null ist und $|f(x)|=-f(x)$, falls f(x) kleiner null ist. Du nimmst Dir quasi f(x) und betrachtest nur die Zahl ohne Vorzeichen.
> 2) Die gemeinsamen Punkte habe ich doch durch die f(t) =
> g(t) berechnet?
Exakt.
> 3) wie zeigt man, dass cos(t) maximal 1 groß werden kann?
Hm... das ist eine gute Frage, seit ich studiere habe ich das als Tatsache angenommen ^^
Notfalls machst Du eine Kurvendiskusion, cos(x) hat Extrempunkte in [mm] $k*\pi$ [/mm] und [mm] $k*\pi+\bruch{\pi}{2}$ [/mm] für $k [mm] \in \IZ$, $cos(k*\pi)=1$, $cos(k*\pi+\bruch{\pi}{2})=-1$.
[/mm]
> 4) Ich verstehe leider nicht, wieso noch zusätzlich die
> gemeinsamen Punkte betrachtet werden müssen? Gemeinsame
> Punkte geben doch gerade einen Aufschluß darauf, dass f(t)
> < g(t) sein kann?!?
Du möchtest zeigen, dass g f einhüllt, für mich bedeutet das, dass g immer größer ist und g Punkte mit f teilt, sonst könnte eine willkürliche Funktion [mm] \overline{g} [/mm] genommen werden, die f zwar beschränkt, aber sonst nichts mit f zu tun hat.
> 5) Wahrscheinlich wiederholt sich das jetzt, aber wie zeige
> ich:
> |f(x)| [mm]\le[/mm] |g(x)|? Indem man zeigt, dass cos immer kleiner
> bzw. gleich 1 groß ist?
Das ist die Idee dabei. Du zeigst eigentlich dann:
[mm] $|f(x)|=|e^{k*t}*cos(x)|=|e^{k*t}|*|cos(x)|\underbrace{\le}_{|cos(x)|\le 1}|e^{k*t}|=|g(x)|$.
[/mm]
> Danke noch einmal für alles, das war schon einmal sehr
> aufschlußreich!
Freut mich, wenn ich helfen kann ^^;
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> Sorry, dass die Antwort erst jetzt kommt, ich habe mich dem
> Fernseher hingegeben ^^;
Das macht nichts, ich freue mich immer über gute Antworten und Hilfestellungen, so wie sie von dir kamen - der Zeitpunkt ist mir egal.
Vielen lieben Dank dafür, die Grundidee, die dahinter steckt, habe ich nun verstanden.
> > 3) wie zeigt man, dass cos(t) maximal 1 groß werden kann?
>
> Hm... das ist eine gute Frage, seit ich studiere habe ich
> das als Tatsache angenommen ^^
Das ist eine sehr umfangreiche Frage und lässt sich sicherlich über den Einheitskreis und dem Kram erklären.
> Notfalls machst Du eine Kurvendiskusion, cos(x) hat
> Extrempunkte in [mm]k*\pi[/mm] und [mm]k*\pi+\bruch{\pi}{2}[/mm] für [mm]k \in \IZ[/mm],
> [mm]cos(k*\pi)=1[/mm], [mm]cos(k*\pi+\bruch{\pi}{2})=-1[/mm].
Wenn man es so macht, dann müsste man allerdings zeigen, dass die Cosinusfunktion periodisch ist - Sprich zeigen, dass die Wellenlänge wirklich [mm] 2\pi [/mm] beträgt. Allerdings kann ich nicht ganz folgen:
Cosinus hat im Allgemeinen ein Extremum bei [mm] x=k*\pi. [/mm] Nun addierst du allerdings zusätzlich noch einmal [mm] 0,5*\pi [/mm] dazu. Warum? So wie du es geschrieben hast, kommt man auf die Nullstelle, aber nicht aufs Extremum (ich bin jetzt gerade bei der allgemeinen cosinus Funktion!!!)
> > Danke noch einmal für alles, das war schon einmal sehr
> > aufschlußreich!
>
> Freut mich, wenn ich helfen kann ^^;
Das hast du! Danke dafür, aber das mit den Extremstellen erscheint mir falsch. Oder ich versteh da etwas falsch kann auch sein.
> greetz
>
> AT-Colt
mfG Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Johann!
> > Notfalls machst Du eine Kurvendiskusion, cos(x) hat
> > Extrempunkte in [mm]k*\pi[/mm] und [mm]k*\pi+\bruch{\pi}{2}[/mm] für [mm]k \in \IZ[/mm],
> > [mm]cos(k*\pi)=1[/mm], [mm]cos(k*\pi+\bruch{\pi}{2})=-1[/mm].
Das ist in der Tat falsch, da hast du Recht. [mm] $\cos(x)$ [/mm] hat Extrempunkte in [mm] $k\pi$, [/mm] $k [mm] \in \IZ$, [/mm] und zwar lokale Hochpunkte an den Stellen [mm] $2k\pi$, [/mm] $k [mm] \in \IZ$, [/mm] und lokale Tiefpunkte an den Stellen [mm] $(2k+1)\pi$, $\k \in \IZ$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Di 13.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Ooops! Das war ein Schnellschuß von mir, in der Tat ^^;
Ich wollte eigentlich zwischen den Maxima und Minima unterscheiden und habe dann die Extremstellen zu Nullstellen aufgeschrieben, Macht der Gewohnheit ^^
greetz
AT-Colt
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