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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Do 06.07.2006 | | Autor: | annaL |
Hallo ihr Lieben
nächste Woche ist meine Klausur und ich hätte noch einige Fragen:
1. Wenn ich zwei Vektoren im [mm] R^3 [/mm] gegeben habe und diese beiden Vektoren mit einem 3. Vektor zu einer Orthogonalbasis ergänzen soll, was habe ich dann zu tun?
2. Wenn ich eine Punkt - Richtungs - GLeichung einer Geraden bestimmen soll, die die Ebene E mit der Gleichung x = a + [mm] \alpha*u [/mm] + [mm] \betav [/mm] im Punkt ( 3 / 2 / 4 ) senkrecht schneidet, was ist hier zu tun?
3. Wie berechne ich die Länge der Höhe eines Dreiecks wenn ich die 3 Punkte gegeben habe ? A ( 2 / 1 ) , B ( 4 / 7 ) . C ( 5 / 9 )
4. Wie berechne ich das Volumen einer Pyramide mit der Grundfläche ABC und der Spitze S wenn ich die Punkte und die Koordinaten der Spitze gegeben habe ( im [mm] R^3)?
[/mm]
5. Ich habe eine Matrix gegeben ( [mm] R^3 [/mm] ). Nun soll ich prüfen ob es eine Basis des [mm] R^3 [/mm] bestehend aus den Eigenvektoren gibt. Dann soll die Matrix bezüglich dieser Basis bestimmt werden
Das sind alles Aufgaben die wir mal auf Aufgabenblättern hatten, dir mir jedoch ein Rätsel sind.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und es mir evtl. in einem Kinderdeutsch und nicht in der Mathematikersprache erklären, denn die bereitet mir oft große Probleme.
Ich danke euch!
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1. Wenn ich zwei Vektoren im $ [mm] R^3 [/mm] $ gegeben habe und diese beiden Vektoren mit einem 3. Vektor zu einer Orthogonalbasis ergänzen soll, was habe ich dann zu tun?
Du kannst das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren verwenden, dazu mußt du dir aber erstmal einen dritten Vektor ausdenken, der nicht linear abhängig von den beiden gegebenen ist, denn das SO macht aus einer gegebenen Anzahl lin. unabh. Vektoren die gleiche Anzahl orthogonaler Vektoren, je nach Formel sind die sogar orthonormal.
Alternativ: Kreuzprodukt: Das liefert dir erstmal einen Vektor, der senkrecht auf den beiden anderen steht. Danach nochmal das Kreuzprodukt zwischen dem neuen und einem alten Vektor. Der alte Vektor bildet dann mit den beiden neuen eine Orthogonalbasis! Diese Methode ist wohl schneller und weniger Fehlerträchtig.
2. Wenn ich eine Punkt - Richtungs - GLeichung einer Geraden bestimmen soll, die die Ebene E mit der Gleichung x = a + $ [mm] \alpha\cdot{}u [/mm] $ + $ [mm] \betav [/mm] $ im Punkt ( 3 / 2 / 4 ) senkrecht schneidet, was ist hier zu tun?
Der Aufpunkt ist natürlich der Schnittpunkt. Der Richtungsvektor solltre senkrecht auf der Ebene stehen, bilde also das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren der Ebene und nimm das als Richtungsvektor für die Grade.
3. Wie berechne ich die Länge der Höhe eines Dreiecks wenn ich die 3 Punkte gegeben habe ? A ( 2 / 1 ) , B ( 4 / 7 ) . C ( 5 / 9 )
Hier gibts mehrere Möglichkeiten, das fällt z.B. unter das Stichwort Punkt-Grade Abstandbestimmung. Mach dir eine Grade [mm] $\vec [/mm] x [mm] =\vec{0A}+\alpha \vec{AB}$ [/mm] und bestimme den Abstand zum Punkt C. Das solltest du können, ansonsten frag nach.
4. Wie berechne ich das Volumen einer Pyramide mit der Grundfläche ABC und der Spitze S wenn ich die Punkte und die Koordinaten der Spitze gegeben habe ( im $ [mm] R^3)? [/mm] $
Das Vektorprodukt liefert nicht nur einen senkrechten Vektor, die Länge dieses Vektors ist auch noch gleich der Fläche des Parallelogramms, das die verrechneten Vektoren beschreiben.
Also [mm] $\vec{AB} \times \vec{AC}$ [/mm] steht senkrecht auf der Grundfläche und der Betrag gibt dir die Fläche des von [mm] $\vec{AB} [/mm] $ und $ [mm] \vec{AC}$ [/mm] gebildeten Parallelogramms. Die Hälfte davon ist die Grundfläche der Pyramide!
Wenn du jetzt den Abstand der Spitze von der Grundfläche bestimmst, das ist ja die Höhe, kannst du die Formel [mm] $V=\bruch{1}{3}G \cdot [/mm] h$ benutzen!
5. Ich habe eine Matrix gegeben ( $ [mm] R^3 [/mm] $ ). Nun soll ich prüfen ob es eine Basis des $ [mm] R^3 [/mm] $ bestehend aus den Eigenvektoren gibt. Dann soll die Matrix bezüglich dieser Basis bestimmt werden
Hier solltest du erstmal die Eigenwerte bestimmen. Gibt es drei (doppelte zählen auch doppelt!)? Wenn nicht, gibts auch keine Basis. Wenn ja, bestimme die Eigenvektoren, die geben dir auch deine Basis. Die Matrix wird zu einer Dreiecksmatrix, sprich, in der Diagonalen stehen die Eigenwerte, alles andere ist 0.
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