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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Di 21.10.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für [mm] $A_1, A_2, ...\in\mathcal{F}$ [/mm] gilt
[mm] $P(A_1\cup A_2\cup\dotso\cup A_n)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1<\dotso |
Hi,
ich habe eine Frage zur Notation dieser Formel, bzw. diesem Teil:
[mm] $\sum_{1\leq i_1<\dotso
Ich weiß leider nicht so recht mit dieser Notation umzugehen.
Was bedeutet dieser Index der Summe?
[mm] $1\leq i_1<\dotso
Und was sind die Mengen [mm] $A_{i_1},..., A_{i_k}$.
[/mm]
Der Beweis sollte dann mehr oder weniger schwierig mit Induktion zu erbringen sein. Es geht mir gerade nur um diese Notation. In der Vorlesung wurde das nicht geklärt, leider.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Di 21.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Yusul,
Bsp.: n=3
[mm] $$P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-(P(A_1\cap A_2)+P(A_1\cap A_3)+P(A_2\cap A_3))+P(A_1\cap A_2\cap A_3)$$
[/mm]
Reicht das Beispiel?
Die [mm] i_1<...
LG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 21.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, ok. Ja ich glaube das hat es klar gemacht.
Vielen Dank.
Man geht also der Reihe nach durch und bildet so gesehen alle möglichen Kombinationen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:25 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Ladon |
> Ah, ok. Ja ich glaube das hat es klar gemacht.
>
> Vielen Dank.
>
> Man geht also der Reihe nach durch und bildet so gesehen
> alle möglichen Kombinationen.
Genau. Das k gibt dir dabei die Anzahl der Elemente, die du quasi aus 1,...,n "Kugeln" ziehst.
LG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mi 22.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich hätte noch eine Frage zum Induktionsschritt, also wenn ich:
[mm] $P(A_1\cup...\cup A_n\cup A_{n+1})=$P((A_1\cup...\cup A_n)\cup A_{n+1})$
[/mm]
Und nun die Induktionsvoraussetzung anwende, dann erhalte ich:
[mm] $\sum_{k=0}^n (-1)^k\sum_{1\leq i_1<...
Hier scheitere ich leider daran den Induktionsschritt zu beenden, da ich nicht begründen kann wieso dies nun das selbe wie:
[mm] $\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k\sum_{1\leq i_1<...
ist.
Ich wollte den hinteren Ausdruck auch mittels Summenzeichen notieren:
[mm] $P(A_{n+1}=\sum_{k=n}^{n+1} P(A_k)$
[/mm]
Wie kann ich den Teil darstellen, welcher subtrahiert wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:48 Do 23.10.2014 | | Autor: | luis52 |
> Ich hätte noch eine Frage zum Induktionsschritt, also wenn
> ich:
>
> [mm]$P(A_1\cup...\cup A_n\cup A_{n+1})=$P((A_1\cup...\cup A_n)\cup A_{n+1})$[/mm]
>
> Und nun die Induktionsvoraussetzung anwende, dann erhalte
> ich:
>
> [mm]\sum_{k=0}^n (-1)^k\sum_{1\leq i_1<...
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $\sum_{k=0}^n (-1)^k\sum_{1\leq i_1<...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Do 23.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Oh, wobei ich das auf meinem Zettel richtig stehen habe....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Do 23.10.2014 | | Autor: | luis52 |
> Oh, wobei ich das auf meinem Zettel richtig stehen habe....
Prima. Uebrigens ist
$ [mm] P((A_1\cup\dots\cup A_n)\cap A_{n+1})= P((A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup (A_n\cap A_{n+1}))$ [/mm] ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Do 23.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Kann ich dies so notieren:
[mm] $P((A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup (A_n\cap A_{n+1}))=\sum_{1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Sa 25.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo YuSul!
> Kann ich dies so notieren:
>
> [mm]P((A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup (A_n\cap A_{n+1}))=\sum_{1
Nein.
Was meinst du auf der rechten Seite mit $i$?
Die Laufindizes [mm] $i_1,\ldots,i_n$ [/mm] der Summe treten im Ausdruck hinter dem Summenzeichen gar nicht auf?!
Falls du
(Achtung, falsch! --->) [mm] $P((A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup (A_n\cap A_{n+1}))=\sum_{i=1}^nP(A_i\cap A_{n+1})$
[/mm]
meintest: Das gilt i.A. nur für [mm] $A_1\cap A_{n+1},\ldots,A_n\cap A_{n+1}$ [/mm] paarweise disjunkt, was nicht gelten muss.
Du hattest vermutlich:
[mm] $P(A_1\cup\ldots\cup A_n\cap A_{n+1})=P((A_1\cup\ldots\cup A_n)\cup A_{n+1})=P(A_1\cup\dotso\cup A_n)+P(A_{n+1})-P(\underbrace{(A_1\cup\dots\cup A_n)\cap A_{n+1}}_{=(A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup( A_n\cap A_{n+1})})$
[/mm]
(unter Benutzung der Regel [mm] "$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap [/mm] B)$").
Mit [mm] $P(A_1\cup\dotso\cup A_n)$ [/mm] und [mm] $P((A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup( A_n\cap A_{n+1}))$ [/mm] hast du nun zwei Wahrscheinlichkeiten von Vereinigungen von $n$ Ereignissen da stehen.
Wende auf Sie jeweils die Induktionsvoraussetzung an.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 23.10.2014 | | Autor: | luis52 |
> Ich wollte den hinteren Ausdruck auch mittels Summenzeichen
> notieren:
>
> [mm]P(A_{n+1}=\sum_{k=n}^{n+1} P(A_k)[/mm]
Mit Verlaub, hier steht ziemlicher Unfug: [mm] $P(A_{n+1}=P(A_n)+ P(A_{n+1})$. [/mm] Wo wird denn die linkste Klammer geschlossen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Do 23.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Das war ein Tippfehler. Ich meinte
[mm] $A_{n+1}=\sum_{k=n}^{n+1} A_k$
[/mm]
Ich hätte gedacht, dass ich es so vielleicht in die andere Summe reinziehen kann um den Laufindex auf n+1 anstatt n zu erweitern.
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