Einseitige Grenzwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Sa 23.06.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Untersuche für folgende Fktnen f:IR--->IR, ob die einseitigen GW im Punkt a existieren und bestimme diese ggf.
a) a=0 f(x)= 1 für x>0, f(x)=0 für x=0 , und f(x)=-1 für x<0
b) a=0, f(x) = 1/x für x ungleich 0 und f(x)=0 für x=0 |
Also einseitige GW bestimmen ist eigenlich kein Problem:
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+}f(x) [/mm] = 1 und [mm] \limes_{x\rightnarrow0^-}f(x)=-1
[/mm]
und bei b)
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+}f(x)= \infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow0^-}f(x)=-\infty
[/mm]
Schwieriger finde ich, zu zeigen, dass diese tatsächlich exisieren.
Die Bedingung lautet ja:
f:IR-->IR besitzt in a rechtsseitigen c, wenn gilt:
Es gibt Folge [mm] (z_n) [/mm] mit [mm] z_n \in [/mm] IR, [mm] z_n [/mm] >a, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_n [/mm] =a
Und für jede solche Folge ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(z)=c [/mm]
[Analog für links. GW]
Wenn ich jetzt also bei a) zeigen will, dass der rechtss. GW ex, kann ich dann so vorgehen:
f besitzt in a=0 rechtss. GW , denn
Es gibt Folge [mm] (z_n) [/mm] mit [mm] z_n [/mm] >0 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(z_n)=0. [/mm] Wähle dabei [mm] (z_n)=1/n
[/mm]
Und dann ist ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(z_n)=1
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo rollroll,
> Wenn ich jetzt also bei a) zeigen will, dass der rechtss.
> GW ex, kann ich dann so vorgehen:
> f besitzt in a=0 rechtss. GW , denn
> Es gibt Folge [mm](z_n)[/mm] mit [mm]z_n[/mm] >0 und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(z_n)=0.[/mm] Wähle dabei [mm](z_n)=1/n[/mm]
>
Nein. Du mußt [mm] $f(z_n)\to [/mm] 1$ für jede positive Folge [mm] $(z_n)$ [/mm] mit [mm] $z_n\to [/mm] 0$ zeigen, nicht nur für eine.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Sa 23.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Und wie gehe ich dabei vor?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Und wie gehe ich dabei vor?
Nimm eine beliebige Folge [mm] $(z_n)$ [/mm] mit [mm] $0
Wie sehen die Glieder [mm] $f(z_n)$ [/mm] aus?
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Sa 23.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Naja, [mm] f(z_n) [/mm] bedeutet ja dass man die Funktion f auf auf die einzelnen Glieder der Folge [mm] z_n [/mm] anwendet. Und wenn laut Voraussetzung die Gleider > 0 sind, muss doch [mm] f(z_n) [/mm] immer gleich 1 sein, oder? Also quasi eine konstante Folge.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, aber das jetzt ordentlich aufschreiben.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 24.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Kann man beim beweis der Existenz der einseitigen GW in b) genauso vorgehen?
Denn das klappt iwie nicht richtig, denn man hat ja nicht die Unterscheidung >, <.
Wie geht der beweis in solchen Fällen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde erstmal überlegen ob ein GW existiert!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 24.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Nunja, es ist:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow0^+}f(x)= \infty [/mm] $
und
$ [mm] \limes_{x\rightarrow0^-}f(x)= [/mm] - [mm] \infty [/mm] $
Also existieren die (uneigenlichen) einseitigen GW doch.> Hallo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 24.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Nunja, es ist:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^+}f(x)= \infty[/mm]
> und
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-}f(x)= - \infty[/mm]
> Also existieren
> die (uneigenlichen) einseitigen GW doch.
Da hast Du völlig recht! Aber es existieren bei vielen Autoren nur "eigentliche" Grenzwerte, von "uneigentlichen" Grenzwerten sagt man dagegen, sie existierten nicht. Dies ist zwar Unsinn, aber in der Analysis hat sich erstaunlich viel Unsinn eingebürgert.
Schau doch mal nach, wie in der Vorlesung einseitige Grenzwerte definiert wurden, und ob da uneigentliche Grenzwerte ausgeschlossen wurden.
Mir fällt in dem Zusammenhang immer die "offene" Überdeckung ein, mit der nicht etwa eine offene Menge gemeint ist, sondern eine Menge, deren Elemente offene Mengen sind.
Oder die "wohldefinierte Funktion". Wo doch eine Funktion, die nicht wohldefiniert ist, gar keine Funktion ist.
An solche Vergewaltigungen der Sprache muß man sich wohl gewöhnen, um Analysis zu verstehen.
Viele Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 24.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Die Aufgabenstellung lässt auch uneigentliche GW zu: ,,Prüfe, ob die GW (eigentlich oder uneigentlich) existieren.
Wie kann ich jetzt die existenz beweisen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
"uneigentliche" GW sind keine GW da steht das Wort Wert bei Grenz und [mm] \infty [/mm] ist kein Wert. und gegen f(0) konvergieren sie auch nicht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 So 24.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo leduart,
> "uneigentliche" GW sind keine GW da steht das Wort Wert
> bei Grenz und [mm]\infty[/mm] ist kein Wert. und gegen f(0)
> konvergieren sie auch nicht.
So kann man das sehen. Aber das hängt vom Autor ab. Und der Autor der Übungsaufgabe sieht es offensichtlich anders. Bei ihm ist [mm] $\infty$ [/mm] wohl auch ein Wert.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 24.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Wie kann ich jetzt die existenz beweisen?
Korrigiert. Hatte links und rechts verwechselt!
Nehmen wir mal den rechtsseitigen Grenzwert von $1/x$. Wir wollen zeigen, daß
[mm] $\lim_{x\to 0^+} [/mm] 1/x = [mm] +\infty$
[/mm]
ist. Und das heißt: Zu einem beliebigen $K>0$ mußt Du ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ angeben, so daß für jedes $x$ mit [mm] $0
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 24.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Und wie findet man ein solches [mm] \delta?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 So 24.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Und wie findet man ein solches [mm]\delta?[/mm]
Sorry, diese Antwort war auf einen ganz anderen Thread gemünzt:
Indem man $|f(x,y)|$ nach oben abschätzt, bis man eine obere Schranke als möglichst einfachen Ausdruck von [mm] $\|(x,y)\|$ [/mm] erhält.
Zeige $|f(x,y)| [mm] \le \|(x,y)\|^2$ [/mm] und setze [mm] $\delta=\sqrt \epsilon$.
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
setze doch 1/x>k und berechne ab welchem x das gilt!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 So 24.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Wie soll ich das denn ausrechnen?
1/x>k mit k>0, dann ist x<1/k.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Wie soll ich das denn ausrechnen?
> 1/x>k mit k>0, dann ist x<1/k.
Wir suchen ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so daß für alle [mm] $x\in(0,\delta)$ [/mm]
$1/x > k$
gilt.
Dies wird von $ [mm] \delta [/mm] = 1/k$ erfüllt. Denn dann gilt für jedes [mm] $x\in (0,\delta)$:
[/mm]
$x < [mm] \delta \gdw [/mm] 1/x > [mm] 1/\delta [/mm] = k$.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 25.06.2012 | | Autor: | rollroll |
> Nehmen wir mal den linksseitigen Grenzwert von [mm]1/x[/mm]. Wir
> wollen zeigen, daß
>
> [mm]\lim_{x\to 0^-} 1/x = +\infty[/mm]
>
> ist. Und das heißt: Zu einem beliebigen [mm]K>0[/mm] mußt Du ein
> [mm]\delta > 0[/mm] angeben, so daß für jedes [mm]x[/mm] mit [mm]0
> Wert [mm]1/x> K[/mm] ist.
Das verstehe ich nicht, der linksseitige GW geht doch gegen - [mm] \infty [/mm] , oder?
>
> Grüße,
> Wolfgang
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Nehmen wir mal den linksseitigen Grenzwert von [mm]1/x[/mm]. Wir
> > wollen zeigen, daß
> >
> > [mm]\lim_{x\to 0^-} 1/x = +\infty[/mm]
> >
> > ist. Und das heißt: Zu einem beliebigen [mm]K>0[/mm] mußt Du ein
> > [mm]\delta > 0[/mm] angeben, so daß für jedes [mm]x[/mm] mit [mm]0
> > Wert [mm]1/x> K[/mm] ist.
>
> Das verstehe ich nicht, der linksseitige GW geht doch gegen
> - [mm]\infty[/mm] , oder?
Ich verstehe auch nicht, warum ich "linksseitig" geschrieben habe, wo ich doch "rechtsseitig" meinte. Ebenso mußt Du 0- durch 0+ unter dem Limes ersetzen.
Dann stimmt's wohl wieder.
Und Du hast recht, der linksseitige uneigentliche Grenzwert ist [mm] $-\infty$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
|
