Elastizität -> Funktion < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Elastizität einer Preis-Nachfrage-Funktion f sei
[mm] E(x) = -\frac{x}{60-x} , 0 \le x < 60 [/mm]
Bestimmen sie die Funktion f, wenn man weiß, dass bei einem Preis von 10 Geldeinheiten eine Nachfrage von 25 Mengeneinheiten vorliegt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, könnte mir irgendjemand kurz einen Tipp geben, wie man diese Aufgabe überhaupt anfängt zu lösen?
Ich weiß, dass folgendes gilt: [mm] E(x) = \frac{x * f'(x)}{f(x)} [/mm]
Daraus werde ich ja auch nicht schlauer. Eigentlich sagt die Gleichung E(x) ja schon aus, dass der Nenner die gesuchte Funktion sein müsste ( also in diesem Falle [mm]60 - x[/mm]) - nur wäre das ja dann eine äußerst sinnlose Aufgabe.
Außerdem könnte der Nenner ja gekürzt werden und daher nicht tatsächlich die f(x) darstellen.
Um es kurz zu machen: keine Ahnung wie ich mit der Formel, dem Wissen um die Elastizität und dem Punkt (10/25) etwas anfangen soll.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Fr 09.12.2011 | | Autor: | chrisno |
>
> [mm]E(x) = -\frac{x}{60-x} , 0 \le x < 60[/mm]
>
>
> Ich weiß, dass folgendes gilt: [mm]E(x) = \frac{x * f'(x)}{f(x)}[/mm]
>
> Daraus werde ich ja auch nicht schlauer. Eigentlich sagt
> die Gleichung E(x) ja schon aus, dass der Nenner die
> gesuchte Funktion sein müsste ( also in diesem Falle [mm]60 - x[/mm])
> - nur wäre das ja dann eine äußerst sinnlose Aufgabe.
>
> Außerdem könnte der Nenner ja gekürzt werden und daher
> nicht tatsächlich die f(x) darstellen.
Das siehst Du völlig richtig. Aber dennoch ist es genau den Versuch wert, den Du angefangen hast. Du hast die Lösung schon gesehen.
Ausprobieren: f(x) = 60 - x. Einsetzen: x = 10, dann kommt f(10) = 50 raus. Passt nicht. Aber Du selbst hast geschrieben, das sich da etwas heraus gekürzt haben könnte. Also probiers mal mit f(x) = 0,5*(60 - x).
|
|
|
| |
|
Okay, gesagt, getan. Dann habe ich natürlich [mm] f(10) = 25 [/mm]. Nur stellt sich jetzt die Frage nach der (einer?) Methode? Denn sobald die Funktion etwas kompliziert wäre, könnte man ja nicht mit diesem Ratespiel auf die Antwort kommen. Wie kann ich also anhand eines gegebenen Punktes und einer Elastizität auf eine Funktion schließen? Im allgemeinen Falle?
Wäre zu tiefstem Dank verpflichtet! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Fr 09.12.2011 | | Autor: | chrisno |
Wenn bei gegebenem E(x) in der Gleichung $ [mm] \bruch{E(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)}$ [/mm] das f(x) gesucht ist, dann nennt man das eine Differentialgleichung. Die Standatdtechnik in diesem Fall wäre, f'(x) = df/dx zu schreiben und dann das dx rüber zu multiplizieren und zu integrieren:
[mm] $\int \bruch{E(x)}{x} [/mm] dx = [mm] \int \bruch{1}{f(x)} [/mm] df $ Das zweite Integral sieht mit
[mm] $\int \bruch{1}{y} [/mm] dy $ schon vertrauter aus. Nun integrieren und dann weitersehen.
Wenn ich nun zu viele Fehler gemacht habe, liegt es daran, dass es zu spät ist. Gute Nacht.
|
|
|
|
