Elektrische Feldstärke < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Di 07.04.2009 | | Autor: | gaugau |
Hallo zusammen,
zur Elektrischen Feldstärke haben wir einen Versuch theoretisch behandelt, in welchem wir die Auslenkung eines geladenen Teilchens (an einem Pendel) im elektrischen Feld errechnet haben
Dafür haben wir folgende Formle verwandt:
[mm] \bruch{a}{l} \approx \bruch{F_{el}}{F_{G}}
[/mm]
Die Herleitung ist mich nocht nicht ganz klar bzw. bin ich mir nicht sicher, ob meine eigene Erklärung richtig ist:
Der [mm] tan(\alpha) (\alpha [/mm] ist hier der Winkel zwischen l und l') lautet ja wie folgt:
[mm] tan(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{a}{l}
[/mm]
Der [mm] tan(\alpha) [/mm] für das Kräfteparallelogramm lautet dann
[mm] tan(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{F_{el}}{F_{G}}
[/mm]
Wenn die beiden Winkel [mm] \alpha [/mm] und somit auch der tan ungefähr gleich sind, dürfte ich die beiden Terme gleichsetzen.
Stimmt das so?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Di 07.04.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
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> Wenn die beiden Winkel [mm]\alpha[/mm] und somit auch der tan
> ungefähr gleich sind, dürfte ich die beiden Terme
> gleichsetzen.
Das passt nicht. Die Winkel sind ja gleich! Du hast bei dem Verhältnis zwischen $a$ und $l$ einen Sinus stehen, bei den Kräften einen Tangens. Für kleine Winkel gilt jetzt [mm] $\sin\alpha\approx\alpha$ [/mm] und [mm] $\tan\alpha\approx\alpha$, [/mm] weshalb man beide Ausdrücke gleichsetzen kann, falls der Winkel klein ist.
LG
Kroni
>
> Stimmt das so?
> Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Di 07.04.2009 | | Autor: | gaugau |
Was ich nicht nachvollziehen kann - und deswegen auch bezweifle - ist folgendes:
$ [mm] \sin\alpha\approx\alpha [/mm] $
Für kleine Winkel gilt doch vielmehr
$ [mm] \sin\alpha\approx\\tan\alpha\ [/mm] $
Diese Gleichung ist meiner Auffassung nach eine Andere als deine obige.
Aber nun macht das auch einen Sinn. Dankeschön.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Di 07.04.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es ist doch so:
Zeichne dir den [mm] $\sin$ [/mm] mal auf, und denke daran, dass der Sinus am Anfang, also für kleine Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] recht linear ansteigt. Also schätzt man ab [mm] $\sin\alpha\approx\alpha$ [/mm] für kleine Winkel (das liegt eigentlich daran, dass man den Sinus auch als Reihe darstellen kann, und die mit einem [mm] $\alpha$ [/mm] Losgeht, der nächste Term ist [mm] $\alpha^3$, [/mm] und wenn man jetzt im Bogenmaß arbeitet, und dort sieht, dass [mm] $\alpha<1$ [/mm] ist, erkennt man auch, dass ein [mm] $0.01^3$ [/mm] zB recht klein ist, und erstmal vernachlässigt werden kann).
Ähnlich schauts dann mit dem [mm] $\cos$ [/mm] aus: Der bleibt für kleine [mm] $\alpha$ [/mm] erstmal ziemlich gerade bei der 1, bevor er dann wieder runtergeht. Deshalb schätzt man den [mm] $\cos$ [/mm] für kleine [mm] $\alpha$ [/mm] mit 1 ab.
Wenn du dir jetzt die Definition des Tangens anguckst [mm] $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ [/mm] und das jetzt abschätzt, steht da [mm] $\tan\alpha\approx\frac{\sin\alpha}{1}=\sin\alpha\approx\alpha$.
[/mm]
Das ist der eigentliche Grund, warum man [mm] $\tan\alpha$ [/mm] und [mm] $\sin\alpha$ [/mm] für kleine Winkel gleichsetzen kann.
Probiers zB mal mit deinem Taschenrechner aus: Gib [mm] $\sin(5^\circ)$ [/mm] und [mm] $\tan(5^\circ)$ [/mm] ein, und vergleiche die Werte mal. Analog mit dem [mm] $\cos$, [/mm] so dass man sieht, dass der wirklich da noch dicht bei der 1 liegt.
PS: Achso, jetzt verstehe ich auch, warum du bezweifelst, dass [mm] $\sin\alpha\approx\alpha$ [/mm] gilt für kleine Winkel. Das liegt daran, weil du die Winkel im Grad-Maß angibst. Da ist es ja klar, dass [mm] $\sin(5^\circ)$ [/mm] nicht 5 rausgibt...
Das liegt aber daran, weil die Abschätzungen von oben, die Reihen im Bogenmaß arbeiten, und nicht im Gradmaß. Stell deinen Taschenrechner mal auf Bogenmaß (rad) ein, und geb dem [mm] $\sin$ [/mm] mal eine kleine Zahl, zB 0.1, was ja etwas mehr als [mm] $5^\circ$ [/mm] entspricht. Dann wirst du feststellen, dass [mm] $\sin\alpha\approx\alpha$ [/mm] gilt.
LG
Kroni
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