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| Aufgabe | | Es sei G die von (13) und (1234) erzeugte Untergruppe von [mm] S_4. [/mm] Berechnen Sie die Elemente von G, sowie das Zentrum Ze(G). |
Hallo,
irgendwie tu ich mich mit diesen Grundlagen immer noch ein bisschen schwer. Wäre super, wenn mir nochmal jemand helfen könnte.
Also scheinbar gilt:
G=<(13),(1234>
Das heißt doch das die Potenzen von (13), (1234) die Elemente von G bilden, oder?
Also:
(13)
[mm] (13)^2=id
[/mm]
(1234)
[mm] (1234)^2=(13)(24)
[/mm]
[mm] (1234)^3=(1432)
[/mm]
[mm] (1234)^4=id
[/mm]
Also wären ja Elemente auf jeden Fall {id, (13), (1234), (13)(24), (1432)}.
Muss ich jetzt noch die Produkte von (13) und der Potenzen von (1234) betrachten?
Oder war bis hierhin alles Murks? 
Vielen Dank schonmal für Hilfe!
Gruß
congo
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Hallo
> Es sei G die von (13) und (1234) erzeugte Untergruppe von
> [mm]S_4.[/mm] Berechnen Sie die Elemente von G, sowie das Zentrum
> Ze(G).
> Hallo,
>
> Also scheinbar gilt:
> G=<(13),(1234>
Genau
>
> Das heißt doch das die Potenzen von (13), (1234) die
> Elemente von G bilden, oder?
> Muss ich jetzt noch die Produkte von (13) und der Potenzen
> von (1234) betrachten?
Jops, musst du.. aber dann biste schon fertig :)
>
> Vielen Dank schonmal für Hilfe!
>
> Gruß
> congo
Grüsse, Amaro
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Ok, super danke!
Und das Zentrum ergibt sich dann, wenn ich alles richtig gemacht habe mit
[mm] Ze(G)=\{(13)(24)\}
[/mm]
da
(13)(24)(1234)=(1432)=(1234)(13)(42)
(13)(24)(1432)=(1234)=(1432)(13)(24)
(13)(24)(13)=(24)=(13)(13)(24).
Auch richtig?
Schönen Abend noch und beste Grüße
congo
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Hallo
> Ok, super danke!
>
> Und das Zentrum ergibt sich dann, wenn ich alles richtig
> gemacht habe mit
>
> [mm]Ze(G)=\{(13)(24)\}[/mm]
>
> da
>
> (13)(24)(1234)=(1432)=(1234)(13)(42)
> (13)(24)(1432)=(1234)=(1432)(13)(24)
> (13)(24)(13)=(24)=(13)(13)(24).
>
> Auch richtig?
Naja, es sind zwar nicht alle Möglichkeiten (du hast mehr Elemente in G), aber (13)(24) liegt schonmal im Zentrum...
Ich hab jetzt natürlich nicht alles nachgerechnet, aber wie haste ausgeschlossen, dass nicht weitere Elemente drin sein können?
(Also Nachrechnen ist nicht nötig, wenn du argumentieren kannst, warum nicht weitere Elemente drin sein können.. aber das fehlt ;) .. Ich denk jetzt dabei an Lagrange.. Und vielleicht noch vorhandene/nicht vorhandene Kommutativität der Untergruppe...)
Übrigens ist das neutrale Element auch drin.. das haste vergessen hinzuschreiben :) oder halt <> noch drum rum machen.
>
> Schönen Abend noch und beste Grüße
Ja dir auch :)
>
> congo
Grüsse, Amaro
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> Ich hab jetzt natürlich nicht alles nachgerechnet, aber
> wie haste ausgeschlossen, dass nicht weitere Elemente drin
> sein können?
Naja, ich habe schon beim Bestimmen der Elemente rechts- und linksrum multipliziert und da (13)(24) die einzige Potenz von (1234) war, die von links und rechts an (13) ranmultipliziert das gleiche Ergebnis hatte, habe ich die anderen Elemente ausgeschlossen. Oder hab ich da einen Denkfehler?
> Übrigens ist das neutrale Element auch drin.. das haste
> vergessen hinzuschreiben :) oder halt <> noch drum rum
> machen.
Hups, ja stimmt. Danke.
Gruß
congo
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Hey
> > Ich hab jetzt natürlich nicht alles nachgerechnet, aber
> > wie haste ausgeschlossen, dass nicht weitere Elemente drin
> > sein können?
>
> Naja, ich habe schon beim Bestimmen der Elemente rechts-
> und linksrum multipliziert und da (13)(24) die einzige
> Potenz von (1234) war, die von links und rechts an (13)
> ranmultipliziert das gleiche Ergebnis hatte, habe ich die
> anderen Elemente ausgeschlossen. Oder hab ich da einen
> Denkfehler?
Ne ne, is schon gut
Du hättest auch so argumentieren können, dass du die Ordnung von G anschaust. Z(G) ist eine Untergruppe, und da G nicht abelsch ist, ist Z(G) [mm] \neq [/mm] G. Somit ist |Z(G)| ein Teiler von |G| und mit |Z(G)| < 6 gilt |Z(G)| = 2 oder 3. Da du aber schon (13)(24) gefunden hast, spannt dieses Element schon eine Untergruppe von Ordnung 2 auf. Somit kann nix mehr in Z(G) drin liegen, sonst müsste |Z(G)| = 6 sein und somit ganz G, was der Kommutativität wiederspricht.
>
>
> > Übrigens ist das neutrale Element auch drin.. das haste
> > vergessen hinzuschreiben :) oder halt <> noch drum rum
> > machen.
>
> Hups, ja stimmt. Danke.
>
> Gruß
> congo
Grüsse, Amaro
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Hey,
sorry, aber eine Frage noch, dann lass ich dich heute in Ruhe
> Du hättest auch so argumentieren können, dass du die
> Ordnung von G anschaust. Z(G) ist eine Untergruppe, und da
> G nicht abelsch ist, ist Z(G) [mm]\neq[/mm] G. Somit ist |Z(G)| ein
> Teiler von |G| und mit |Z(G)| < 6 gilt |Z(G)| = 2 oder 3.
> Da du aber schon (13)(24) gefunden hast, spannt dieses
> Element schon eine Untergruppe von Ordnung 2 auf. Somit
> kann nix mehr in Z(G) drin liegen, sonst müsste |Z(G)| = 6
> sein und somit ganz G, was der Kommutativität
> wiederspricht.
Ich habe aber raus: |G|=8, da [mm] G=\{id, (13), (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (24), (14)(23)\}
[/mm]
Also zusätzlich zu der Identität und den Potenzen von (13) und (1234) noch die Produkte von (13) und den Potenzen von (1234), wobei hier nur drei verschiedene dabei waren.
Gruß
vom congo.
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Hallo
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> Ich habe aber raus: |G|=8, da [mm]G=\{id, (13), (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (24), (14)(23)\}[/mm]
>
> Also zusätzlich zu der Identität und den Potenzen von
> (13) und (1234) noch die Produkte von (13) und den Potenzen
> von (1234), wobei hier nur drei verschiedene dabei waren.
Na, na.. dann tut es mir leid.. du musst bei mir nur die 6 durch eine 8 ersetzen und dann kannste trotzdem ähnlich argumentieren.. :) Aber wenn du es eh ausprobiert hast, dann brauchtste die Argumentation nicht notwendigerweise..
>
> Gruß
> vom congo.
Grüsse, Amaro
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