Elemente aus 3. Wurzel angeben < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie alle Elemente der Menge [mm] \wurzel[3]{1} [/mm] in der Form x+iy an und stellen Sie sie auf der komplexen Ebene C dar. |
Hallo,
ich hab keine Ahnung was ich hier machen soll. Die dritte Wurzel aus 1 ist doch 1!
Gruß
Christoph
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Hallo Christoph!
> Die dritte Wurzel aus 1 ist doch 1!
Das stimmt schon. Aber in der Menge [mm] $\IC$ [/mm] der komplexen Zahlen existieren noch zwei weitere Lösungen.
Wende hier auf [mm] $z^3 [/mm] \ = \ 1 \ = \ 1+0*i$ die  Moivre-Formel an.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
ich habe jetzt für den Winkel [mm] \alpha [/mm] (die andere Bez. für den Winkel hab ich nicht gefunden!) 0 raus und für r=1
Wenn ich das ganze jetzt in die Formel einsetze, steht da z.B.:
k=1 z=cos [mm] (\bruch{1*2\pi}{3})+i [/mm] sin [mm] (\bruch{1*2\pi}{3})
[/mm]
Das ist soweit hoffe ich mal richtig, aber da bekomme ich alles Kommazahlen raus, wir dürfen für die Aufgaben eigentlich keinen Taschenrechner benutzen. Habe ich etwas falsch gemacht und deshalb Kommastellen? Laut einem Buch müsste aus der Gleichung z=-0,5 + [mm] 0,5*\wurzel{3i} [/mm] rauskommen.
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> Hallo,
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> ich habe jetzt für den Winkel [mm]\alpha[/mm] (die andere Bez. für
> den Winkel hab ich nicht gefunden!) 0 raus und für r=1
> Wenn ich das ganze jetzt in die Formel einsetze, steht da
> z.B.:
> k=1 z=cos [mm](\bruch{1*2\pi}{3})+i[/mm] sin [mm](\bruch{1*2\pi}{3})[/mm]
> Das ist soweit hoffe ich mal richtig, aber da bekomme ich
> alles Kommazahlen raus, wir dürfen für die Aufgaben
> eigentlich keinen Taschenrechner benutzen. Habe ich etwas
> falsch gemacht und deshalb Kommastellen? Laut einem Buch
> müsste aus der Gleichung
z=-0,5 + [mm]0,5*\wurzel{3i}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> rauskommen.
das muss heissen:
z=-0,5 + [mm]0,5*\wurzel{3}\ i[/mm]
Der Winkel [mm] \bruch{2\pi}{3} [/mm] gehört zu jenen, deren trigono-
metrische Funktionswerte man wissen sollte oder
einfach herleiten kann.
Sagt dir z.B. [mm] cos(60°)=\bruch{1}{2} [/mm] etwas ?
Und Gleichungen wie
[mm] sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1
[/mm]
[mm] cos(180°-\alpha)=-cos(\alpha)
[/mm]
Gruß Al
ein möglicher Link:
http://home.alltel.net/okrebs/page73.html
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irgendwie versteh ich immer noch nicht wie man von [mm] \bruch{2\pi}{3} [/mm] auf 60° kommt. [mm] \pi [/mm] ist doch 180°, dann müssten 60° doch [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] sein, oder seh ich jetzt was total offensichtliches nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Do 13.11.2008 | | Autor: | abakus |
> irgendwie versteh ich immer noch nicht wie man von
> [mm]\bruch{2\pi}{3}[/mm] auf 60° kommt. [mm]\pi[/mm] ist doch 180°, dann
> müssten 60° doch [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] sein, oder seh ich jetzt
> was total offensichtliches nicht?
Du hast schon Recht.
Man sollte einfach die Sinus- und osinuswerte für 30°, 45° und 60° auswendig kennen (0 und 90° sowieso),
dann kann man sich die entsprechenden Werte für den 2., 3. und 4. Quadranten immer selbst herleiiten:
cos 120° = - cos 60"
cos 240° = - cos 60°
cos 300° = cos 60°
Wenn also der Kosinus von 60° (also [mm] \pi/3) [/mm] 0,5 ist, dann ist der Kosinus von 120° [mm] (2\pi/3) [/mm] eben -0,5.
Gruß Abakus
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ok!
vielen Dank! Jetzt hab ichs verstanden!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Okal |
Was sind denn dann die anderen Lösungen fuer die 3te Wurzel aus 1?
1 + 0*i und was noch?
studierst du zufaelig an der Uni Bremen Wing?
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> Was sind denn dann die anderen Lösungen fuer die 3te Wurzel
> aus 1?
>
> 1 + 0*i und was noch?
Die Gleichung [mm] z^3=1 [/mm] hat in [mm] \IC [/mm] die Lösungen
$\ [mm] z_0=1$ [/mm] $\ [mm] z_1=-\bruch{1}{2}+i*\bruch{\wurzel{3}}{2}$ [/mm] $\ [mm] z_2=-\bruch{1}{2}-i*\bruch{\wurzel{3}}{2}$
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Tico |
| Aufgabe | Die Gleichung $ [mm] z^3=1 [/mm] $ hat in $ [mm] \IC [/mm] $ die Lösungen
$ \ [mm] z_0=1 [/mm] $ $ \ [mm] z_1=-\bruch{1}{2}+i\cdot{}\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] $ $ \ [mm] z_2=-\bruch{1}{2}-i\cdot{}\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] $ |
Wie kann man denn jetzt [mm] z_0,z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] in der komplexen Ebene [mm] \IC [/mm] darstellen?
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> Die Gleichung [mm]z^3=1[/mm] hat in [mm]\IC[/mm] die Lösungen
>
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> [mm]\ z_0=1[/mm] [mm]\ z_1=-\bruch{1}{2}+i\cdot{}\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] [mm]\ z_2=-\bruch{1}{2}-i\cdot{}\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> Wie kann man denn jetzt [mm]z_0,z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] in der
> komplexen Ebene [mm]\IC[/mm] darstellen?
Die Punkte haben die (reellen) Koordinaten
$\ (1/0), (-0.5/0.866...), (-0.5/-0.866...)$
Es handelt sich um die drei Ecken eines
gleichseitigen Dreiecks, welche alle auf dem
Einheitskreis liegen. Allgemein bilden die n
komplexen Lösungen der Gleichung
$\ [mm] z^n=1\qquad (n\in \IN [/mm] ,\ [mm] n\ge [/mm] 3)$
die Ecken eines regelmässigen n-Ecks mit
dem Einheitskreis als Umkreis.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 So 16.11.2008 | | Autor: | Okal |
Danke Al-Chwarizmi ! Hat mir sehr gut geholfen.
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