Elemente der Galoisgruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Sa 02.07.2011 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Zwischenkörper der Erweiterung [mm] $\IQ(\wurzel[4]{5})$ [/mm] |
Hallo alle zusammen,
ich hab ein grundlegendes Verständnisproblem bei der Bestimmung der Automorphismen einer Galoisgruppe. Ich hoffe ihr könnt etwas Licht ins Dunkel bringen!
Also, in diesem Fall ist die Erweiterung nicht galoissch, daher hab ich erstmal die galoissche Hülle bestimmt und mit dieser weitergearbeitet. Das ist [mm] $\IQ(\pm\wurzel[4]{5}, \pm\wurzel[4]{5} i)=\IQ(\wurzel[4]{5},i)$. [/mm] Das zugehörige Polynom ist [mm] $x^4-5$. [/mm] Als Erweiterungsgrad ergibt sich insgesamt 8. Soweit ist ja noch alles klar.
Nun zu den Automorphismen. Ich verstehe nicht, wie man auf die richtigen Abbildungen kommt. Die Begründung aus Symmetriegründen finde ich sehr schwammig. Ich habe ja theoretisch viele Möglichkeiten die vier Nullstellen der Polynome aufeinander abzubilden.
Als Lösung habe ich gegeben:
[mm] $\vmat{ & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 & \phi_7 & \phi_8 \\ \phi_j(\wurzel[4]{5}) & \wurzel[4]{5}& -\wurzel[4]{5} & \wurzel[4]{5}i & -\wurzel[4]{5}i & \wurzel[4]{5} &-\wurzel[4]{5} & \wurzel[4]{5}i &-\wurzel[4]{5}i
\\ \phi_j(i) & i & i & i & i & i & -i & -i & -i}$
[/mm]
Wie um alles in der Welt komme ich genau auf diese Vertauschungen?
Und warum nehme ich nicht direkt die Nullstellen und bilde sie ab?
Also mein mathematisches Gefühl sagt mir zwar, dass es schon so sein muss (eben aus den schon erwähnten Symmetriegründen, aber das reicht mir irgendwie nicht.)
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
Vielen Dank schon mal und Grüße
crümel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin crümel!
> Bestimmen Sie alle Zwischenkörper der Erweiterung
> [mm]\IQ(\wurzel[4]{5})[/mm]
>
> ich hab ein grundlegendes Verständnisproblem bei der
> Bestimmung der Automorphismen einer Galoisgruppe. Ich hoffe
> ihr könnt etwas Licht ins Dunkel bringen!
>
> Also, in diesem Fall ist die Erweiterung nicht galoissch,
> daher hab ich erstmal die galoissche Hülle bestimmt und
> mit dieser weitergearbeitet. Das ist [mm]\IQ(\pm\wurzel[4]{5}, \pm\wurzel[4]{5} i)=\IQ(\wurzel[4]{5},i)[/mm].
> Das zugehörige Polynom ist [mm]x^4-5[/mm]. Als Erweiterungsgrad
> ergibt sich insgesamt 8. Soweit ist ja noch alles klar.
Gut :)
> Nun zu den Automorphismen. Ich verstehe nicht, wie man auf
> die richtigen Abbildungen kommt. Die Begründung aus
> Symmetriegründen finde ich sehr schwammig. Ich habe ja
> theoretisch viele Möglichkeiten die vier Nullstellen der
> Polynome aufeinander abzubilden.
Nicht ganz. Das soll ja einen Automorphismus ergeben, und damit ist die Anzahl der Moeglichkeiten eingeschraenkt 
Erstmal: ein Element muss auf ein anderes Element mit dem gleichen Minimalpolynom abgebildet werden. Damit kann [mm] $\sqrt[4]{5}$ [/mm] nur auf [mm] $\sqrt[4]{5}$, [/mm] $i [mm] \sqrt[4]{5}$, $i^2 \sqrt[4]{5} [/mm] = [mm] -\sqrt[4]{5}$ [/mm] und [mm] $i^3 \sqrt[4]{5}= [/mm] -i [mm] \sqrt[4]{5}$ [/mm] abgebildet werden, und $i$ kann nur auf $i$ oder $-i$ abgebildet werden.
Dann muss das ganze ja noch einen Homomorphismus ergeben. Es gilt also [mm] $\varphi(f [/mm] g) = [mm] \varphi(f) \varphi(g)$ [/mm] und [mm] $\varphi(-f) [/mm] = [mm] -\varphi(f)$.
[/mm]
Wenn du also [mm] $\varphi(\sqrt[4]{5})$ [/mm] und [mm] $\varphi(i)$ [/mm] kennst, dann sind die Bilder aller anderen Nullstellen bereits fest bestimmt! Damit gibt es also hoechstens acht Moeglichkeiten, wie so ein Automorphismus [mm] $\varphi$ [/mm] aussehen kann (fuer [mm] $\varphi(\sqrt[4]{5})$ [/mm] gibt es vier Moeglichkeiten und fuer [mm] $\varphi(i)$ [/mm] zwei, siehe oben).
Da es aber genau 8 Automorphismen gibt, ergibt jede solche Moeglichkeit wirklch einen Automorphismus.
Und wenn du jetzt alle Kombinationen durchgehst und jeweils durch die Homomorphieeigenschaft die Bilder der anderen Nullstellen ermittelst, bekommst du die gesuchte Tabelle.
> Als Lösung habe ich gegeben:
> [mm]$\vmat{ & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 & \phi_7 & \phi_8 \\ \phi_j(\wurzel[4]{5}) & \wurzel[4]{5}& -\wurzel[4]{5} & \wurzel[4]{5}i & -\wurzel[4]{5}i & \wurzel[4]{5} &-\wurzel[4]{5} & \wurzel[4]{5}i &-\wurzel[4]{5}i
\\ \phi_j(i) & i & i & i & i & i & -i & -i & -i}$[/mm]
Das sollte jetzt etwas klarer sein (bis auf den einen Tippfehler, unten sollte ein $i$ ein $-i$ sein).
Ist dir das damit klarer?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 So 03.07.2011 | | Autor: | cruemel |
Viiiieeeel klarer in diesem konkreten Fall, vielen Dank. Aber was, wenn die beiden adjungierten Elemente nicht so offensichtlich erkennbar sind?
Eigentlich soll einem die Galoistheorie ja helfen Zwischenkörper zu finden. Nun hast du ja gesagt, ich zitiere "Erstmal: ein Element muss auf ein anderes Element mit dem gleichen Minimalpolynom abgebildet werden"
Ich muss ja dann schon ahnen, welche Zwischenkörper vorhanden sind, um die in Frage kommenden Minimalpolynome zu finden?
Gibt es dann noch irgendwelche geschickten Strategien?
Grüße
Crümel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Crümel!
> Viiiieeeel klarer in diesem konkreten Fall, vielen Dank.
> Aber was, wenn die beiden adjungierten Elemente nicht so
> offensichtlich erkennbar sind?
Nunja, es gibt schon Vorgehensweisen, wie man das ganz allgemein machen kann. Aber das ist normalerweise recht schwer.
Wenn du z.B. alle Nullstellen [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ [/mm] von einem irred. Polynom von Grad $n$ in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] bestimmen kannst, dann kannst du in $n - 1$ Schritten ein [mm] $\alpha \in \IC$ [/mm] finden mit [mm] $\IQ(\alpha_1, \dots, \alpha_n) [/mm] = [mm] \IQ(\alpha)$; [/mm] schau dir dazu den Beweis des Satzes vom primitiven Element an.
(Um das dann praktisch auszufuehren musst du Polynome ueber Koerpern der Form [mm] $\IQ(\beta)$ [/mm] in irreduzible Faktoren faktoriseren koennen. Das ist meist recht muehsam.)
Wenn du dann $K = [mm] \IQ(\alpha)$ [/mm] hast, und das Minimalpolynom $g [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] von [mm] $\alpha$, [/mm] dann entsprechen die Nullstellen von $g$ in $K$ gerade den Automorphismen von $K$. Du kannst die Automorphismengruppe explizit als Untergruppe von [mm] $S_n$ [/mm] hinschreiben, und somit auch die Gruppenstruktur herausbekommen sowie die Untergruppen - Notfalls durch explizites Herumrechnen. Dauert lange, aber liefert ganz sicher ein Ergebnis.
Es gibt ja auch Computerprogramme, denen man ein Polynom gibt und die einem dann die Galoisgruppe ausspucken, nach mehr oder weniger langer Rechenzeit. Die Programme arbeiten dazu auch nur einen grossen Haufen einfache Rechenschritte ab. (Die man als Mensch aber nicht selber machen moechte )
Mit den Untergruppen kannst du dann mit etwas linearer Algebra die Zwischenkoerper bestimmen. (Ich glaub ich hab hier im Forum schonmal was dazu geschrieben... *such* hier und hier)
Das ist allerdings recht viel Aufwand. Deswegen beschraenkt man sich meist auf Faelle, wo es irgendwie recht einfach geht. Wie bei sowas wie [mm] $\IQ(\sqrt[4]{5})$ [/mm] :)
> Eigentlich soll einem die Galoistheorie ja helfen
> Zwischenkörper zu finden. Nun hast du ja gesagt, ich
> zitiere "Erstmal: ein Element muss auf ein anderes Element
> mit dem gleichen Minimalpolynom abgebildet werden"
> Ich muss ja dann schon ahnen, welche Zwischenkörper
> vorhanden sind, um die in Frage kommenden Minimalpolynome
> zu finden?
Nicht umbedingt. In diesem Fall hast du gesehen dass die Nullstellen vom Polynom [mm] $\sqrt[4]{5}, [/mm] i [mm] \sqrt[4]{5}, [/mm] ...$ sind, und somit sieht man schnell dass der Zerfaellungskoerper [mm] $\IQ(\sqrt[4]{5}, [/mm] i)$ ist. Ueber Unterkoerper sagt das noch nicht direkt etwas aus. Also nur dass es den Zwischenkoerper [mm] $\IQ(\sqrt[4]{5})$ [/mm] und den Zwischenkoerper [mm] $\IQ(i)$ [/mm] gibt. Ob es echte Zwischenkoerper oder ueberhaupt verschiedene sind muss man auch erst noch zeigen (wobei das hier in diesem konkreten Fall sehr einfach ist) - was im wesentlichen darauf hinauslaeuft, das Minimalpolynom von $i$ ueber [mm] $\IQ(\sqrt[4]{5})$ [/mm] zu bestimmen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 So 03.07.2011 | | Autor: | cruemel |
Hallo Felix,
vielen lieben Dank für die ausführliche und super verständliche Erklärung. Tatsächlich ist mir die Bestimmung der Zwischenkörper auch noch nicht ganz klar, also vielen Dank für die Links. Momentan bin ich aber noch garnicht so weit, um zu diesem Thema sinnvolle Fragen stellen zu können.
Grüße
crümel
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