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| Aufgabe | | [mm]A_4=\left \{ \delta \in S_4 \right \setminus sgn(\delta)=1\}[/mm] |
Ich soll alle Elemente von [mm]A_4[/mm] bestimmen. Hier komme ich nicht weiter. Ich finde diese Eelemnte einfach nicht. Zunächst wolle ich alle elemente von [mm]S_4[/mm] aufschreiben, da gibt es doch 24 Möglichkeiten und davon sind 12 von [mm]A_4[/mm]
Fange mal an (id), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(123),(132),(143),(134),(241),(214),(243),(234),(12),(34),(23);(24);(14);(13)
habe aber nur 21 möglichkeiten und wie finde ich heraus, welche davon von <span class="math">[mm]A_4[/mm] sind.
Danke
</span>
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Guten Tach,
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> Ich soll alle Elemente von [mm]A_4[/mm] bestimmen. Hier komme ich
> nicht weiter. Ich finde diese Eelemnte einfach nicht.
> Zunächst wolle ich alle elemente von [mm]S_4[/mm] aufschreiben, da
> gibt es doch 24 Möglichkeiten und davon sind 12 von [mm]A_4[/mm]
>
> Fange mal an (id),
> (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(123),(132),(143),(134),(241),(214),(243),(234),(12),(34),(23);(24);(14);(13)
Was ist das Grüne?
Falls das Grüne ein Komma beinhaltet, dann fehlen dir (12)(34) , ... als Permutation
Falls das Grüne kein Komma beinhaltet, dann steht da Quatsch, da (23)(24)=(34) gilt
schreib das doch einmal geordnet auf:
id
(12) , (13) , (14) , (23) , (24) , (34)
(123) , (132) , ...
(1234) , ...
(12)(34)
>
> habe aber nur 21 möglichkeiten und wie finde ich heraus,
> welche davon von [mm]A_4[/mm] sind.
Du hast alles notwendige schon aufgeschrieben 
[mm] A_4=\left \{ \delta \in S_4 \right \setminus sgn(\delta)=1\} [/mm]
Die Alternierende Gruppe A4 hat also alle Permutationen der S4 mit dem Vorzeichen (Signum) 1. Die Definition vom Vorzeichen einer Permutation habt ihr bestimmt als Anzahl der Fehlstände aufgeschrieben.
Einfacher geht es, wenn man sich klar macht, dass ein r-Zykel [mm]\tau[/mm] das Vorzeichen [mm](-1)^{r+1}[/mm] hat. Bei disjunkten Zykeln [mm]\tau,\sigma[/mm] ist das Vorzeichen das Produkt beider Vorzeichen, da das Signum ein Homomorphismus ist. [mm]sgn(\tau \sigma)=sgn(\tau)sgn(\sigma)[/mm]
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Vielen dank erstmal, habe jetzt alle 24 elemente von S4 und könnte es natürlich A4 nach den Fehlständen herausfinden. Aber vll. kannst du mir deine Variante erklären, wie sie funktioniert und wie ich einfacher an die aufgabe rangehen kann.
Verstehe deine Idee nicht und würde dankbar sein,w enn du sie mir erklären würdest.
vielen dank.
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habe jetzt folgende elemente von A4
(id),(12),(13),(23),(123),(132)
aber normalerweise gilt doch A4=anzahl der Möglichkeiten/2
d.h. 12 Eelemente oder nicht?
vielen dank
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> habe jetzt folgende elemente von A4
> (id),(12),(13),(23),(123),(132)
Nein. z.B. bei [mm] $(12)\not\in [/mm] A_$
Denn die Transposition hat die Zykellänge 2 und [mm](-1)^{2+1}=-1\neq 1[/mm].
(a,b,c,d,...) ist die Zykelschreibweise für Permutationen. Dabei wir ja c auf d und b auf c und a auf b geschickt.
(1234) hat die Zykellänge 4 und damit das Vorzeichen -1.
(123) hat Länge 3 und damit Vorzeichen 1 => gehört zu A4.
Für disjunkte Zykel kann die Vorzeichen einfach multiplizieren, z.B.
(12)(34) disjunkt => Vorzeichen -1*-1=1 passt und gehört zu A4
(12)(23) nicht disjunkt (= (13)) hier darfst du nicht einfach multiplizieren.
Bis jetzt gehört nur id,(123),(132) hinein.
Ich ergänze mal mit (124),(134),(234). Hast du bestimmt auch schon auf deinem Blatt stehen.
Du hast auch recht [mm]\#A4=\frac{\#S4}{2}[/mm].
Wenn du den Weg gehen möchtest, dann soll das dir eine Hilfe sein. Normalerweise muss man erst zeigen:
- jede Permutation lasst sich als Produkt disjunkter Zykeln schreiben
- sgn ist ein Homomorphismus
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| Aufgabe | [mm] A_4[/mm]:=[mm]\left \{ \sigma \in S_4 /sgn(\sigma)=1 \}[/mm]
A) Bestimmen sie alle Elemente aus [mm]A_4[/mm]
A)Zeigen sie, dass alle Elemente vom Typ(2,2) in [mm]A_4
[/mm] konjugiert sind
B) Zeigen sie: [mm]\mu [/mm]=(123) und [mm]\nu[/mm]=(124) sond in [mm]S_4, aber \ nicht \ in A_4[/mm] |
Erstmal die Elemente aus [mm] A_4[/mm]={(id),(123),(132),(134),(143),(214),(241),(243),(234),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
Vom Typ (2,2) sind ja die Elemente (12)(34),(13)(24),(14)(23)
Zwei Elemente der Permutation sin kunjugent, wenn sie vom selben Typ sind.
Ich versthe aber die Fragestellung nicht, denn A4 enthält ja auch ungleiche Permutationstypen, genauso die B Aufgabe.
Bitte um hilfe.
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> [mm]A_4[/mm]:=[mm]\left \{ \sigma \in S_4 /sgn(\sigma)=1 \}[/mm]
>
> A) Bestimmen sie alle Elemente aus [mm]A_4[/mm]
>
> A)Zeigen sie, dass alle Elemente vom Typ(2,2) in [mm]A_4[/mm] konjugiert sind
>
>
> B) Zeigen sie: [mm]\mu [/mm]=(123) und [mm]\nu[/mm]=(124) sond in [mm]S_4, aber \ nicht \ in A_4[/mm]
(123) und (124) liegen doch in A4!
>
> Erstmal die Elemente aus
> [mm]A_4[/mm]={(id),(123),(132),(134),(143),(214),(241),(243),(234),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
>
>
> Vom Typ (2,2) sind ja die Elemente
> (12)(34),(13)(24),(14)(23)
>
> Zwei Elemente der Permutation sin kunjugent, wenn sie vom
konjugiert
> selben Typ sind.
Ja.
>
> Ich versthe aber die Fragestellung nicht, denn A4 enthält
> ja auch ungleiche Permutationstypen, genauso die B
> Aufgabe.
Es sind ja auch nicht alle Elemente konjugiert, sondern nur die vom Typ (2,2).
Natürlich sind (12)(34) nicht konjugiert zu (123) in A4.
>
> Bitte um hilfe.
Da war keine Frage.
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