Elemente einer Sigma-Algebra < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Sa 29.04.2006 | | Autor: | tholie |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle!
Ich bin grade dabei eine Aufgabe meiner Stochastik-Übung zu lösen und bin dabei auf die Frage gestoßen, was eigentlich in einer sigma-Algebra enthalten ist.
Genauer:
Sei OMEGA eine nichtleere Menge, [mm] \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(OMEGA) [/mm] (Potenzmenge von Omega).
Gilt dann: [mm] \sigma(\mathcal{E}) [/mm] = [mm] \{\mathcal{P}(\mathcal{E}), \mathcal{P}(\mathcal{E})^{c}\} [/mm] ?
Oder was enthält [mm] \sigma(\mathcal{E}) [/mm] sonst ?
Vielen Dank schon mal im voraus!
Grüße THOLIE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Sa 29.04.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Ist schon ne gute Frage. Soweit ich mich erinnere, war das ungefähr so: [mm] \sigma(\mathcal{E})=\{\mathcal{P}(\mathcal{E}), \mathcal{P}(\mathcal{E})^{c}\} [/mm] ist eine sigma-Algebra und zwar die kleinstmögliche. Es gibt aber auch andere sigma-Algebren, die aber auf jeden Fall auch
[mm] \mathcal{P}(\mathcal{E}), \mathcal{P}(\mathcal{E})^{c} [/mm] enthalten. Bin mir nicht 100 pro sicher, aber in etwa ist es so.
Gruß,
dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Sa 29.04.2006 | | Autor: | DirkG |
Nein, das stimmt ganz und gar nicht: [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] ist ebenso wie [mm] $\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] eine Menge von Teilmengen von [mm] $\Omega$. $\mathcal{P}(\mathcal{E})$ [/mm] ist dann aber die Potenzmenge einer Menge von Teilmengen von [mm] $\Omega$, [/mm] das ist dann schon eine Hierarchieeben höher!
Um es an einem kleinen Beispiel klarzumachen:
Sei [mm] $\Omega=\{1,2\}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{E} [/mm] = [mm] \{ \{1\}, \{1,2\} \}$. [/mm] Dann ist [mm] $\sigma(\mathcal{E}) [/mm] = [mm] \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}$, [/mm] also [mm] $\sigma(\mathcal{E}) [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\Omega)$.
[/mm]
Aber es ist [mm] $\mathcal{P}(\mathcal{E}) [/mm] = [mm] \{ \emptyset, \{ \{1\} \}, \{ \{1,2\} \}, \{ \{1\}, \{1,2\} \} \}$ [/mm] !!!
Na, schon schwindlig geworden? 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 So 30.04.2006 | | Autor: | tholie |
Danke für die schnelle Antwort !
Grüße THOLIE
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