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| Aufgabe | Ermittle die Gleichung jener Tangenten, die aus dem gegeben Punkt P an die Ellipse gelegt werden können!
ell: [mm] x^2+2y^2=54
[/mm]
P(18/-9) |
bitte gebt mir einen tipp wie ich hier vorgehen muss!
ich habe die möglichkeit dies mit "mathematica" zu berechnen!
danke im voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Do 17.05.2007 | | Autor: | informix |
Hallo Aristoteles,
> Ermittle die Gleichung jener Tangenten, die aus dem gegeben
> Punkt P an die Ellipse gelegt werden können!
>
> ell: [mm]x^2+2y^2=54[/mm]
> P(18/-9)
> bitte gebt mir einen tipp wie ich hier vorgehen muss!
> ich habe die möglichkeit dies mit "mathematica" zu
> berechnen!
>
Da du erst in Klasse 7 bist, wirst du wohl nicht wissen, wie man die Steigung der Tangente an eine Ellipse bestimmt, oder?
Andererseits: sollst du dies wirklich mit Vektorrechnung lösen?!
Oder hast du aus Versehen falsche Angaben über dein Vorwissen (Klasse 7; nach deutscher Klasseneinteilung) gemacht?
In welchem Zusammenhang wurde diese Aufgabe gestellt?
Gruß informix
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ich bin 1 jahr vor der matura/abitur!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Mo 21.05.2007 | | Autor: | informix |
Hallo Aristoteles,
> ich bin 1 jahr vor der matura/abitur!
>
zählt Ihr die Klassenstufen anders als in Deutschland?
Nach unserer Zählung bist du also in Klasse 12.
Dann passt auch die Aufgabe wieder "besser".
Gruß informix
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Hi,
Dies ist aber auch ohne den Stoff der 12. Klasse zu lösen.
Bestimme das Geradenbüschel der Tangenten, die den Punkt P beinhalten.
[mm] $g(x)=mx+n\qquad \gdw\qquad -9=18m+n\qquad \gdw \qquad n=-9-18m\qquad\Rightarrow\qquad [/mm] g(x)=mx-9-18m$
Das nun einsetzten in die Ellipsengleichung und die Schnittpunkte in Abhänigigkeit von $m$ berechnen. Der Term unter der Wurzel muss dann gleich null sein, damit es Tangente(n) ist/sind.
Grüße, Stefan.
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Hallo,
auch wenn deine Fälligkeit abgelaufen ist, möchte ich dir die Lösung für den 1. Berührpunkt schicken,
aus der Gleichung [mm] x^{2}+2y^{2}=54 [/mm] folgt [mm] y=\wurzel{-0,5x^{2}+27}, [/mm] daraus ergeben sich zwei Fälle:
1.) [mm] f_1(x)=\wurzel{-0,5x^{2}+27} [/mm] und
2.) [mm] f_2(x)=-\wurzel{-0,5x^{2}+27}
[/mm]
Zeige ich dir den Rechenweg für Fall 1:
Du brauchst eine Tangentengleichung t(x)=mx+n, die durch (18; -9) und den (noch) nicht bekannten Berührpunkt [mm] (x_B; \wurzel{-0,5x_B^{2}+27} [/mm] verläuft, die Steigung der Tangente m entspricht dem Anstieg im Berührpunkt, also der 1. Ableitung,
[mm] f_1'(x)=\bruch{-x}{2\wurzel{-0,5x^{2}+27}}
[/mm]
t(x)=m*x+n
[mm] -9=\bruch{-x_B}{2\wurzel{-0,5x_B^{2}+27}}*18+n
[/mm]
[mm] n=\bruch{-18x_B}{2\wurzel{-0,5x_B^{2}+27}}+9
[/mm]
der Term für n kann somit in die Tangentengleichung eingesetzt werden, weiterhin gilt im Berührpunkt [mm] f_1(x_B)=t(x_B)
[/mm]
[mm] \wurzel{-0,5x_B^{2}+27}=\bruch{-x_B}{2\wurzel{-0,5x_B^{2}+27}}*x_B+\bruch{-18x_B}{2\wurzel{-0,5x_B^{2}+27}}+9
[/mm]
[mm] 2(-0,5x_B^{2}+27)=-x_B^{2}-18x_B+18\wurzel{-0,5x_B^{2}+27}
[/mm]
[mm] -x_B^{2}+54=-x_B^{2}-18x_B+18\wurzel{-0,5x_B^{2}+27}
[/mm]
[mm] 54=-18x_B+18\wurzel{-0,5x_B^{2}+27}
[/mm]
[mm] 3=-x_B+\wurzel{-0,5x_B^{2}+27}
[/mm]
[mm] 3+x_B=\wurzel{-0,5x_B^{2}+27} [/mm] quadrieren
[mm] 9+x_B^{2}+6x_B=-0,5x_B^{2}+27
[/mm]
[mm] 0=0,5x_B^{2}-6x_B+18
[/mm]
[mm] 0=x_B^{2}-12x_B+36
[/mm]
somit erhälst du die Stelle [mm] x_B=6, [/mm] also [mm] f_1(6)=3, [/mm] also Berührpunkt (6; 3), also t(x)=-x+9
der 2. Berührpunkt lautet (-2; -5)
Steffi
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