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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 So 03.04.2011 | | Autor: | cmueller |
Hallo zusammen,
in einem alten Prüfungsprotokoll kam folgende Frage:
Ellipse gegeben mit [mm] $x^{2}+xy+y^{2}= [/mm] 7$
Berechne Normalenvektor in (2,1)
und in einem anderen:
Menge M = [mm] \{(x,y) \in \IR^{2} mit x^{2}-xy+y^{2}=3\}
[/mm]
Was ist die Steigung der Tangentein (2,1)
...ich muss gestehen, dass mich beide AUfgaben in Verzweiflung stürzen ^^ ich glaube mir hilft der Satz über implizite Funktionen oder so...aber wie??
Wäre toll, wenn mir jemand einen Ansatz sagt, irgendwie komme ich mit beiden Aufgaben nicht klar :/
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Ich würde einfach implizit nach [mm]x[/mm] differenzieren. Wird die Ableitung nach [mm]x[/mm] mit einem Strich bezeichnet, so gilt
[mm]2x + y + \left( x+2y \right) y' = 0[/mm]
Und jetzt einsetzen. Und hast du erst die Steigung, ist der Normalenvektor auch kein Problem mehr.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 03.04.2011 | | Autor: | cmueller |
> Ich würde einfach implizit nach [mm]x[/mm] differenzieren. Wird die
> Ableitung nach [mm]x[/mm] mit einem Strich bezeichnet, so gilt
>
> [mm]2x + y + \left( x+2y \right) y' = 0[/mm]
ok das hast du mit der kettenregel gemacht ne? also den hinteren teil.
erstmal partiell nach x abgeleitet addiert mit der partiellen ableitung nach y und y' dahinter gesetzt eben wegen der kettenregel ne?
>
> Und jetzt einsetzen.
habe zunächst mal nach y' aufgelöst und komme auf [mm] $y'=\bruch{-2x-y}{x+2y}$
[/mm]
wenn ich einsetze kriege ich $y' = [mm] -\bruch{5}{4}$ [/mm] raus. das ist das die steigung, richtig?
ich muss aber sagen, dass ich trotzdem noch nich weiß, was ich jetzt machen muss :/ wieso ist dann der normalenvektor kein problem mehr? ich kann mir das anschaulich einfach nich vorstellen...kannst du mir das noch etwas mehr erklären was genau hier eigentlich passiert?!
Vielen DANK!
Und hast du erst die Steigung, ist der
> Normalenvektor auch kein Problem mehr.
>
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Ich habe die Gleichung [mm]x^2 + xy + y^2 = 7[/mm] als Gleichung zwischen [mm]x[/mm] und der Funktion [mm]y = f(x)[/mm] aufgefaßt:
[mm]x^2 + x f(x) + \left( f(x) \right)^2 = 7[/mm]
Und dann die üblichen Ableitungsregeln angewandt: Summenregel, Produktregel (für das mittlere Glied), Kettenregel (für das hintere Glied).
Wenn eine Tangente die Steigung [mm]- \frac{5}{4}[/mm] hat, dann hat die Normale die Steigung [mm]\frac{4}{5}[/mm]. Das lernt man schon in der Schule: [mm]m_1 \cdot m_2 = -1[/mm]
Und ein Steigungsdreieck realisiert auch einen Normalenvektor. Skizze genügt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Mo 04.04.2011 | | Autor: | cmueller |
Ja gut, das mit Tangenten- und Normalensteigung ist klar, ich hab nur nicht verstanden, wo ich plötzlich einen Vektor herkriege...
und ich weiß ehrlich gesagt immer noch nciht, wie ich das dann skizzieren soll, wenn ich doch eine implizite funktion habe...
zu der andren aufgabe, da war ja :
M= [mm] \{(x,y) \in \IR^{2} mit x^{2}-xy+y^{2}=3\}
[/mm]
wenn ichd as genauso mache komme ich auf fast die gleiche ableitung mit:
$2x-y+(-y+2y)y' = 0$
und dh [mm] $y'=\bruch{-2x+y}{-x+2y}$
[/mm]
aaaber wenn ich jetzt die Steigung der Tangenten wissen will (2,1) und einsetze bekomme ich raus
[mm] $y'=\bruch{-4-1}{-2+2} [/mm] ... dh der Nenner wird Null....hab ich mich verrechnet oder wie gehe ich jetzt damit um?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du den Satz über implizit def. Funktionen auf die Gleichung
[mm] x^2-xy+y^2=3 [/mm]
in (2,1) loslassen willst, solltest Du überprüfen, ob die Vor. auch erfüllt sind ! Hier ist das leider nicht dr Fall.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Mo 04.04.2011 | | Autor: | cmueller |
Alles klar,
es ist richtig, dass die Anwendung des Satzes fordert,dass:
1. ich eine stetig (partiell)diffbare Funtion F(x,y) habe
2. muss für einen punkt (a,b) (in meinem fall (2,1)) gelten:
F(a,b)=0, sodass [mm] \bruch{\partial F}{\partial y} [/mm] (a,b) invertierbar ist.
...richtig?
p.s. nochmal die frage bzgl des normalvektors, ich hab die normalensteigung aber ich check nochnnciht ganz wie ich dann auf den vektor komme (vornehmlich nicht zeichnerisch)
danke...
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Hallo cmueller,
> Alles klar,
> es ist richtig, dass die Anwendung des Satzes
> fordert,dass:
>
> 1. ich eine stetig (partiell)diffbare Funtion F(x,y) habe
> 2. muss für einen punkt (a,b) (in meinem fall (2,1))
> gelten:
> F(a,b)=0, sodass [mm]\bruch{\partial F}{\partial y}[/mm] (a,b)
> invertierbar ist.
>
> ...richtig?
Ja, das ist richtig.
Im Fall, daß der Punkt (2,1) ein kritischer Punkt von F ist, d.h.
[mm]F\left(2,1\right)=F_{x}\left(2,1\right)=F_{y}\left(2,1\right)=0[/mm]
greift der Satz von Morse.
>
> p.s. nochmal die frage bzgl des normalvektors, ich hab die
> normalensteigung aber ich check nochnnciht ganz wie ich
> dann auf den vektor komme (vornehmlich nicht zeichnerisch)
>
Die Funktion [mm]y=f\left(x\right)[/mm] läßt sich doch auch so schreiben:
[mm]\pmat{x \\ y}=\pmat{t \\ f\left(t\right)}[/mm]
mit t als Parameter.
> danke...
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Di 05.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Zur Klärung:
Löst man die Gleichung [mm] $x^2-xy+y^2=3$ [/mm] nach y auf, so erhält man:
[mm] $y_{1/2}(x)= \bruch{x}{2} \pm \bruch{\wurzel{12-3x^2}}{2}$
[/mm]
Die Funktionen [mm] y_i [/mm] sind in x= [mm] \pm [/mm] 2 nicht differenzierbar. Die Tangenente in (2,1) ist eine Parallele zur y-Achse.
FRED
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Wenn eine Gerade die Steigung [mm]\frac{a}{b}[/mm] hat, dann hat sie [mm]\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}[/mm] als Richtungsvektor. Das zeigt eine Skizze sofort (Steigungsdreieck).
Und da die Normale die Steigung [mm]\frac{4}{5}[/mm] besitzt, hat sie [mm]\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] oder ein Vielfaches davon als Richtungsvektor. Das ist dann ein Normalenvektor.
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