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Forum "Integralrechnung" - Ellipse Fläche
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Ellipse Fläche: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Mo 20.06.2011
Autor: Maturant

Aufgabe
Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Symmetrien den Flächeninhalt der Gleichung [mm] (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1. [/mm] (a>b)

Guten Abend.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich denke, dass folgende Aufgabe durch eine Integralrechnun zu lösen ist, nur ist das dann auch schon alles. Eine Anregung in die richtige Richtung wäre super. :)

[mm] A=\integral_{0}^{?}{\wurzel{\bruch{x^2b^2}{a^2}-b^2} dx} [/mm]

        
Bezug
Ellipse Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Mo 20.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Maturant,

[willkommenmr]


> Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Symmetrien den
> Flächeninhalt der Gleichung [mm](x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1.[/mm] (a>b)
>  Guten Abend.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Ich denke, dass folgende Aufgabe durch eine Integralrechnun
> zu lösen ist, nur ist das dann auch schon alles. Eine
> Anregung in die richtige Richtung wäre super. :)


Da vermutest Du richtig.


>  
> [mm]A=\integral_{0}^{?}{\wurzel{\bruch{x^2b^2}{a^2}-b^2} dx}[/mm]  


Der Integrand stimmt nicht.

Löse die Gleichung

[mm](x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1[/mm]

nach y auf.
Das ergibt dann den Integranden.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Ellipse Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Mo 20.06.2011
Autor: Maturant

Ist es so richtig?

[mm] A=\integral_{0}^{?}{\bruch{b*wurzel(a^2-x^2)}a dx} [/mm]

Und was wäre die passende obere Grenze?

Vielen Dank im Voraus.

Bezug
                        
Bezug
Ellipse Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Mo 20.06.2011
Autor: leduart

Hallo
was ist denn der größte Wert von x? das ist die obere Grenze.
lass das a lieber in der Wurzel, also [mm] b*\wurzel{1-x^3/a^2} [/mm] und dann substitution z=x/a
welchen Bruchteil der Ellipse hast du dann?
Gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Ellipse Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:27 Mo 20.06.2011
Autor: Maturant

[mm] x^3/a^2? [/mm]
Ich gehe von einem Tippfehler aus und hoffe, dass [mm] x^2 [/mm] gemeint ist. :)

Der größte Wert für x ist gleich a, da x/a=1, für den Fall dass y=0 ist, oder?

Ich denke, ich habe dann den Bruchteil der Ellipse im ersten Quadranten (rechts oben).

Wenn ich mit Z substituiere habe ich dann also:
[mm] A=\integral_{0}^{a}{b*\wurzel{1-z^2} dx} [/mm]
und dann?

Ich denke mal partielle Integration also
v=b
v'=1
[mm] u=(2/3)(1-z^2)^{3/2} [/mm]
[mm] u'=(1-z^2)^{1/2} [/mm]

also
[mm] A=b*(2/3)(1-z^2)^{3/2}-\integral_{0}^{a}{\wurzel{1-z^2}dx} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Ellipse Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:26 Di 21.06.2011
Autor: leduart

Hallo

> [mm]x^3/a^2?[/mm]
>  Ich gehe von einem Tippfehler aus und hoffe, dass [mm]x^2[/mm]
> gemeint ist. :)

Ja!

> Der größte Wert für x ist gleich a, da x/a=1, für den
> Fall dass y=0 ist, oder?

richtig!

> Ich denke, ich habe dann den Bruchteil der Ellipse im
> ersten Quadranten (rechts oben).

also 1/4

> Wenn ich mit Z substituiere habe ich dann also:
>  [mm]A=\integral_{0}^{a}{b*\wurzel{1-z^2} dx}[/mm]

falsch weil du dx=adz nicht subst. hast.

>  und dann?
>  
> Ich denke mal partielle Integration also
>  v=b
>  v'=1

falsch v'=0!

>  [mm]u=(2/3)(1-z^2)^{3/2}[/mm]
>  [mm]u'=(1-z^2)^{1/2}[/mm]

falsch Kettenregel beachten

rest falsch.
Methode: z=sinu  dz=cosu und 1-sin^2u=cos^2o
Gruss leduart


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