Ellipse aus 4 Punkten im Raum < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Di 22.12.2009 | | Autor: | cjb |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versuche gerade aus 4 Punkten x,y,z die alle in einer Ebene liegen eine Ellipse zu erstellen. Geht das überhaupt?
Ich erzeuge aus 3 Punkten eine Ebene und habe so den Normalenvektor meiner Ellipse. Aber dann sieht es schwarz aus. Da weder die Hauptlage bekannt ist, noch meine Ellipse im Ursprung liegt nützt mir
[mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{y^{2}}{b^{2}} [/mm] = 1 nichts.
Ich könnte mir noch vorstellen, dass durch die Richtung (Neigung) des Normalenvektors die Haupt- oder Nebenlage bestimmbar wäre.
Wie geht man vor ?
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Hallo cjb, ein etwas verspätetes ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Keine leichte Aufgabe, die Du Dir da vorgenommen hast.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich versuche gerade aus 4 Punkten x,y,z die alle in einer
> Ebene liegen eine Ellipse zu erstellen. Geht das
> überhaupt?
Nein. Ein Kegelschnitt im Raum braucht 5 Angaben, also 5 Punkte oder 4 Punkte und eine Steigung etc.
> Ich erzeuge aus 3 Punkten eine Ebene und habe so den
> Normalenvektor meiner Ellipse. Aber dann sieht es schwarz
> aus. Da weder die Hauptlage bekannt ist, noch meine Ellipse
> im Ursprung liegt nützt mir
> [mm]\bruch{x^{2}}{a^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{y^{2}}{b^{2}}[/mm] = 1 nichts.
Naja. Man könnte immerhin noch eine ordentliche Koordinatentransformation versuchen und so alle vier Punkte mit nur je zwei Koordinaten definieren.
> Ich könnte mir noch vorstellen, dass durch die Richtung
> (Neigung) des Normalenvektors die Haupt- oder Nebenlage
> bestimmbar wäre.
Das wäre sicher hilfreich. Aber dazu hast Du zuwenig Angaben.
> Wie geht man vor ?
Ohne weitere Information entweder gar nicht, oder man versucht, alle möglichen Ellipsen durch diese vier Punkte mit nur einem Parameter zu beschreiben.
Möglicherweise ist die fehlende fünfte Angabe aber durch die Festlegung auf eine Ellipse schon erfolgt. Das wäre aber nur zu prüfen, wenn Du die vier Punkte mal bekannt gibst, und am besten auch gleich, was Du damit schon angestellt hast.
Gute Nacht,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Mi 23.12.2009 | | Autor: | cjb |
Gleiche Frage nur diesmal Ellipse aus 5 Punkten im Raum berechnen
Sorry ich dachte es ginge vielleicht auch mit 4 Punkten. Die Anzahl der Punkte ist nicht das Problem. Es geht um die Abbildung einer Rundgaube wie diese gegen eine geneigte Dachfläche läuft. Diese kann auch schräg liegen. Und ich möchte mit der Ellipse bzw. mit einem Auschnitt der Ellipse die Schnittkante bestimmen.
P1 1.0@5.0@1.0
P2 3.0@7.0@3.0
P3 5.0@5.0@1.0
P4 4.0@6.73205080756888@2.73205080756888
P5 4.5@6.32287565553229@2.3228756555323
Transformation auf die z-Ebene ist kein Problem. Aber wie geht es dann weiter.
Danke
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> Gleiche Frage nur diesmal Ellipse aus 5 Punkten im Raum
> berechnen
> Sorry ich dachte es ginge vielleicht auch mit 4 Punkten.
> Die Anzahl der Punkte ist nicht das Problem. Es geht um die
> Abbildung einer Rundgaube wie diese gegen eine geneigte
> Dachfläche läuft. Diese kann auch schräg liegen. Und ich
> möchte mit der Ellipse bzw. mit einem Ausschnitt der
> Ellipse die Schnittkante bestimmen.
>
> P1 1.0@5.0@1.0
> P2 3.0@7.0@3.0
> P3 5.0@5.0@1.0
> P4 4.0@6.73205080756888@2.73205080756888
> P5 4.5@6.32287565553229@2.3228756555323
>
> Transformation auf die z-Ebene ist kein Problem. Aber wie
> geht es dann weiter.
>
> Danke
Hallo Christoph,
ich habe zuerst mal kurz nachgeschaut, was man
unter einer "Rundgaube" eigentlich versteht.
Wenn ich es richtig verstanden habe, ist das Dach
der Rundgaube zylindrisch gewölbt. Um die Schnitt-
kante des Gaubendachs mit der ebenen Dachfläche
zu beschreiben, würde ich zuerst beide Flächen
durch Gleichungen beschreiben und dann daraus
die Gleichung der Schnittkurve k berechnen.
Wenn ich aber deine Daten betrachte - ich habe
mir eine Skizze gemacht - fällt mir auf, dass der
Grundriss k' der Schnittkurve ein Halbkreis in der
x-y-Ebene ist. Dessen Gleichung lautet:
$\ y(x)\ =\ [mm] 5+\wurzel{4-(x-3)^2}\ [/mm] =\ [mm] 5+\wurzel{(5-x)*(x-1)}$
[/mm]
Diese Gleichung gilt auch für die Punkte der Schnitt-
kurve k . Ferner lese ich ab, dass deine Dachfläche
die Gleichung $\ z=y-4$ hat. Mit dem Obigen kombiniert
erhalten wir schon eine komplette Parametrisierung
der Kurve k:
k: [mm] \begin{cases} 1\le x\le 5 \\ y\ =\ 5+\wurzel{(5-x)*(x-1)}\\ z\ =\ 1+\wurzel{(5-x)*(x-1)}\end{cases}
[/mm]
Wegen der speziellen Lage ist es also überhaupt nicht
nötig, den vollen Apparat mit der Ellipsenbestimmung
aus 5 Punkten aufzufahren !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mi 23.12.2009 | | Autor: | cjb |
Deine Antwort!
> Wegen der speziellen Lage ist es also überhaupt nicht
> nötig, den vollen Apparat mit der Ellipsenbestimmung
> aus 5 Punkten aufzufahren
Diese spezielle Lage ist auch nur als Beispiel gedacht gewesen, weil nach Punkten gefragt wurde. Ich habe mir in meiner Software (www.zirbel.eu) die entspechenden Punkte berechnet.
Eigentlich möchte ich einen Zyllinder (Gaube) in beliebiger Lage (der Zylinder kann auch ansteigen) mit einer beliebigen ebenen Ebene verschneiden und als Schnittkante eine Ellipse zurückerhalten. Mit anderen Worten! Ich erzeuge einen Kreis bzw ein Kreissegment berechne mir 5 Punkte auf diesem Kreis. Diese 5 Punkte werden zu 5 Geraden mit Richtungsvektor die Zyllinderachse und verschneiden sich mit meiner Ebene. Die fünf Schnittpunkte auf der Ebene ergeben, wenn die Ebene nicht orthogonal zur Zyllinderachse steht, eine Ellipse. Ich nehme an, dass ich die Ellipse auch berechnen könnte, aufgrund meiner Kreisausgangsdaten, dem Zyllinder-Richtungsvektor und der Lage der Ebene das will ich aber nicht sondern am besten über 5 Punkte.
Es wäre wirklich super wenn es einen Weg gäbe das über 5 Punkte zu berechnen und dies anhand meines Beispiels nachzuvollziehen wäre.
P1 1.0@5.0@1.0
P2 3.0@7.0@3.0
P3 5.0@5.0@1.0
P4 4.0@6.73205080756888@2.73205080756888
P5 4.5@6.32287565553229@2.3228756555323
Danke
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> > Wegen der speziellen Lage ist es also überhaupt nicht
> > nötig, den vollen Apparat mit der Ellipsenbestimmung
> > aus 5 Punkten aufzufahren
>
> Diese spezielle Lage ist auch nur als Beispiel gedacht
> gewesen, weil nach Punkten gefragt wurde. Ich habe mir in
> meiner Software (www.zirbel.eu) die entspechenden Punkte
> berechnet.
> Eigentlich möchte ich einen Zyllinder (Gaube) in
> beliebiger Lage (der Zylinder kann auch ansteigen) mit
> einer beliebigen ebenen Ebene verschneiden und als
> Schnittkante eine Ellipse zurückerhalten. Mit anderen
> Worten! Ich erzeuge einen Kreis bzw ein Kreissegment
> berechne mir 5 Punkte auf diesem Kreis. Diese 5 Punkte
> werden zu 5 Geraden mit Richtungsvektor die Zyllinderachse
> und verschneiden sich mit meiner Ebene. Die fünf
> Schnittpunkte auf der Ebene ergeben, wenn die Ebene nicht
> orthogonal zur Zyllinderachse steht, eine Ellipse. Ich
> nehme an, dass ich die Ellipse auch berechnen könnte,
> aufgrund meiner Kreisausgangsdaten, dem
> Zyllinder-Richtungsvektor und der Lage der Ebene das will
> ich aber nicht sondern am besten über 5 Punkte.
> Es wäre wirklich super wenn es einen Weg gäbe das über
> 5 Punkte zu berechnen.
Na gut, wenn du willst, kannst du dies schon haben.
Es wird aber genügen, sich mit einer Ellipse in einer
(beliebigen) Koordinatenebene zu befassen, denn jede
Parallelprojektion einer Ellipse auf eine Ebene ist ja
wieder eine Ellipse. Du kannst dich also zunächst z.B.
auf die Projektion der Ellipse auf die x-y-Ebene be-
schränken. Die zugehörigen z-Koordinaten kannst
du dann mit Hilfe der linearen Ebenengleichung
z=f(x,y) der Dachfläche berechnen.
Die allgemeine Kegelschnittgleichung lautet:
$ [mm] a\,x^2+b\,x\,y+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0 [/mm] $
Darin stecken 6 Parameter a,b,...,f . Dabei kannst du
(weil wir wissen, dass eine Ellipse herauskommen muss)
a:=1 setzen. Bleiben also 5 Unbekannte b,c,d,e,f .
Nun hast du 5 vorgegebene Punkte, also kannst du
deren x- und y-Koordinaten in die Gleichung einsetzen
und erhältst ein lineares [mm] 5\times{5} [/mm] - Gleichungssystem,
aus dem du die Parameter berechnen kannst.
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:51 Mi 30.12.2009 | | Autor: | cjb |
Hallo Al-Chw,
hat ein wenig gedauert aber Weihnachten kam mir dazwischen. Bitte meinen Gedankengang überprüfen.
Erst drehe ich meine Punkte so, dass diese parallel zur Z-Ebene liegen.
Meine Formel müsste dann lauten
$ [mm] b\,x\,y+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=-1 [/mm] $
daraus folgt
Matrize 5x5 ErsatzSpalte
x1 * y1 ; y1 * y1 ; x1 ; y1; 1 -1
x2 * y2 ; y2 * y2 ; x2 ; y2; 1 -1
x3 * y3 ; y3 * y3 ; x3 ; y3; 1 -1
x4 * y4 ; y4 * y4 ; x4 ; y4; 1 -1
x5 * y5 ; y5 * y5 ; x5 ; y5; 1 -1
Ergebnisvektor := Matrize * Ersatzspalte.
Im Ergebnisvektor habe ich jetzt die Werte für b, c, d, e und f.
Wie komme ich mit diesen Werten auf die Werte der Ellipse wie Hauptachse a, Nebenachse b und die Brennpunkte. Habe ein wenig gegoogelt aber nichts passendes gefunden.
danke
cjb
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> Hallo Al-Chw,
> Erst drehe ich meine Punkte so, dass diese parallel zur
> Z-Ebene liegen.
Dabei wollte ich dir doch klar machen, dass eigentlich
genau dies gar nicht nötig ist, wenn du am Schluss
Gleichungen für die Punkte (x/y/z) der Raumkurve
haben willst. Oder brauchst du wirklich eine Gleichung
der Kurve in einem Koordinatensystem in der Dach-
ebene ? Wenn ja, würde ich empfehlen, jene Koordi-
naten zur Unterscheidung vom x-y-z-Koordinaten-
system z.B. mit u und v zu bezeichnen.
> Meine Formel müsste dann lauten
>
> [mm]b\,x\,y+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=-1[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein. Wo ist das [mm] x^2 [/mm] geblieben ??
a=1, also
[mm] x^2+b\,x\,y+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0
[/mm]
> daraus folgt
> Matrize 5x5 ErsatzSpalte
> x1 * y1 ; y1 * y1 ; x1 ; y1; 1 -1
> x2 * y2 ; y2 * y2 ; x2 ; y2; 1 -1
> x3 * y3 ; y3 * y3 ; x3 ; y3; 1 -1
> x4 * y4 ; y4 * y4 ; x4 ; y4; 1 -1
> x5 * y5 ; y5 * y5 ; x5 ; y5; 1 -1
>
> Ergebnisvektor := Matrize * Ersatzspalte.
Es heißt nicht "Matrize", sondern Matrix. Nur der Plural
von "Matrix" und "Matrize" sehen gleich aus: "Matrizen".
> Im Ergebnisvektor habe ich jetzt die Werte für b, c, d, e
> und f.
>
> Wie komme ich mit diesen Werten auf die Werte der Ellipse
> wie Hauptachse a, Nebenachse b und die Brennpunkte. Habe
> ein wenig gegoogelt aber nichts passendes gefunden.
Ein "Rezept" dazu habe ich ![[]](/images/popup.gif) da gefunden. Beachte, dass
dort die Kegelschnittgleichung in etwas anderer Form steht,
nämlich:
$\ [mm] ax^2 [/mm] + [mm] 2\,b\,x\,y [/mm] + [mm] c\,y^2 [/mm] + [mm] 2\,d\,x [/mm] + [mm] 2\,e\,y [/mm] + f\ =\ 0$
>
> danke
> cjb
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:40 Do 31.12.2009 | | Autor: | cjb |
Hallo Al-Chw,
Ich gehe aus von folgenden Punkten die alle in einer Ebene liegen.
P1 1.0@5.0@1.0
P2 3.0@7.0@3.0
P3 5.0@5.0@1.0
P4 4.0@6.73205080756888@2.73205080756888
P5 4.5@6.32287565553229@2.3228756555323.
Ich weiß zwar nicht warum man sowohl
$ \ [mm] ax^2 [/mm] + [mm] b\,x\,y+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0 [/mm] $
als auch
$ \ [mm] ax^2 [/mm] + [mm] 2\,b\,x\,y [/mm] + [mm] c\,y^2 [/mm] + [mm] 2\,d\,x [/mm] + [mm] 2\,e\,y [/mm] + f\ =\ 0 $
benutzen kann aber benutzen wir mal die 2. Gleichung
Neuer Versuch neues Glück!
$ \ [mm] ax^2 [/mm] + [mm] 2\,b\,x\,y [/mm] + [mm] c\,y^2 [/mm] + [mm] 2\,d\,x [/mm] + [mm] 2\,e\,y [/mm] + f\ =\ 0 $
mit a = 1 ergibt sich
$ \ [mm] 2\,b\,x\,y [/mm] + [mm] c\,y^2 [/mm] + [mm] 2\,d\,x [/mm] + [mm] 2\,e\,y [/mm] + f\ =\ [mm] -x^2 [/mm] $
Matrix 5x5 ErsatzSpalte
2 * x1 * y1 ; y1 * y1 ; 2 * x1 ; 2 * y1; 1 -(x1 * x1)
2 * x2 * y2 ; y2 * y2 ; 2 * x2 ; 2 * y2; 1 -(x2 * x2)
2 * x3 * y3 ; y3 * y3 ; 2 * x3 ; 2 * y3; 1 -(x3 * x3)
2 * x4 * y4 ; y4 * y4 ; 2 * x4 ; 2 * y4; 1 -(x4 * x4)
2 * x5 * y5 ; y5 * y5 ; 2 * x5 ; 2 * y5; 1 -(x5 * x5)
Matrix
#(10.0 25.0 2.0 10.0 1)
#(42.0 49.0 6.0 14.0 1)
#(50.0 25.0 10.0 10.0 1)
#(53.856406460551 45.3205080756888 8.0 13.4641016151378 1)
#(56.9058808997907 39.9787565553229 9.0 12.6457513110646 1)
Ersatzvektor
#(-1.0)
#-(9.0)
#(-25.0)
#(-16.0)
#(-20.25)
Ergebnisvektor := Matrix * Erstatzvektor
ErgebnisVektor
#(-465.25)
#(-877.25)
#(-705.25)
#(-897.416604983954)
#(-864.29671087473)
In obige Formel eingesetzt ergibt das
$ \ [mm] x^2 [/mm] - [mm] 2\,*465.25\,x\,y [/mm] - [mm] 877.25\,y^2 [/mm] - [mm] 2\,*705.25\,x [/mm] - [mm] 2\,*897.416604983954\,y [/mm] - 864.29671087473\ =\ 0 $
aber das stimmt nicht, denn weil wenn ich meinen Punkt P1 1.0@5.0@1.0
mit x und y einsetze müßte 0 herauskommen und ich erhalte die schöne Zahl -37831.712760714268
also habe ich hoffentlich richtig gedacht aber falsch gerechnet?
das müsste jetzt doch meine Ellipsengleichung sein, wenn ich jetzt noch
z := F(x,y).
die Hessesche Normalform meiner Ebene in der die Ellipse liegt ist
-0.707106781186547 y + 0.707106781186547 z + 2.82842712474619 = 0
oder einfacher
-y + z + 4 = 0
oder
z = y - 4
benutze sollte ich meine Ellipsengleichung haben.
Wie ich allerdings von dort wieder auf meine Brennpunkte und Haupt- und Nebenlängen komme, habe ich auch nach der Lektüre des empfohlenen Links noch nicht kapiert .
Warum das Ganze!
Ich möchte ein Ellipsenobjekt erstellen mit den Brennpunkten F1 (x y z) und F2 (x y z) sowie den Haupt- und Nebenlängen, zusätzlich ist die Lage der Ellipse im Raum durch einen zur Ellipsenebene orthogonalen Normalenvektor (x y z) bestimmt. Um das alles zu errrechnen, habe ich 5 beliebige Punkte auf der Ellipse. Der Normalenvektor ist easy, am Rest arbeite ich noch wie man sieht.
Danke für die Mühe
cjb
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Hallo,
ich habe jetzt auch deine Rechnungen durchgeschaut
und den einen, aber dicken Fehler gefunden ...
> Hallo Al-Chw,
>
> Ich gehe aus von folgenden Punkten die alle in einer Ebene
> liegen.
>
> P1 1.0@5.0@1.0
> P2 3.0@7.0@3.0
> P3 5.0@5.0@1.0
> P4 4.0@6.73205080756888@2.73205080756888
> P5 4.5@6.32287565553229@2.3228756555323.
(der Grundriss dieser Ellipse in der x-y-Ebene ist sogar ein Kreis)
(und: wozu so viele Dezimalstellen ?)
> Ich weiß zwar nicht warum man sowohl
> [mm]\ ax^2 + b\,x\,y+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0[/mm]
> als auch
> [mm]\ ax^2 + 2\,b\,x\,y + c\,y^2 + 2\,d\,x + 2\,e\,y + f\ =\ 0[/mm]
>
> benutzen kann
Das ist nur eine Frage der Definition. Die zweite ist die
gängigere und hat gewisse Vorteile.
> aber benutzen wir mal die 2. Gleichung
>
> Neuer Versuch neues Glück!
>
> [mm]\ ax^2 + 2\,b\,x\,y + c\,y^2 + 2\,d\,x + 2\,e\,y + f\ =\ 0[/mm]
(jetzt kümmerst du dich also doch nur um den Grundriss ...)
> mit a = 1 ergibt sich
>
> [mm]\ 2\,b\,x\,y + c\,y^2 + 2\,d\,x + 2\,e\,y + f\ =\ -x^2[/mm]
>
> Matrix 5x5 ErsatzSpalte
> 2 * x1 * y1 ; y1 * y1 ; 2 * x1 ; 2 * y1; 1
> -(x1 * x1)
> 2 * x2 * y2 ; y2 * y2 ; 2 * x2 ; 2 * y2; 1
> -(x2 * x2)
> 2 * x3 * y3 ; y3 * y3 ; 2 * x3 ; 2 * y3; 1
> -(x3 * x3)
> 2 * x4 * y4 ; y4 * y4 ; 2 * x4 ; 2 * y4; 1
> -(x4 * x4)
> 2 * x5 * y5 ; y5 * y5 ; 2 * x5 ; 2 * y5; 1
> -(x5 * x5)
>
> Matrix
> #(10.0 25.0 2.0 10.0 1)
> #(42.0 49.0 6.0 14.0 1)
> #(50.0 25.0 10.0 10.0 1)
> #(53.856406460551 45.3205080756888 8.0 13.4641016151378
> 1)
> #(56.9058808997907 39.9787565553229 9.0 12.6457513110646
> 1)
>
> Ersatzvektor
> #(-1.0)
> #-(9.0)
> #(-25.0)
> #(-16.0)
> #(-20.25)
soweit alles in Ordnung !
> Ergebnisvektor := Matrix * Ersatzvektor
das ist verkehrt !
du solltest den Ergebnisvektor suchen, für welchen
Matrix *Ergebnisvektor=Ersatzvektor ist, bzw.
Ergebnisvektor := InverseMatrix * Ersatzvektor
> ErgebnisVektor
> #(-465.25)
> #(-877.25)
> #(-705.25)
> #(-897.416604983954)
> #(-864.29671087473)
>
> In obige Formel eingesetzt ergibt das
>
> [mm]\ x^2 - 2\,*465.25\,x\,y - 877.25\,y^2 - 2\,*705.25\,x - 2\,*897.416604983954\,y - 864.29671087473\ =\ 0[/mm]
Richtig gerechnet (mit der inversen Matrix multipliziert)
ergibt sich die Gleichung
[mm] $x^2+y^2-6\,x-10\,y+30=0$
[/mm]
was den Kreis in der x-y-Ebene mit M(3/5) und r=2 ergibt.
>
> aber das stimmt nicht, denn weil wenn ich meinen Punkt P1
> 1.0@5.0@1.0
> mit x und y einsetze müßte 0 herauskommen und ich erhalte
> die schöne Zahl -37831.712760714268
>
> also habe ich hoffentlich richtig gedacht aber falsch
> gerechnet?
>
> das müsste jetzt doch meine Ellipsengleichung sein, wenn
> ich jetzt noch
>
> z := F(x,y).
> die Hessesche Normalform meiner Ebene in der die Ellipse
> liegt ist
>
> -0.707106781186547 y + 0.707106781186547 z +
> 2.82842712474619 = 0
> oder einfacher
>
> -y + z + 4 = 0
> oder
> z = y - 4
>
> benutze sollte ich meine Ellipsengleichung haben.
>
> Wie ich allerdings von dort wieder auf meine Brennpunkte
> und Haupt- und Nebenlängen komme, habe ich auch nach der
> Lektüre des empfohlenen Links noch nicht kapiert .
>
> Warum das Ganze!
> Ich möchte ein Ellipsenobjekt erstellen mit den
> Brennpunkten F1 (x y z) und F2 (x y z) sowie den Haupt-
> und Nebenlängen, zusätzlich ist die Lage der Ellipse im
> Raum durch einen zur Ellipsenebene orthogonalen
> Normalenvektor (x y z) bestimmt.
Aha !
An diese Möglichkeit habe ich allerdings nicht gedacht. Du
willst also die Daten von 5 fixfertigen Kurvenpunkten so
aufbereiten, dass du sie einem Programm füttern kannst,
das als Input die Brennpunkte, die Halbachsen und einen
Normalenvektor verlangt und daraus dann, indem es quasi
die ganze Rechnerei wieder rückgängig macht, viele
x-y-z-Koordinaten für weitere Ellipsenpunkte berechnet
und Ansichten der Ellipse zeichnet ...
> Um das alles zu
> errrechnen, habe ich 5 beliebige Punkte auf der Ellipse.
> Der Normalenvektor ist easy, am Rest arbeite ich noch wie
> man sieht.
>
> Danke für die Mühe
> cjb
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Do 31.12.2009 | | Autor: | cjb |
Hallo Al-Chw,
> ich habe jetzt auch deine Rechnungen durchgeschaut
> und den einen, aber dicken Fehler gefunden ...
Danke, das man eine Matrix invertieren muß um Sie auf die andere Seite der Gleichung zu bringen war mir entfallen aber ist jetzt wieder aufgefrischt.
> (der Grundriss dieser Ellipse in der x-y-Ebene ist sogar ein Kreis)
das liegt daran, weil mein Kreis in der xz-Ebene auf eine 45° Ebene projeziert wurde, und diese in der x-y-Ebene wieder den gleichen Kreis ergibt.
>(und: wozu so viele Dezimalstellen ?)
So rechnet mein Smalltalk (Programmiersprache) nunmal
$ \ [mm] ax^2 [/mm] + [mm] 2\,b\,x\,y [/mm] + [mm] c\,y^2 [/mm] + [mm] 2\,d\,x [/mm] + [mm] 2\,e\,y [/mm] + f\ =\ 0 $
> (jetzt kümmerst du dich also doch nur um den Grundriss ...)
das wollte ich eigentlich nicht, war aber eine Empfehlung von Dir und solange man keine Ahnunghat sollte man denen folgen.
Könnte es sein, dass mit obiger Gleichung und einer Ebenengleichung (die der Ellipse)
Allgemeine Ebenengleichung
$ r * x + s * y + t * z - k = 0 $
mit a = 1
ich folgende Gleichung bekomme
$ \ [mm] 2\,b\,x\,y [/mm] + [mm] c\,y^2 [/mm] + [mm] 2\,d\,x [/mm] + [mm] 2\,e\,y [/mm] + f\ = r * x + s * y + t * z - k- [mm] x^2 [/mm] $
aber bringt mir das etwas, ich glaube nicht.
gibt es nicht eine Gleichung welche auch die z - Koordinate mit berücksichtigt oder bleibt nur der Weg über
z := F(x,y).
um die entsprechende Ellipsenpunkte zu erhalten
dann hätte ich den Mittelpunkt meiner Ellipse aber!
Wie ich allerdings von dort wieder auf meine Brennpunkte
und Haupt- und Nebenlängen komme??.
> Aha !
> An diese Möglichkeit habe ich allerdings nicht gedacht. Du
> willst also die Daten von 5 fixfertigen Kurvenpunkten so
> aufbereiten, dass du sie einem Programm füttern kannst,
> das als Input die Brennpunkte, die Halbachsen und einen
> Normalenvektor verlangt und daraus dann, indem es quasi
> die ganze Rechnerei wieder rückgängig macht, viele
> x-y-z-Koordinaten für weitere Ellipsenpunkte berechnet
> und Ansichten der Ellipse zeichnet ...
In objektorientierte Sprache heißt das übersetzt. Ich haben einen Konstruktor mit 5 Punkten der ein beliebiges im Raum xyz liegendes Ellipsenobjekt erzeugt mit den Instanzvariablen f1, f2, a, b und ebenenNormaleXyz.
Danke für die Mühe
cjb
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> Hallo Al-Chw,
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> > ich habe jetzt auch deine Rechnungen durchgeschaut
> > und den einen, aber dicken Fehler gefunden ...
> Danke, das man eine Matrix invertieren muß um Sie auf die
> andere Seite der Gleichung zu bringen war mir entfallen
> aber ist jetzt wieder aufgefrischt.
>
> > (der Grundriss dieser Ellipse in der x-y-Ebene ist sogar
> ein Kreis)
> das liegt daran, weil mein Kreis in der xz-Ebene auf eine
> 45° Ebene projeziert wurde, und diese in der x-y-Ebene
> wieder den gleichen Kreis ergibt.
>
> >(und: wozu so viele Dezimalstellen ?)
> So rechnet mein Smalltalk (Programmiersprache) nunmal
>
> [mm]\ ax^2 + 2\,b\,x\,y + c\,y^2 + 2\,d\,x + 2\,e\,y + f\ =\ 0[/mm]
>
> > (jetzt kümmerst du dich also doch nur um den Grundriss
> ...)
> das wollte ich eigentlich nicht, war aber eine Empfehlung
> von Dir und solange man keine Ahnunghat sollte man denen
> folgen.
>
> Könnte es sein, dass mit obiger Gleichung und einer
> Ebenengleichung (die der Ellipse)
> Allgemeine Ebenengleichung
> [mm]r * x + s * y + t * z - k = 0[/mm]
> mit a = 1
>
> ich folgende Gleichung bekomme
>
> [mm]\ 2\,b\,x\,y + c\,y^2 + 2\,d\,x + 2\,e\,y + f\ = r * x + s * y + t * z - k- x^2[/mm]
>
> aber bringt mir das etwas, ich glaube nicht.
>
> gibt es nicht eine Gleichung welche auch die z - Koordinate
> mit berücksichtigt oder bleibt nur der Weg über
>
> z := F(x,y).
>
> um die entsprechende Ellipsenpunkte zu erhalten
>
> dann hätte ich den Mittelpunkt meiner Ellipse aber!
>
> Wie ich allerdings von dort wieder auf meine Brennpunkte
> und Haupt- und Nebenlängen komme??.
>
>
> > Aha !
> > An diese Möglichkeit habe ich allerdings nicht gedacht.
> Du
> > willst also die Daten von 5 fixfertigen Kurvenpunkten
> so
> > aufbereiten, dass du sie einem Programm füttern
> kannst,
> > das als Input die Brennpunkte, die Halbachsen und einen
> > Normalenvektor verlangt und daraus dann, indem es quasi
> > die ganze Rechnerei wieder rückgängig macht, viele
> > x-y-z-Koordinaten für weitere Ellipsenpunkte berechnet
> > und Ansichten der Ellipse zeichnet ...
>
> In objektorientierte Sprache heißt das übersetzt. Ich
> haben einen Konstruktor mit 5 Punkten der ein beliebiges im
> Raum xyz liegendes Ellipsenobjekt erzeugt mit den
> Instanzvariablen f1, f2, a, b und ebenenNormaleXyz.
Ich finde das Ganze nur irgendwie ziemlich vertrackt.
Weshalb sollst du, da du ja offenbar leicht beliebige
einzelne Punkte der Ellipse berechnen kannst, den
Weg über die Routine mit der "objektorientierten"
Ellipse nehmen, die dann quasi alles wieder zurück-
rechnen muss ?
Um uns bei dieser Aufgabe von allem Schrott zu
befreien, könntest du die neue Frage stellen:
"Wie bestimmt man die Brennpunkte und die
Halbachsen a,b einer Ellipse in der u-v-Ebene,
wenn man die Koordinaten [mm] (u_i/v_i) [/mm] von fünf
Ellipsenpunkten kennt ?"
(dann müsstest du vorgängig die x-y-z-Koordinaten
deiner 5 Punkte in u-v-Koordinaten umrechnen
und nachher die Koordinaten der Brennpunkte
wieder zurück ins x-y-z-System)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Do 31.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo cjb!
Bitte nicht einfach unkommentiert eine beantwortete Frage wieder auf "unbeantwortet" stellen.
Wenn noch etwas unklar sein sollte, stelle bitte konkrete (Rück-)Fragen.
Gruß
Loddar
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich versuche gerade aus 4 Punkten x,y,z die alle in einer
> Ebene liegen eine Ellipse zu erstellen. Geht das
> überhaupt?
>
> Ich erzeuge aus 3 Punkten eine Ebene und habe so den
> Normalenvektor meiner Ellipse. Aber dann sieht es schwarz
> aus. Da weder die Hauptlage bekannt ist, noch meine Ellipse
> im Ursprung liegt nützt mir
> [mm]\bruch{x^{2}}{a^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{y^{2}}{b^{2}}[/mm] = 1 nichts.
> Ich könnte mir noch vorstellen, dass durch die Richtung
> (Neigung) des Normalenvektors die Haupt- oder Nebenlage
> bestimmbar wäre.
> Wie geht man vor ?
Zuerst kann man mal durch Koordinatentransformation
das Problem aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] befördern. Um da eine
Kegelschnittkurve (ob Ellipse, Hyperbel oder ev. Spezialfall
Kreis oder Parabel) festzulegen, braucht man eigentlich die
Koordinaten von 5 Punkten, falls nicht z.B. noch gesagt ist,
dass es ein Kreis sein soll. Für einen Kreis würden natürlich
schon 3 Punkte genügen.
Ist jedoch z.B. die Richtung einer Hauptachse des Kegel-
schnitts noch vorgegeben, so genügen wohl 4 Punkte (wobei
man aber dann auch nicht die Wahl hat, ob z.B. eine
Ellipse oder eine Hyperbel herauskommen soll).
LG
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