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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Sa 02.01.2010 | | Autor: | cjb |
| Aufgabe | Wie bestimmt man die Brennpunkte und die
Halbachsen a,b einer Ellipse in der u-v-Ebene,
wenn man die Koordinaten $ [mm] (u_i/v_i) [/mm] $ von fünf
Ellipsenpunkten kennt ? |
Wie geht das?
Konkretisierung
Ich gehe aus von folgenden Punkten die alle in einer Ebene im Raum liegen.
P1 1.0@5.0@1.0
P2 3.0@7.0@3.0
P3 5.0@5.0@1.0
P4 4.0@6.73205080756888@2.73205080756888
P5 4.5@6.32287565553229@2.3228756555323.
Drehe diese parallel zur x-y-ebene und erhalte
P1 1.0@4.24264068711929
P2 3.0@7.07106781186548
P3 5.0@4.24264068711929
P4 4.0@6.69213042990246
P5 4.5@6.11346938050626
$ \ [mm] ax^2 [/mm] + [mm] 2\,b\,x\,y [/mm] + [mm] c\,y^2 [/mm] + [mm] 2\,d\,x [/mm] + [mm] 2\,e\,y [/mm] + f\ =\ 0 $
mit a = 1 ergibt sich
$ \ [mm] 2\,b\,x\,y [/mm] + [mm] c\,y^2 [/mm] + [mm] 2\,d\,x [/mm] + [mm] 2\,e\,y [/mm] + f\ =\ [mm] -x^2 [/mm] $
Matrix 5x5 ErsatzSpalte
2 * x1 * y1 ; y1 * y1 ; 2 * x1 ; 2 * y1; 1 -(x1 * x1)
2 * x2 * y2 ; y2 * y2 ; 2 * x2 ; 2 * y2; 1 -(x2 * x2)
2 * x3 * y3 ; y3 * y3 ; 2 * x3 ; 2 * y3; 1 -(x3 * x3)
2 * x4 * y4 ; y4 * y4 ; 2 * x4 ; 2 * y4; 1 -(x4 * x4)
2 * x5 * y5 ; y5 * y5 ; 2 * x5 ; 2 * y5; 1 -(x5 * x5)
Matrix
#(8.48528137423857 18.0 2.0 8.48528137423857 1)
#(42.4264068711929 50.0 6.0 14.142135623731 1)
#(42.4264068711929 18.0 10.0 8.48528137423857 1)
#(53.5370434392197 44.7846096908265 8.0 13.3842608598049 1)
#(55.0212244245563 37.3745078663875 9.0 12.2269387610125 1)
Ersatzvektor
#(-1.0)
#-(9.0)
#(-25.0)
#(-16.0)
#(-20.25)
Ergebnisvektor := Matrix invers * Ersatzvektor
ErgebnisVektor
#(0)
#(0.5)
#(-3.0)
#(-2.1213203435596)
#(14)
In obige Formel eingesetzt ergibt das
$ \ [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\,y^2 [/mm] - [mm] 6\,x [/mm] - [mm] 4.242640687119\,y [/mm] + 14\ =\ 0 $
Test mit P1 in der x-y-Ebene funktioniert = 0
das müsste jetzt doch meine Ellipsengleichung sein.
Mit welcher Formel komme ich von dieser Gleichung auf meine Brennpunkte bzw. auf die Haupt und Nebenlänge ?
Sobald die Brennpunkte und die Haupt und Nebenlänge berechnet sind, drehe ich die Brennpunkte wieder zurück in die ursprüngliche Ebene.
Danke für die Mühe
cjb
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> Wie bestimmt man die Brennpunkte und die
> Halbachsen a,b einer Ellipse in der u-v-Ebene,
> wenn man die Koordinaten [mm](u_i/v_i)[/mm] von fünf
> Ellipsenpunkten kennt ?
> Wie geht das?
>
> Konkretisierung
>
> Ich gehe aus von folgenden Punkten die alle in einer Ebene
> im Raum liegen.
> P1 1.0@5.0@1.0
> P2 3.0@7.0@3.0
> P3 5.0@5.0@1.0
> P4 4.0@6.73205080756888@2.73205080756888
> P5 4.5@6.32287565553229@2.3228756555323.
>
> Drehe diese parallel zur x-y-ebene und erhalte
> P1 1.0@4.24264068711929
> P2 3.0@7.07106781186548
> P3 5.0@4.24264068711929
> P4 4.0@6.69213042990246
> P5 4.5@6.11346938050626
>
> [mm]\ ax^2 + 2\,b\,x\,y + c\,y^2 + 2\,d\,x + 2\,e\,y + f\ =\ 0[/mm]
>
> mit a = 1 ergibt sich
>
> [mm]\ 2\,b\,x\,y + c\,y^2 + 2\,d\,x + 2\,e\,y + f\ =\ -x^2[/mm]
>
> Matrix 5x5 ErsatzSpalte
> 2 * x1 * y1 ; y1 * y1 ; 2 * x1 ; 2 * y1; 1 -(x1
> * x1)
> 2 * x2 * y2 ; y2 * y2 ; 2 * x2 ; 2 * y2; 1 -(x2
> * x2)
> 2 * x3 * y3 ; y3 * y3 ; 2 * x3 ; 2 * y3; 1 -(x3
> * x3)
> 2 * x4 * y4 ; y4 * y4 ; 2 * x4 ; 2 * y4; 1 -(x4
> * x4)
> 2 * x5 * y5 ; y5 * y5 ; 2 * x5 ; 2 * y5; 1 -(x5
> * x5)
>
> Matrix
> #(8.48528137423857 18.0 2.0 8.48528137423857 1)
> #(42.4264068711929 50.0 6.0 14.142135623731 1)
> #(42.4264068711929 18.0 10.0 8.48528137423857 1)
> #(53.5370434392197 44.7846096908265 8.0 13.3842608598049
> 1)
> #(55.0212244245563 37.3745078663875 9.0 12.2269387610125
> 1)
>
> Ersatzvektor
> #(-1.0)
> #-(9.0)
> #(-25.0)
> #(-16.0)
> #(-20.25)
>
> Ergebnisvektor := Matrix invers * Ersatzvektor
> ErgebnisVektor
> #(0)
> #(0.5)
> #(-3.0)
> #(-2.1213203435596)
> #(14)
>
> In obige Formel eingesetzt ergibt das
>
> [mm]\ x^2 + \bruch{1}{2}\,y^2 - 6\,x - 4.242640687119\,y + 14\ =\ 0[/mm]
>
> Test mit P1 in der x-y-Ebene funktioniert = 0
>
> das müsste jetzt doch meine Ellipsengleichung sein.
>
>
> Mit welcher Formel komme ich von dieser Gleichung auf meine
> Brennpunkte bzw. auf die Haupt und Nebenlänge ?
>
> Sobald die Brennpunkte und die Haupt und Nebenlänge
> berechnet sind, drehe ich die Brennpunkte wieder zurück in
> die ursprüngliche Ebene.
>
> Danke für die Mühe
> cjb
Hallo cjb,
gehen wir also von der Gleichung
$\ [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\,y^2 [/mm] - [mm] 6\,x [/mm] - [mm] 4.2426\,y [/mm] + 14\ =\ 0$
aus. Hier ist nun zuerst quadratische Ergänzung bei den
Termen mit x und bei denen mit y angesagt:
$\ [mm] \left(x^2- 6\,x\red{\,+\,9}\right) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\,\left(y^2- 8.4852\,y\red{\,+\,18.000}\right) [/mm] + 14\ =\ [mm] 0\blue{\,+\,9\,+\,9}$
[/mm]
(rechts zum Ausgleich gleich viel addiert)
$\ [mm] \left(x-3\right)^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\,\left(y- 4.2426\right)^2\ [/mm] =\ 4$
Jetzt durch 4 dividieren, um rechts eine 1 zu erzeugen:
$\ [mm] \frac{\left(x-3\right)^2}{4} [/mm] + [mm] \bruch{\left(y- 4.2426\right)^2}{8}\,\ [/mm] =\ 1$
Vergleich mit der Formel:
$\ [mm] \frac{\left(x-x_M\right)^2}{b^2} [/mm] + [mm] \bruch{\left(y- y_M\right)^2}{a^2}\,\ [/mm] =\ 1$
(a soll die größere Halbachse sein; sie ist in diesem
Fall parallel zur y-Achse !)
Diese Ellipse hat also den Mittelpunkt M(3/4.243) und
die Halbachsen [mm] a=\sqrt{8}\approx [/mm] 2.828 und b=2. Die Brennpunkte
liegen auf der Geraden $x=3$ jeweils um [mm] e=\sqrt{a^2-b^2}=2 [/mm]
oberhalb bzw. unterhalb von M, also:
$\ [mm] F_1(3/6.243)\qquad F_2(3/2.243)$
[/mm]
Da die Ellipse hier etwas speziell liegt, war die Rechnung
recht einfach. Im allgemeinen Fall (gedrehte Ellipse)
bräuchte man eine weitere Koordinatentransformation.
Nachbemerkung:
Ich frage mich im Nachhinein, ob für deine Zwecke die
Darstellung des Objektes "Ellipse im Raum" mit Hilfe der
Brennpunkte tatsächlich so geschickt ist. Eigentlich würde
es genügen, den Mittelpunkt M und die Vektoren [mm] \overrightarrow{MS_1} [/mm] und
[mm] \overrightarrow{MS_3} [/mm] von M zu einem Hauptscheitel [mm] S_1 [/mm] und zu einem Neben-
scheitel [mm] S_3 [/mm] anzugeben. Alternativ kämen auch zwei
konjugierte Radiusvektoren in Frage.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:47 Fr 05.03.2010 | | Autor: | schanir |
Guten Tag,
meine Frage ist, wie kann ich aus 5 Punkten in der x-y Ebene die Entsprechende Ellipse berechen. Alle 5 Punkte liegen auf der Ellipse. Die Hauptachsen der Ellipse liegen nicht parallel zu den Achsen des Koordinatensystem.
Ich benötige die Länge und Lage ( Winkel) der Hauptachsen (a & b).
Vielen Dank im voraus!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Sa 13.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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