Ellipse und Kreis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 So 30.03.2014 | | Autor: | rekees |
| Aufgabe | Es sei E die achsenparallele Ellipse, gegeben durch
[mm] \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} [/mm] = 1 .
Hierin seien [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] zwei konjugierte Durchmesser. Der Winkel zwischen [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] werde
mit [mm] \phi [/mm] bezeichnet, die Längen der Durchmesser mit [mm] l_1 [/mm] und [mm] l_2.
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] l_1 *l_2 [/mm] sin [mm] \phi [/mm] = 4ab . |
Die Ellipse lässt sich durch eine affine Transformation in einen Kreis umwandeln. Das heißt die Flächeninhalte etc bleiben gleich.
Was also bedeutet, dass die Verhältnisse der Flächeninhalte irgendwie miteinander in Bezug stehen müssen. Also [mm] \pi r^2 [/mm] mit der Ellipse = [mm] \pi [/mm] ab
[mm] l_1 [/mm] * [mm] l_2 sin\phi [/mm] ist der Flächeninhalt eines Parallelogrammes und könnte durch die affine Transformation die Ellipse umschließen, was bedeutet dass der Kreis durch ein Quadrat umschlossen wird.
ich habe eine Idee, kann aber den ersten Schritt nicht begründen.
Folgendermaßen gehe ich dabei vor:
[mm] \frac{F(Quadrat)}{F(Kreis)} [/mm] = [mm] \frac{4r^2}{\pi r^2}= \frac{4}{\pi}
[/mm]
Durch die affine Transformation kann ich ja dann sagen: [mm] \frac{F(Parallelogramm)}{F(Ellipse)}=\frac{4}{\pi}
[/mm]
[mm] \gdw \frac{l_1 * l_2 sin \phi}{\pi ab}=\frac{4}{\pi} \gdw l_1 *l_2 [/mm] sin [mm] \phi [/mm] = 4ab
So weit so gut, nur komme ich gerade nicht darauf wie ich begründe, dass ich [mm] \frac{F(Quadrat)}{F(Kreis)} [/mm] = [mm] \frac{4r^2}{\pi r^2} [/mm] aufstelle bzw verwenden darf.
Kann mir jemand den eintscheidenden Schubs geben?
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> Es sei E die achsenparallele Ellipse, gegeben durch
> [mm]\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}[/mm] = 1 .
> Hierin seien [mm]d_1[/mm] und [mm]d_2[/mm] zwei konjugierte Durchmesser. Der
> Winkel zwischen [mm]d_1[/mm] und [mm]d_2[/mm] werde
> mit [mm]\phi[/mm] bezeichnet, die Längen der Durchmesser mit [mm]l_1[/mm]
> und [mm]l_2.[/mm]
> Zeigen Sie:
> [mm]l_1 *l_2[/mm] sin [mm]\phi[/mm] = 4ab .
> Die Ellipse lässt sich durch eine affine Transformation
> in einen Kreis umwandeln. Das heißt die Flächeninhalte
> etc bleiben gleich. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein - die Transformation muss nicht flächenerhaltend sein.
Drücke klar aus, was du meinst !
> Was also bedeutet, dass die Verhältnisse der
> Flächeninhalte irgendwie miteinander in Bezug stehen
> müssen. Also [mm]\pi r^2[/mm] mit der Ellipse = [mm]\pi[/mm] ab
>
> [mm]l_1[/mm] * [mm]l_2 sin\phi[/mm] ist der Flächeninhalt eines
> Parallelogrammes und könnte durch die affine
> Transformation die Ellipse umschließen, was bedeutet dass
> der Kreis durch ein Quadrat umschlossen wird.
>
> ich habe eine Idee, kann aber den ersten Schritt nicht
> begründen.
> Folgendermaßen gehe ich dabei vor:
>
> [mm]\frac{F(Quadrat)}{F(Kreis)}[/mm] = [mm]\frac{4r^2}{\pi r^2}= \frac{4}{\pi}[/mm]
>
> Durch die affine Transformation kann ich ja dann sagen:
> [mm]\frac{F(Parallelogramm)}{F(Ellipse)}=\frac{4}{\pi}[/mm]
> [mm]\gdw \frac{l_1 * l_2 sin \phi}{\pi ab}=\frac{4}{\pi} \gdw l_1 *l_2[/mm]
> sin [mm]\phi[/mm] = 4ab
>
> So weit so gut, nur komme ich gerade nicht darauf wie ich
> begründe, dass ich [mm]\frac{F(Quadrat)}{F(Kreis)}[/mm] =
> [mm]\frac{4r^2}{\pi r^2}[/mm] aufstelle bzw verwenden darf.
Nun, Letzteres ist doch so ziemlich trivial, wenn wir einen
Kreis und ein ihm umbeschriebenes Quadrat haben.
> Kann mir jemand den entscheidenden Schubs geben?
Ich denke, dass du grundsätzlich genau auf dem richtigen
Weg bist. So kommt man auch zum einfachsten möglichen
Beweis. Grundidee: bei der fraglichen affinen Abbildung
bleiben Flächenverhältnisse erhalten.
Wichtig ist dann nur, sich (und dem geneigten Leser) klar
zu machen, dass das der Ellipse umbeschriebene Parallelo-
gramm mit Seiten, welche parallel zu den beiden konju-
gierten Durchmessern sind, bei einer geeigneten affinen
Abbildung wirklich zu einem dem zur Ellipse affinen Kreis
umschriebenen Quadrat wird. Dahinter steckt aber gerade
eine wichtige Eigenschaft konjugierter Durchmesser: Die
Ellipsentangenten in den beiden Endpunkten eines
Durchmessers verlaufen parallel zum dazu konjugierten
Durchmesser. Ob du dies noch zeigen müsstest oder
darauf zurückgreifen kannst, weiß ich natürlich nicht.
LG , Al-Chwarizmi
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