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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:35 So 09.12.2012 | | Autor: | vank |
| Aufgabe | | Gegeben sei ein Zufallsvektor Y=Ax+b, elliptisch verteilt (A Matrix 2x2). X sei stetig in R(2) verteilt. Dichte: [mm] f(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] g(\wurzel{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}}). [/mm] |
Wenn ich den Erwartungswertvektor E(Y) sowie Kovarianzmatrix cov(Y) bestimmen möchte, dann müsste es ja E(Y) = [mm] \mu= [/mm] b sowie cov(Y) = [mm] AA^T=sigma. [/mm]
Stimmt es?
Randverteilungen von Y sind:
[mm] Y_{1}=E_{p}(b_{1}, sigma_{11},g)
[/mm]
[mm] Y_{2}=E_{p}(b_{2}, sigma_{22},g)
[/mm]
Oder?
Ich will aber auch die Iso-Kurven der Dichte von Y für eine gegebene Matrix A [mm] \vmat{ 1 & 1 \\ 0 & 2} [/mm] sowie den Vektor b [mm] \vektor{-1 \\ -2} [/mm] zeichnen. Wie mache ich das? Ich weiß, dass die Mitte bei (-1, -2) liegt. Ich kann die Eigenwerte berechnen. Aber was mache ich damit? Wie verwende ich das zur Erstellung einer Ellipsoide?
Danke und Gruß,
vank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Fr 21.12.2012 | | Autor: | vank |
Auch in diesem Fall bin ich weiterhin an einer Antwort interessiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 So 23.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Gegeben sei ein Zufallsvektor Y=Ax+b, elliptisch verteilt
> (A Matrix 2x2). X sei stetig in R(2) verteilt. Dichte:
> [mm]f(x_{1}, x_{2})[/mm] = [mm]g(\wurzel{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}}).[/mm]
> Wenn
> ich den Erwartungswertvektor E(Y) sowie Kovarianzmatrix
> cov(Y) bestimmen möchte, dann müsste es ja E(Y) = [mm]\mu=[/mm] b
> sowie cov(Y) = [mm]AA^T=sigma.[/mm]
>
> Stimmt es?
Kann sein. Oder auch nicht. Die Dichte ist m. E. zu allgemein gefasst, als dass man hier eine Aussage treffen koennte. In jedem Fall ist
[mm] $\operatorname{Cov}(y)=A\operatorname{Cov}(x)A^T$
[/mm]
>
> Randverteilungen von Y sind:
> [mm]Y_{1}=E_{p}(b_{1}, sigma_{11},g)[/mm]
> [mm]Y_{2}=E_{p}(b_{2}, sigma_{22},g)[/mm]
>
> Oder?
>
Was ist $p$? Was ist das fuer eine Symbolik? Erwartungswerte? Wenn ja, dann sind es keine Verteilungen.
Ich moechte dich bitten, auch im Hiblick auf deine andere Frage zu elliptischen Verteilungen hier im Forum, kuenftig bei der Formulierung der Aufgabenstellungen etwas mehr Sorgfalt walten zu lassen.
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:50 So 23.12.2012 | | Autor: | vank |
| Aufgabe | X = [mm] (X_{1}, X_{2}) [/mm] sei stetig in [mm] \IR^2 [/mm] verteilt. Die Dichte: [mm] f(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] g(\wurzel{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}}) [/mm] ist ausschließlich abhängig von der Länge des Vektors [mm] x=(x_{1}, x_{2}), [/mm] mit einer stetigen Funktion g.
Ein Zufallsvektor heißt elliptisch verteilt in [mm] \IR^2, [/mm] wenn Y=AX +b, wobei A eine (2x2) Matrix ist und [mm] b\in \IR^2.
[/mm]
Das ist die vollständige Aufgabenstellung.
1. Ich muss Cov(Y), E(Y) sowie Randverteilungen von Y bestimmen.
2. Die Isolinien der Dichte von Y für eine gegebene Matrix A und einen gegebenen Vektor zeichnen. |
Hallo Luis,
erstmal vielen Dank für Deine Antwort! Ich habe gerade die vollständige Aufgabenstellung eingegeben.
> Gegeben sei ein Zufallsvektor Y=Ax+b, elliptisch verteilt
> (A Matrix 2x2). X sei stetig in R(2) verteilt. Dichte:
> $ [mm] f(x_{1}, x_{2}) [/mm] $ = $ [mm] g(\wurzel{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}}). [/mm] $
> Wenn
> ich den Erwartungswertvektor E(Y) sowie Kovarianzmatrix
> cov(Y) bestimmen möchte, dann müsste es ja E(Y) = $ [mm] \mu= [/mm] $ b
> sowie cov(Y) = $ [mm] AA^T=sigma. [/mm] $
>
> Stimmt es?
Kann sein. Oder auch nicht. Die Dichte ist m. E. zu allgemein gefasst, als dass man hier eine Aussage treffen koennte. In jedem Fall ist
$ [mm] \operatorname{Cov}(y)=A\operatorname{Cov}(x)A^T [/mm] $
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Hmm... Wir haben [mm] A\R^{2x2}, A'A=\summe [/mm] und [mm] rang(\summe)=k=2. [/mm] Ich habe einen folgenden mathematischen Satz vor mir:
"Sei Y [mm] \sim E_{n}(\mu, \summe, [/mm] g), [mm] E(R^2) [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] rang(\summe)=k. [/mm] Dann gilt: E(Y) = [mm] \mu [/mm] und Cov(Y) = [mm] E(R^2)/k*\summe [/mm] = [mm] -2g'(0)*\summe. [/mm]
Dann steht hier weiter: Im Falle einer multivariaten Normalverteilung besitzt die Zufallsvariable Y den charakteristischen Generator g(u)=exp(-u/2). Wegen g'(0) = -1/2 ergibt sich einfach: Cov(Y) = [mm] \summe. [/mm]
Die Darstellung einer elliptischen Verteilung ist somit keineswegs eindeutig, solange man nicht [mm] |\summe| [/mm] = 1 fordert. Nützlich ist, dass bei der Wahl von c:= [mm] rang(\summe)/E(R^2) [/mm] die Beziehung [mm] Cov(Y)=\summe [/mm] sicher gestellt werden kann.
Ich frage mich gerade, ob in meiner Aufgabe Cov(Y) nicht 0 sein sollte? Oder doch [mm] \summe [/mm] ? Erwartungswertvektor = b, oder?
>
> Randverteilungen von Y sind:
> $ [mm] Y_{1} \sim E_{p}(b_{1}, \summe_{11},g) [/mm] $
> $ [mm] Y_{2} \sim E_{q}(b_{2}, \summe_{22},g) [/mm] $
>
> Oder?
>
Was ist $ p $? Was ist das fuer eine Symbolik? Erwartungswerte? Wenn ja, dann sind es keine Verteilungen.
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Nein, nein [mm] E_{p} [/mm] und [mm] E_{q} [/mm] bedeutet eine elliptische Verteilung, wobei p+q=n, also müsste bei mir p=1 und q=1 sein, oder?
Sämtliche Randverteilungen elliptischer Zufallsvariablen haben ja wieder eine elliptische Verteilung.
Und zu der Zeichnung der Isolinien. Der gegebene Vektor b wäre der Mittelpunkt der Isolinien. Dann müsste ich noch [mm] \summe^{-1} [/mm] (eine Inverse der [mm] \summe [/mm] Matrix) bestimmen und anhand den Eigenwerten und Eigenvektoren der Matrix eine Ellipse zeichnen. Oder? Mich verwirrt allerdings diese Dichtefunktion [mm] f(x_{1}, x_{2}) [/mm] etwas...
Danke und Gruß,
vank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 27.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Do 27.12.2012 | | Autor: | vank |
Gibt es hier wirklich keinen, der mir mit dieser Aufgabe helfen könnte?
Grüße,
vank
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