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| Aufgabe | | Bestimmen Sie für die Funktion f(x,y) = [mm] x^{2}*e^{y} [/mm] die elliptischen, hyperbolischen und parabolischen Punkte. Wo liegen die lokalen und globalen Extrema? |
Hallo,
zu Teil eins habe ich zu erst die partiellen Ableitungen berechnet und die Hesse-Matrix aufgestellt. Ich habe als Hesse-Matrix [mm] \pmat{ 2e^{y} & 2x*e^{y}*ln(e) \\ 2x*e^{y}*ln(e) & x^{2}*e^{y}*ln(e)^{2} } [/mm] heraus bekommen. Doch wie soll ich nun weiter verfahren? Ich hatte mir gedacht ich setze einfach ein paar Werte ein und bestimme dann die Eigenwerte um die Definitheit zu bestimmen.
An der Stelle (0,0) habe ich dann als Eigenwert (0,2) heraus, welches somit positiv semidefinit ist. Dies müsste dann doch parabolisch sein oder?
An der Stelle (1,1) habe ich dann als Eigenwert
(-1,53,9,69) heraus, welches somit indefinit ist. Dies müsste dann doch hyperbolisch sein oder?
Bloß ich weiß mir nicht zu helfen, wo ein elliptischer Punkt sein soll, da ich außer an der Stelle (0,0) immer einen negativen und einen positiven Eigenwert habe, aber für elliptische zwei positive Eigenwerte gegeben sein müssen.
Zum zweiten Teil hae ich noch keinen Ansatz.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
LG
Reaper3000
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie für die Funktion f(x,y) = [mm]x^{2}*e^{y}[/mm] die
> elliptischen, hyperbolischen und parabolischen Punkte. Wo
> liegen die lokalen und globalen Extrema?
> Hallo,
>
> zu Teil eins habe ich zu erst die partiellen Ableitungen
> berechnet und die Hesse-Matrix aufgestellt. Ich habe als
> Hesse-Matrix [mm]\pmat{ 2e^{y} & 2x*e^{y}*ln(e) \\ 2x*e^{y}*ln(e) & x^{2}*e^{y}*ln(e)^{2} }[/mm]
> heraus bekommen. Doch wie soll ich nun weiter verfahren?
Zuerst bestimmst Du die kritischen Stellen, an denen also $f'(x,y)=(0,0)$ wird. Dann erst schaust Du, was Dir die Hesse-Matrix über das Verhalten von $f$ an diesen kritischen Stellen sagen kann.
Deine Hesse-Matrix sieht übrigens ein wenig merkwürdig aus: denn es ist [mm] $\ln(\mathrm{e})=1$. [/mm] Du kannst diese [mm] $\ln(e)$ [/mm] und [mm] $\ln(e)^2$ [/mm] Faktoren also gleich weglassen.
> Ich hatte mir gedacht ich setze einfach ein paar Werte ein
> und bestimme dann die Eigenwerte um die Definitheit zu
> bestimmen.
>
> An der Stelle (0,0) habe ich dann als Eigenwert (0,2)
> heraus, welches somit positiv semidefinit ist. Dies müsste
> dann doch parabolisch sein oder?
Richtig. Aber es muss auf der $y$-Achse noch eine grössere Zahl von weiteren parabolischen Punkten geben. Die Punkte auf der $y$-Achse haben ja die Form $(0,y)$ und daher ist [mm] $f(0,y)=0^2\mathrm{e}^y=0$, [/mm] unabhängig von $y$. Wegen [mm] $x^2\mathrm{e}^y\geq [/mm] 0$, für alle [mm] $x,y\in\IR$, [/mm] müssen die Punkte auf der $y$-Achse sogar alle nicht-isolierte globale Extremstellen sein.
>
> An der Stelle (1,1)
Wird $f(x,y)$ an dieser Stelle überhaupt stationär? D.h. ist $f'(1,1)=(0,0)$? - Ich bezweifle dies.
> habe ich dann als Eigenwert
> (-1,53,9,69) heraus, welches somit indefinit ist. Dies
> müsste dann doch hyperbolisch sein oder?
Der Schluss von verschiedenen Vorzeichen der Eigenwerte auf "hyperbolisch" ist sicher richtig. - Aber es macht überhaupt keinen Sinn, die Eigenwerte der Hesse-Matrix zu berechnen, wenn die betreffende Stelle gar nicht kritisch ist.
>
> Bloß ich weiß mir nicht zu helfen, wo ein elliptischer
> Punkt sein soll, da ich außer an der Stelle (0,0) immer
> einen negativen und einen positiven Eigenwert habe, aber
> für elliptische zwei positive Eigenwerte gegeben sein
> müssen.
Es kann ja ohne weiteres sein, dass es keine elliptischen Punkte gibt.
>
>
> Zum zweiten Teil hae ich noch keinen Ansatz.
Globale Minimalstellen sind alle Punkte auf der $y$-Achse, globale Maximalstellen kann es keine geben: [mm] $f(x,y)=x^2\mathrm{e}^y$ [/mm] wird geht für [mm] $x,y\rightarrow +\infty$ [/mm] ja auch gegen [mm] $+\infty$.
[/mm]
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Hi
ich hab jetzt nachgerechnet und habe herausbekommen, dass nur an der Stelle (0,0) die Funktion stationär wird, da die Funktion ja nur 0 werden kann wenn x = 0 ist.
Liege ich da richtig?
Das würde ja bedeuten, dass ich nur eine parabolischen Punkt habe und keine ellipischen oder hyperbolischen existieren.
LG
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> Hi
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> ich hab jetzt nachgerechnet und habe herausbekommen, dass
> nur an der Stelle (0,0) die Funktion stationär wird, da die
> Funktion ja nur 0 werden kann wenn x = 0 ist.
>
> Liege ich da richtig?
Ich glaube es ist richtig, dass die Funktion genau für alle Punkte mit $x$-Koordinate $0$ (kurz: $x=0$) stationär wird. Aber dies sind, wie ich in meiner ersten Antwort schon geschrieben hatte, alle Punkte der $y$-Achse, d.h. alle Punkte der Form $(0,y)$ mit [mm] $y\in\IR$ [/mm] beliebig. $(0,0)$ ist also entschieden nicht der einzige Punkt, bei dem $f$ stationär wird.
>
> Das würde ja bedeuten, dass ich nur einen
> parabolischen Punkt habe
Sicher falsch: $f$ hat unendlich viele parabolische Punkte, nämlich alle Punkte der $y$-Achse.
> und keine ellipischen oder hyperbolischen
> existieren.
Richtig.
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