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| Aufgabe | Bereits bekannt sind die Gruppen G1= [mm] \IZ/4\IZ [/mm] und das direkte Produkt G2= [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ.
[/mm]
Zeigen Sie mit Hilfe von Verknüpfungstafeln der Form (e, a, b, c) dass G1 und G2 die einzigen endlichen Gruppen mit vier Elementen sind (bis auf Umbenennung der Elemente). Hierbei bzeichne e stets das neutrale Element.
Verwenden Sie, dass in der VErknüpfungstafel einer endlichen Gruppe jedes Element in jeder Zeile und Spalte genau einmal vorkommt (Können Sie dies begründen?). |
Hallo zusammen!
Ich hab jetzt die VErknüpfungstafeln mal aufgestellt. KLar ist dass die erste Spalte und Zeile genau bestimmt ist (bei beiden gleich), weil e ja das neutrale Element ist.
Aber dann hängts schon bei mir. Ich hab keine ahnung wie ich das begründen soll,.
Hat jemand nen Tipp für mich?
lg
Nadja
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Hallo!
Hast Du schon mal ein Sudoku gemacht? Das hier geht genauso, abgesehen davon, dass es eben nicht (wie bei einem Sudoku) nur eine Lösung gibt. hier sollst Du alle möglichen Lösungen finden.
Die wichtigste Regel steht ja schon beschrieben: Jedes Symbol darf in jeder Zeile und jeder Spalte nur einmal auftauchen. Jetzt kannst Du Dir ein freies Feld nehmen, z.B. das Feld, welches das Element $a [mm] \cdot [/mm] b$ bezeichnet und Möglichkeiten durchspielen.
Fall 1: $ab = e$. In diesem Fall kann die Verknüpfungstafel nur auf eine Art zu Ende ausgefüllt werden. Kannst du das nachweisen? Und welche Gruppe kommt heraus?
Fall 2: $ab = c$. Hier gibt es wieder zwei Möglichkeiten, entweder $ac = e$ und $ac = b$. In beiden Fällen ergibt sich eine eindeutige Tafel.
Nun hast Du 3 Tafeln und mehr Möglichkeiten gibt es nicht, weil Du alle Annahmen durchgespielt hast. Schau dann scharf hin und begründe, warum zwei der drei Tafeln doch gleich (bzw. isomorph) sind...
Viel Erfolg!
Lars
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