Endliche Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mi 20.07.2016 | | Autor: | Mathics |
Liebes Forum,
wenn es eine endliche Menge gibt, gibt es dann automatisch auch zu jedem Argument einen Funktionswert?
In Wikipedia steht in etwa, dass eine Menge M endlich heißt , wenn es eine natürliche Zahl n gibt, sodass eine Bijektion (eine Eins-zu-eins-Zuordnung) existiert.
LG
Mathics
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:40 Do 21.07.2016 | | Autor: | Fulla |
Hallo Mathics!
Das kann man so oder so definieren. Deine Formulierung ist aber ein bisschen holprig...
Zunächst mal heißt "bijektiv" insbesondere "surjektiv", d.h. jeder Funktionswert wird angenommen.
Die Definition wäre dann in etwa:
"Eine Menge M heißt endlich, wenn es ein [mm]n\in\mathbb N[/mm] und eine bijektive Abbildung [mm]f\colon M\to N:=\{1,\ldots ,n\}[/mm] gibt, so dass für jedes [mm]x\in M[/mm] ein [mm]y\in N[/mm] existiert mit [mm]f(x)=y[/mm]."
Diese Definition ist insofern praktisch, weil dieses [mm]n[/mm] gerade die Mächtigkeit der Menge [mm]M[/mm] angibt.
Alternativ könnte man auch "bijektiv" durch "injektiv" ersetzen. Damit wären aber mehrere (unendlich viele) Wahlen für [mm]n[/mm] möglich, weil nicht jede Zahl kleinergleich [mm]n[/mm] angenommen werden muss.
Beispiel:
Sei [mm]M:=\{A, B, C, D, \ldots , X, Y, Z\}[/mm] die Menge des lateinischen Alphabets. Sie ist offensichtlich endlich.
Um mit der ersten Definition argumentieren zu können, müsstest du eine Abbildung finden, die jeden Buchstaben auf genau ein Element der Menge [mm]N:=\{1, 2, 3,\ldots , 24, 25, 26\}[/mm] abbildet. Das ist in dem Fall nicht schwer: [mm]f(A):=1[/mm], [mm]f(B):=2[/mm], ..., [mm]f(Z):=26[/mm].
Mit der alternativen Definition könntest du auch [mm]N:=\{1, 2, \ldots , 100, 101, 102\}[/mm] nehmen und die Buchstaben auf die ersten 26 Primzahlen abbilden: [mm]f(A):=2[/mm], [mm]f(B)=:3[/mm], ..., [mm]f(Z):=101[/mm].
Hier könnte man jetzt hergehen und alle Nicht-Primzahlen aus [mm]N[/mm] streichen, und wir wären wieder bei ersterer Definition...
Beachte aber: "surjektiv" allein reicht nicht aus!
Sei [mm]M:=\mathbb R[/mm] und [mm]N:=\{1\}[/mm]. Die Abbildung [mm]f\colon M\to N[/mm] mit [mm]f(x):=1[/mm] ist surjektiv, aber [mm]M[/mm] ist nicht endlich.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Do 21.07.2016 | | Autor: | Mathics |
Hallo Fulla,
kann eine solche Funktion mit endlichen Mengen dann stetig sein? Weil sie besteht doch nur aus Punkten und nicht aus Verbindungslinien, oder?
LG
Mathics
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Do 21.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fulla,
>
> kann eine solche Funktion mit endlichen Mengen dann stetig
> sein? Weil sie besteht doch nur aus Punkten und nicht aus
> Verbindungslinien, oder?
Sind A und B nichtleere Mengen und f:A [mm] \to [/mm] B eine Funktion, so kann man nur von der Stetigkeit von f reden, wenn A und B topologische Räume sind.
Je nach dem, wie die Topologien auf A bzw. B beschaffen sind, kann f stetig sein oder auch nicht.
FRED
>
>
> LG
> Mathics
|
|
|
|
