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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Do 27.05.2010 | | Autor: | Lori7 |
| Aufgabe | | Sei B [mm] \subset [/mm] n. Zeigen Sie, dass B endlich ist und das |B| [mm] \leq [/mm] n gilt. (Benutze die Definition von Endlichkeit und Induktion). |
Hey,
Ich bräuchte zu der Aufgabe mal etwas Hilfe.
Also erstmal weiß ich gar nicht was dieses n ist, das müsste doch eine Teilmenge von [mm] \IN [/mm] sein oder? oder ein Element von [mm] \IN? [/mm] Leider ist das nicht näher erklärt :( Wie würde das denn Sinn machen?
Also unsere Definition von Endlichkeit lautet: X ist endlich, wenn es n [mm] \in \IN [/mm] und eine Bijektion f:X -> n gibt.
Also müsste ich eine bijektive Abbildung zwischen B und einem m [mm] \in \IN [/mm] finden? Weiß hier leider nicht weiter, vorallem wie ich da nun eine Induktion einbaue.
Wäre froh über etwas Hilfe. Liebe Grüße.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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Hallo Lori7,
so wie es da steht, ist der Aufgabentext vollkommen sinnleer.
Du bezeichnest mit klein n einmal eine Menge und einmal eine nat. Zahl ...
Ist vllt. dies gemeint:
[mm] $B\subset \{1,2,\ldots,n\}\Rightarrow [/mm] B \ [mm] \text{endlich und} [/mm] \ [mm] |B|\le [/mm] n$ ?
Im weiteren ist deine Def. von "endlich" haarsträubend.
[mm] $X\neq\emptyset$ [/mm] endlich, falls ex. [mm] $n\in\IN$ [/mm] und ex. Bijektion [mm] $\varphi:X\to\{1,\ldots,n\}$
[/mm]
Überprüfe die Aufgabenstellung dahingehend und editiere entsprechend...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:44 Do 27.05.2010 | | Autor: | Lori7 |
Hallo schachuzipus,
Sorry, ich hab die Aufgabe genauso vom Aufgabenzettel abgeschrieben. Das Deutsch von unserem Professor ist ziemlich schlecht, sodass man ihn häufig kaum versteht. Aber trotzdem kann man ja vollständige Aufgabenstellungen geben, da bräuchte man ja nur ein paar Zeichen, um das genau aufzuschreiben.
Ja stimmt schon einmal ist das n eine Menge und einmal eine Zahl, das macht keinen Sinn. Ich weiß auch nicht was er damit meint. Könnte mir höchstens das denken, was du geschrieben hast:
$ [mm] B\subset \{1,2,\ldots,n\}\Rightarrow [/mm] B \ [mm] \text{endlich und} [/mm] \ [mm] |B|\le [/mm] n $
Das macht doch am meisten Sinn oder? Gilt die Aussage denn?
Leider hätte ich auch erst nächsten Mittwoch ein Tutorium, um die Aufgabenstellung abzuklären.
Und die Definition hab ich auch genau aus meinem Skript abgeschrieben, höchstens vll. ein paar Rechtschreibfehler korrigiert...
Also ich würde die Aufgabe dann wie oben erwähnt interpretieren oder?
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
> Sorry, ich hab die Aufgabe genauso vom Aufgabenzettel
> abgeschrieben. Das Deutsch von unserem Professor ist
> ziemlich schlecht, sodass man ihn häufig kaum versteht.
> Aber trotzdem kann man ja vollständige Aufgabenstellungen
> geben, da bräuchte man ja nur ein paar Zeichen, um das
> genau aufzuschreiben.
> Ja stimmt schon einmal ist das n eine Menge und einmal eine
> Zahl, das macht keinen Sinn. Ich weiß auch nicht was er
> damit meint. Könnte mir höchstens das denken, was du
> geschrieben hast:
> [mm]B\subset \{1,2,\ldots,n\}\Rightarrow B \ \text{endlich und} \ |B|\le n[/mm]
>
> Das macht doch am meisten Sinn oder? Gilt die Aussage denn?
Ja!
> Leider hätte ich auch erst nächsten Mittwoch ein
> Tutorium, um die Aufgabenstellung abzuklären.
>
> Und die Definition hab ich auch genau aus meinem Skript
> abgeschrieben, höchstens vll. ein paar Rechtschreibfehler
> korrigiert...
>
> Also ich würde die Aufgabe dann wie oben erwähnt
> interpretieren oder?
Ich denke auch, dass es in diesem obigen Sinne gemeint ist.
Aber warten wir mal die Antwort von Angela ab ...
Gruß
schachuzipus
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> Sei B [mm]\subset[/mm] n. Zeigen Sie, dass B endlich ist und das |B|
> [mm]\leq[/mm] n gilt. (Benutze die Definition von Endlichkeit und
> Induktion).
> Hey,
> Ich bräuchte zu der Aufgabe mal etwas Hilfe.
> Also erstmal weiß ich gar nicht was dieses n ist, das
> müsste doch eine Teilmenge von [mm]\IN[/mm] sein oder?
Hallo,
dieses n kommt ja nicht vom Himmel geflogen...
Entweder wurde das auf dem Aufgabenblatt in vorhergehenden Teilaufgaben definiert, oder (wahrscheinlicher) in der Vorlesung.
Ich kenne mich in der Mengenlehre nicht gut aus.
Ich vermute mal, daß Ihr das von-Neumann-Modell der natürlichen Zahlen besprochen habt.
Hab' ich richtig geraten?
Hier ist
[mm] 0:=\emptyset
[/mm]
1:= 0 [mm] \cup \{0\}=\{0\}
[/mm]
[mm] 2:=1\cup \{1\}= \{0,1\}
[/mm]
3:= [mm] 2\cup\{ 2\} =\{0,1,2\}
[/mm]
usw.
> oder ein
> Element von [mm]\IN?[/mm]
Ja.
> Leider ist das nicht näher erklärt :(
> Wie würde das denn Sinn machen?
>
> Also unsere Definition von Endlichkeit lautet: X ist
> endlich, wenn es n [mm]\in \IN[/mm] und eine Bijektion f:X -> n
> gibt.
>
> Also müsste ich eine bijektive Abbildung zwischen B und
> einem m [mm]\in \IN[/mm] finden?
Ja.
> Weiß hier leider nicht weiter,
Ich finde das Weiterhelfen schwer, weil ich nicht weiß, was besprochen wurde, welches Bastelmaterial Dir also zur Verfügung steht.
> vorallem wie ich da nun eine Induktion einbaue.
Ich würde einfach mal anfangen:
zu zeigen:
für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt:
für B [mm]\subset[/mm] n ist B endlich und |B| [mm]\leq[/mm] n.
Induktionsanfang für n=0: ...
und dann weiterprobieren.
Versuch mal, wie weit Du kommst - vielleicht kann dann ja jemand weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 27.05.2010 | | Autor: | Lori7 |
Danke für deine Antowrt.
Also den Begriff Neumann-Modell habe ich noch nie gehört steht auch nicht in meinem Skript. Die Definition
n+1=n [mm] \cup \{n\} [/mm] steht aber in meinem Skript, also das was du geschrieben hast, nur halt ohne eine Bezeichnung dafür.
Also mit dieser Definition muss ich arbeiten?
Dann ist z.B.
B [mm] \subset [/mm] {0,1,2} und |B| [mm] \leq [/mm] 3 ?
Ok und dann mit Induktion. Also:
zu zeigen:
für alle $ [mm] n\in \IN [/mm] $ gilt:
für B $ [mm] \subset [/mm] $ n ist B endlich und |B| $ [mm] \leq [/mm] $ n.
Induktionsanfang für n=0:
Also B [mm] \subset \emptyset. [/mm]
Eine Teilmenge der leeren Menge ist doch nur die leere Menge oder? Also muss doch schon B= [mm] \emptyset [/mm] gelten oder? und die leere Menge ist endlich. Außerdem gilt [mm] |B|=|\emptyset|=0.
[/mm]
Also ist der Induktionsanfang gegeben?
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n [mm] \in \IN [/mm] folge aus B [mm] \subset [/mm] n, dass B endlich ist und |B| [mm] \leq [/mm] n.
Induktionsschluss n -> n+1.
B [mm] \subset [/mm] n+1= {0,1,...,n}.
Hm jetzt komm ich leider schon nicht weiter. kann mir hier noch jemand helfen? muss ich jetzt vll eine Fallunterscheidung machen, sowas wie sei n [mm] \not \in [/mm] B und n [mm] \in [/mm] B oder so?
Wäre super wenn wir noch jemand weiterhilft.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 So 30.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Danke für deine Antowrt.
> Also den Begriff Neumann-Modell habe ich noch nie gehört
> steht auch nicht in meinem Skript. Die Definition
> n+1=n [mm]\cup \{n\}[/mm] steht aber in meinem Skript, also das was
> du geschrieben hast, nur halt ohne eine Bezeichnung dafür.
> Also mit dieser Definition muss ich arbeiten?
Ja.
> Dann ist z.B.
> B [mm]\subset[/mm] {0,1,2} und |B| [mm]\leq[/mm] 3 ?
Im Falle $n=3$ ist Ersteres Voraussetzung und Letzteres zu zeigen.
> Ok und dann mit Induktion. Also:
> zu zeigen:
> für alle [mm]n\in \IN[/mm] gilt:
> für B [mm]\subset[/mm] n ist B endlich und |B| [mm]\leq[/mm] n.
>
> Induktionsanfang für n=0:
> Also B [mm]\subset \emptyset.[/mm]
> Eine Teilmenge der leeren Menge ist doch nur die leere
> Menge oder? Also muss doch schon B= [mm]\emptyset[/mm] gelten oder?
> und die leere Menge ist endlich. Außerdem gilt
> [mm]|B|=|\emptyset|=0.[/mm]
> Also ist der Induktionsanfang gegeben?
>
> Induktionsvoraussetzung:
> Für ein beliebiges, aber festes n [mm]\in \IN[/mm] folge aus B
> [mm]\subset[/mm] n, dass B endlich ist und |B| [mm]\leq[/mm] n.
>
> Induktionsschluss n -> n+1.
> B [mm]\subset[/mm] n+1= {0,1,...,n}.
Sieht alles gut aus! Ob irgendetwas detaillierter begründet werden soll, weiß ich nicht, glaube aber eher, dass das reicht.
> Hm jetzt komm ich leider schon nicht weiter. kann mir hier
> noch jemand helfen? muss ich jetzt vll eine
> Fallunterscheidung machen, sowas wie sei n [mm]\not \in[/mm] B und
> n [mm]\in[/mm] B oder so?
Haargenau! Es gilt zunächst eine Teilmenge von n zu konstruieren, um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können. Im Falle [mm] $n\not\in [/mm] B$ gibt es da einen sehr nahe liegenden Kandidaten... Im Falle [mm] $n\in [/mm] B$ betrachte die Menge [mm] $B\setminus\{n\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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