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Aufgabe | Hallo,
Sei eine abelsche Gruppe und ein surjektiver Homomorphismus mit . Bestimmen Sie mit und . |
ich würde mich freuen, wenn ihr mir ein kurzes Feedback zu meiner Lösung der Aufgabe geben könntet:
Meine Lösung: Wir berechnen die Elementarteiler der Matrix
In Einzelschritten:
Ich bin dabei streng nach der Beschreibung der Vorgehensweise in der Algebra von Bosch vorgegangen (Seite 80, falls jemand das Werk vor sich liegen hat).
Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen sagt mir nun, dass
ist.
Ist nicht, sobald selbst dabei ist, die ganze direkte Summe gleich ganz ? Klar, oder?
Das wäre dann aber immer so, wenn einer der Elementarteiler gleich ist.
Ich sehe nicht was ich falsch gemacht habe. Die ist im vierten Schritt dadurch entstanden, dass an dieser Stelle gilt. Daher habe ich Division mit Rest ausgeführt und erhalten. Aufgrund dieses Ergebnises dann (. Zeile) und (. Spalte) gerechnet. Ist ja klar, dass dann der Rest in Zelle steht; ist ja auch so gewünscht.
Liebe Grüße
Differential
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Kann mir denn niemand einen kleinen Tipp geben? So langsam verzweifle ich an dieser Aufgabe.
Für mich ist ganz klar $1$ einer der Elementarteiler, dann wäre aber die Gruppe isomorph zu [mm] $\mathbb{Z}$, [/mm] oder?
Stimmt das? Bitte gebt mir einen kleinen Hinweis.
Liebe Grüße
Differential
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Status: |
(Antwort) fertig | Datum: | 23:07 Sa 21.12.2013 | Autor: | felixf |
Moin Differential!
> Sei eine abelsche Gruppe und
> ein surjektiver Homomorphismus mit .
> Bestimmen Sie mit
> und .
>
>
> ich würde mich freuen, wenn ihr mir ein kurzes Feedback zu
> meiner Lösung der Aufgabe geben könntet:
>
> Meine Lösung: Wir berechnen die Elementarteiler der
> Matrix
>
>
> In Einzelschritten:
>
Ich hab das jetzt nicht nachgerechnet, ich gehe einfach mal davon aus dass es stimmt.
> Ich bin dabei streng nach der Beschreibung der
> Vorgehensweise in der Algebra von Bosch vorgegangen (Seite
> 80, falls jemand das Werk vor sich liegen hat).
> Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen sagt
> mir nun, dass
>
>
> ist.
Genau.
> Ist nicht, sobald selbst dabei ist, die ganze
> direkte Summe gleich ganz ? Klar, oder?
Nein. Es ist das direkte Produkt von [mm] $\IZ$ [/mm] mit der endlichen zyklischen Gruppe [mm] $\IZ/6\IZ$.
[/mm]
> Das wäre dann aber immer so, wenn einer der
> Elementarteiler gleich ist.
Nein. Elementarteiler vom Wert 1 (oder -1, je nachdem wie das bei euch definiert ist) fallen "weg", da [mm] $\IZ/1\IZ$ [/mm] die triviale Gruppe ist und $G [mm] \times \IZ/1\IZ \cong [/mm] G$ ist fuer jede Gruppe $G$.
> Ich sehe nicht was ich falsch gemacht habe.
Wie kommst du darauf, dass du etwas falsch gemacht hast?
(Also, hast du, und zwar weil du gesagt hast dass das Ergebnis isomorph zu [mm] $\IZ$ [/mm] selber ist, was nicht stimmt.)
LG Felix
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