Endomorphismen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:27 Di 15.11.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Mich quält eine Aufgabe, bei der ich nicht so recht weiter komme...
Seien V ein K-Vektorraum und f, g Endomorphismen von V mit
1. f [mm] \circ [/mm] f = f und g [mm] \circ [/mm] g = g
2. f + g = [mm] id_{V}
[/mm]
3. f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f = 0
Zeige, dass V = f(V) [mm] \oplus [/mm] g(V) gilt.
Also ich hab mir gedacht, dass das eigentlich doch schon aus Punkt zwei folgt, weil die Identität von V doch gleich V ist und dort auch f und g addiert werden, aber das wäre zueinfach und außerdem was sollten dann die anderen Punkte in der Aufgabe???....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Di 15.11.2005 | | Autor: | statler |
Einen schönen guten Morgen!
> Mich quält eine Aufgabe, bei der ich nicht so recht weiter
> komme...
>
> Seien V ein K-Vektorraum und f, g Endomorphismen von V mit
> 1. f [mm]\circ[/mm] f = f und g [mm]\circ[/mm] g = g
> 2. f + g = [mm]id_{V}[/mm]
> 3. f [mm]\circ[/mm] g = g [mm]\circ[/mm] f = 0
> Zeige, dass V = f(V) [mm]\oplus[/mm] g(V) gilt.
>
> Also ich hab mir gedacht, dass das eigentlich doch schon
> aus Punkt zwei folgt, weil die Identität von V doch gleich
> V ist und dort auch f und g addiert werden, aber das wäre
> zueinfach und außerdem was sollten dann die anderen Punkte
> in der Aufgabe???....
Das Zeichen [mm] \oplus [/mm] bedeutet 'direkte Summe', und aus 2. folgt nur, daß f(V) und g(V) V erzeugen. Man (d. h. du) muß jetzt noch zeigen, daß die Darstellung x = f(x) + g(x) eindeutig ist, oder glw. daß der Durchschnitt von f(V) und g(V) nur den 0-Vektor enthält. Dabei kommen dann die anderen Voraussetzungen ins Spiel.
Gruß aus dem regnerischen HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Di 15.11.2005 | | Autor: | bobby |
Also, das die Darstellung eindeutig ist ist mir klar, aber bei dem zweiten komm ich nicht weiter.
Ansich ist das ja logisch, dass wenn f+g=V ist, dass dann f geschnitten g den Nullvektor enthält, d.h. anschaulich ist das ja klar, aber mit dem Beweis hab ich so meine Probleme...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Mi 16.11.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Also, das die Darstellung eindeutig ist ist mir klar, aber
> bei dem zweiten komm ich nicht weiter.
> Ansich ist das ja logisch, dass wenn f+g=V ist, dass dann
> f geschnitten g den Nullvektor enthält, d.h. anschaulich
> ist das ja klar, aber mit dem Beweis hab ich so meine
> Probleme...
Ob dir das klar ist, ist mir nicht klar...Der Begriff 'direkte Summe' ist auf jeden Fall wichtig, damit muß man umgehen können.
Wenn ein x im Durchschnitt f(V) [mm] \cap [/mm] g(V) liegt, bedeutet das doch, daß es y und z in V gibt mit x = f(y) = g(z). Aber dann ist f(x) = f [mm] \circ [/mm] f(y) = f(y) und ebenso f(x) = f [mm] \circ [/mm] g(z) = 0 nach Voraussetzung. Und dann ist weiter x = 0, also ist der Durchschnitt der Nullraum!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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