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| Aufgabe | | Sei F End(V) , V endlichdimensionaler VR.Zeige dass aus [mm] rangF=rangF^2 [/mm] folgt: [mm] ImF=ImF^2. [/mm] |
wenn ich rang durch dimIm ersetze,kann ich doch [mm] sagen:dimImF=dimImF^2 [/mm] folgt [mm] ImF=ImF^2....gibt [/mm] es vielleicht einen satz der sagt,wenn zwei Abb Basen gleicher Länge haben,sind sie gleich (und damit auch ihre Bilder)?
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> Sei F End(V) , V endlichdimensionaler VR.Zeige dass aus
> [mm]rangF=rangF^2[/mm] folgt: [mm]ImF=ImF^2.[/mm]
> wenn ich rang durch dimIm ersetze,kann ich doch
> [mm]sagen:dimImF=dimImF^2[/mm] folgt [mm]ImF=ImF^2....gibt[/mm] es vielleicht
> einen satz der sagt,wenn zwei Abb Basen gleicher Länge
> haben,
Hallo,
ganz gewiß gibt es solch einen Satz nicht - denn Abbildungen haben keine Basis... Vektorräume haben eine Basis.
Überleg Dir mal, daß [mm] BildF^2\subseteq [/mm] BildF ist, und zieh daraus Deine Schlüsse.
Gruß v. Angela
> sind sie gleich (und damit auch ihre Bilder)?
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[mm] ImF^2 \subset [/mm] ImF ? ich dachte eher andersrum... was ist mit [mm] F^2 [/mm] eigentlich gemeint?dass man jeden fktwert quadriert oder was sonst?
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okay..das mit der teilmenge ist mir jetzt klar,aber wie kann daraus folgen,dass ImF = [mm] ImF^2 [/mm] ???
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> okay..das mit der teilmenge ist mir jetzt klar,aber wie
> kann daraus folgen,dass ImF = [mm]ImF^2[/mm] ???
Hallo,
was weißt Du denn über die Dimensionen?
Gruß v. Angela
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die dimension gibt die länge der basis an...das Bild F hat also gleichlange basis wie Bild [mm] F^2.....aber [/mm] nun? Bild F ist doch F(V) und Bild [mm] F^2 [/mm] ist F(F(V)) oder ? können nicht auch verschiedene Im Basen gleicher Länge haben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
1. [mm] ImF^2 \subseteq [/mm] ImF
2. $ [mm] rangF=rangF^2 [/mm] $, also dim(ImF) = [mm] dim(ImF^2)
[/mm]
Nun nimm mal an: [mm] ImF^2 \not= [/mm] ImF. Was sagt 2. dazu ?
FRED
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na vermutlich könnten beide Im nicht den gleichen rang haben, aber warum?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du 2 Unterräume [mm] U_1,U_2 [/mm] eines endlichdim. Vektorraumes hast und es gilt
[mm] U_1 \subseteq U_2 [/mm] und [mm] U_1 \not=U_2,
[/mm]
ist Dir dann klar, dass [mm] dimU_1< dimU_2 [/mm]
ist ? Wenn nicht, so denke an den Basisergänzungssatz
FRED
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kann ich schreiben: Im [mm] F^2 \subset [/mm] Im F (warum?), wenn Im [mm] F^2 [/mm] echte Teilmenge wäre,wäre dimIm [mm] F^2 [/mm] < dimIm F (BES) aber laut Voraussetzung sind sie gleich...damit kann Im [mm] F^2 [/mm] keine echte Teilmenge sein [mm] \Rightarrow [/mm] Im F = Im [mm] F^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> kann ich schreiben: Im [mm]F^2 \subset[/mm] Im F (warum?), wenn Im
> [mm]F^2[/mm] echte Teilmenge wäre,wäre dimIm [mm]F^2[/mm] < dimIm F (BES)
> aber laut Voraussetzung sind sie gleich...damit kann Im [mm]F^2[/mm]
> keine echte Teilmenge sein [mm]\Rightarrow[/mm] Im F = Im [mm]F^2[/mm]
O.K.
FRED
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schön. jetzt muss ich noch zeigen: [mm] ImF=ImF^2 \gdw KerF=KerF^2...könntet [/mm] ihr mir da noch einen tipp geben?
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> schön. jetzt muss ich noch zeigen: [mm]ImF=ImF^2 \gdw KerF=KerF^2...könntet[/mm]
> ihr mir da noch einen tipp geben?
Hallo,
zeige für "==>", daß die Dimensionen der beiden Kerne gleich sind. Falls Du es noch nicht getan hast, zeige die Teilemengenbeziehung zwischen den Kernen, und ziehe dann den Schluß, den Du schon kennst.
Die andere Richtung ist auch nicht viel anders.
Gruß v. Angela
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kannst du mir nochmal erklären, warum [mm] kerF^2 \subset [/mm] kerF ist?(hatte [mm] F^2 [/mm] zunächst falsch verstanden)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:08 Do 25.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> kannst du mir nochmal erklären, warum [mm]kerF^2 \subset[/mm] kerF
> ist?
Das ist i. allgemeinen doch gar nicht richtig !
Es gilt
kerF [mm] \subseteq kerF^2
[/mm]
Denn ist x [mm] \in [/mm] kerF, so ist Fx= 0, also auch [mm] F^2 [/mm] x = F(Fx) = 0.
FRED
>(hatte [mm]F^2[/mm] zunächst falsch verstanden)
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(genau dass hätte ich auch eher gedacht)1.ich weiß dass [mm] F^2 [/mm] die Komposition F [mm] \circ [/mm] F ist aber ist das dann [mm] F^2: [/mm] V [mm] \to [/mm] V [mm] \to [/mm] V ?
2. zum beweis...die dimension der ker ist doch gleich weil gleiche VR nicht verschiedene Dimensionen haben können,oder? aber wo kommt dann die Voraussetzung ImF [mm] =ImF^2 [/mm] ins Spiel?
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> (genau dass hätte ich auch eher gedacht)
Hallo,
und warum hast Du dann was anderes geschrieben?
> 1.ich weiß dass [mm]F^2[/mm]
> die Komposition F [mm]\circ[/mm] F ist aber ist das dann [mm]F^2:[/mm] V [mm]\to[/mm]
> V [mm]\to[/mm] V ?
Ja, wenn F aus dem V in den V abbildet, dann muß [mm] F^2 [/mm] das auch tun. Daran, daß [mm] F^2 [/mm] aus dem V abbildet, dürfte es wenig Zweifel geben, und in den Raum V muß es aufgrund der Machart der Abbildung auch gehen.
Hast Du Zweifel? Wenn ja: warum?
> 2. zum beweis...
Dieser Beweis hat zwei Richtungen, und Du solltest mitteilen, welche der beiden Du gerade bearbeitest.
> die dimension der ker ist doch gleich weil
> gleiche VR nicht verschiedene Dimensionen haben
Wenn Du gerade nachdenkst über Kern F =Kern [mm] F^2 [/mm] ==> Bild F= Bild [mm] F^2,
[/mm]
dann ist der Gedanke richtig.
> können,oder? aber wo kommt dann die Voraussetzung ImF
> [mm]=ImF^2[/mm] ins Spiel?
So ein kleines bißchen Eigeninitiative wäre nicht so übel...
Durchforste doch mal Deine Mitschrift und schau nch, ob es vielleicht Sätze gibt, die was übers Bild und den Kern erzählen und hier passen könnten.
Gruß v. Angela
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1.ich habe nochmal nachgefragt,weil ich mich frage,ob ich mir [mm] F^2 [/mm] auch so vorstellen kann V [mm] \gdw [/mm] V?
2. mithilfe der dimformel kann ich die rückrichtung beweisen....kann ich bei der hinrichtung ganz ähnlich vorgehen? also sagen warum dimBilder gleich und daraus folgern dass dimkerne gleich also kerne gleich?
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> 1.ich habe nochmal nachgefragt,weil ich mich frage,ob ich
> mir [mm]F^2[/mm] auch so vorstellen kann V [mm]\gdw[/mm] V?
Hallo,
ich geb mir wirklich Mühe, aber ich weiß nicht, was Du mit "V [mm]\gdw[/mm] V " meinst...
> 2. mithilfe der dimformel
Ja, die kann man dafür gut gebrauchen.
> kann ich die rückrichtung
> beweisen....kann ich bei der hinrichtung ganz ähnlich
> vorgehen? also sagen warum dimBilder gleich und daraus
> folgern dass dimkerne gleich also kerne gleich?
Eher andersrum, oder? Weil die Bilder gleich, ist Ihre Dimension gleich, und daraus bekommst Du die Gleichheit der Dimensionen der Kerne.
Für "Kerne gleich" mußt Du dann mit der Teilmengenbeziehung anrücken.
Gruß v. Angela
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> [mm]ImF^2 \subset[/mm] ImF ? ich dachte eher andersrum...
Tja.
> was ist
> mit [mm]F^2[/mm] eigentlich gemeint?dass man jeden fktwert quadriert
> oder was sonst?
[mm] F^2=F \circ [/mm] F
Gruß v. Angela
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