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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 So 13.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
| Aufgabe | Es sei K Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f:V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus. Ein Unterraum W [mm] \subseteq [/mm] V heißt f-invariant, wenn
f(W) [mm] \subseteq [/mm] W gilt.
(a) Sei W ein f-invarianter Unterraum von V und i:W [mm] \to [/mm] V der Einbettungshomomorphismus. Zeigen Sie, dass es einen Endomorphismus
g:W [mm] \to [/mm] W gibt mit f [mm] \circ [/mm] i = i [mm] \circ [/mm] g. |
Hallo Zusammen!
Bei dieser Aufgabe weiß ich nicht, wie ich anfangen und vorgehen soll. Könnt ihr mir hier helfen?
Liebe Grüße und danke,
Maja
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> Es sei K Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum
> und f:V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus. Ein Unterraum W [mm]\subseteq[/mm]
> V heißt f-invariant, wenn
> f(W) [mm]\subseteq[/mm] W gilt.
>
> (a) Sei W ein f-invarianter Unterraum von V und i:W [mm]\to[/mm] V
> der Einbettungshomomorphismus. Zeigen Sie, dass es einen
> Endomorphismus
> g:W [mm]\to[/mm] W gibt mit f [mm]\circ[/mm] i = i [mm]\circ[/mm] g.
> Hallo Zusammen!
>
> Bei dieser Aufgabe weiß ich nicht, wie ich anfangen und
> vorgehen soll. Könnt ihr mir hier helfen?
Hallo,
fang so an:
W ist ja ein Unterraum v. V, also hat W eine Basis, welch Du zu einer Basis v, V ergänzen kann.
f ist durch die Werte auf dieser Basis eindeutig bestimmt.
Überlege Dir, was es bedeutet, daß f W-invariant ist.
Überlege Dir, was der Einbettungshomomorphismus tut.
Berechne [mm] f\circ [/mm] i.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Di 15.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Hallo!
Danke für die Hilfe! Leider kommt ich noch nicht wirklich weiter..
Ich verstehe, dass eine Basis von W zu einer Basis von V ergänzt werden kann. Aber wie mache ich das? Wie schreibe ich das hin?
Und wie kann ich f [mm] \circ [/mm] i bestimmen?
Grüße,
Maja
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> Ich verstehe, dass eine Basis von W zu einer Basis von V
> ergänzt werden kann. Aber wie mache ich das?
> Wie schreibe
> ich das hin?
Hallo,
da W ein VR ist, hat W eine Basis [mm] (w_1,...,w_k).
[/mm]
Da W ein UVR von V ist, kann man [mm] (w_1,...,w_k) [/mm] durch Vektoren [mm] v_i [/mm] zu einer Basis [mm] (w_1,...,w_k, v_{k+1}, ...v_n) [/mm] von V ergänzen.
> Und wie kann ich f [mm]\circ[/mm] i bestimmen?
f ist bekannt, es ist ja eine vorgegebene lineare Abbildung,
und i kennen wir sogar explizit, das ist ja der Einbettungshomomorphismus.
Für [mm] f\circ [/mm] i mußt Du Dir überlegen, von welchem Raum in welchen Raum das geht, und dann gibst Du die Werte auf einer Basis des Startraumes an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Di 15.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Also, f:V [mm] \to [/mm] V und i: W [mm] \to [/mm] V, also ist f [mm] \circ [/mm] i = (f [mm] \circ [/mm] i)(x)= f(i(x)), also f [mm] \circ [/mm] i: V [mm] \to [/mm] V. Es wird also vom Vektorraum V in den Vektorraum V abgebildet.
Also brauche ich eine Basis aus V und da habe ich ja das berechnete [mm] (w_{1},...,w_{k}, v_{k+1},...,v_{n}).
[/mm]
Ist das soweit richtig? Aber wie bilde ich die Basis jetzt ab?
Danke,
Maja
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> Also, f:V [mm]\to[/mm] V und i: W [mm]\to[/mm] V, also ist f [mm]\circ[/mm] i = (f
> [mm]\circ[/mm] i)(x)= f(i(x)), also f [mm]\circ[/mm] i: V [mm]\to[/mm] V. Es wird also
> vom Vektorraum V in den Vektorraum V abgebildet.
Nein, guck Dir mal den Definitionsbereich von i an.
>
> Also brauche ich eine Basis aus V und da habe ich ja das
> berechnete [mm](w_{1},...,w_{k}, v_{k+1},...,v_{n}).[/mm]
>
> Ist das soweit richtig? Aber wie bilde ich die Basis jetzt
> ab?
Du weißt, daß lineare Abbildungen eindeutig durch die Angabe der Werte auf einer Basis bestimmt sind, hier also auf [mm] (w_{1},...,w_{k}).
[/mm]
Die Funktionswerte v. [mm] f(i(w_j)) [/mm] kannst Du doch leicht hinschreiben. Was ist denn [mm] i(w_j)?
[/mm]
Bedenke, daß Du f kennst. Mit "kennst" meine ich keine explizite Darstellung, aber diese Funktion ist Dir gegeben. Die hast Du.
Dann schau Dir den Raum an, in welchem die [mm] f(i(w_j)) [/mm] liegen.
Nun definiere g so, daß es paßt.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:57 Di 15.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Ups.. da hab ich mich wohl vertan: f [mm] \circ [/mm] i = W [mm] \to [/mm] V. Also wird von W nach V abgebildet.
[mm] i(w_{j}) [/mm] = [mm] v_{j} [/mm] und [mm] f(v_{j})=v_{j}. [/mm] Richtig?
Dann gilt [mm] i(w_{j})=f(v_{j}). [/mm] Nun definiere ich g: W [mm] \to [/mm] W, [mm] i(g(w_{j})=f(v_{j}).
[/mm]
STimmt das soweit?
Grüße
Maja
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> [mm]i(w_{j})[/mm] = [mm]v_{j}[/mm] und [mm]f(v_{j})=v_{j}.[/mm] Richtig?
Das kann man nur entscheiden, wenn man weiß, was bei Dir [mm] v_j [/mm] und [mm] w_j [/mm] sind. Die sind nämlich offensichtlich anders als die, die ich oben definiert hatte.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Do 17.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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