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| Aufgabe | Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und F ein Endomorphismus von V. Zeigen Sie die Äguivalenz folgender Aussagen:
a)
b) V= Kern(F) [mm] \oplus [/mm] Bild(F)
c) Bild (F) = Bild (FoF)
d) |
Im Lösungsblatt steht:
b => c
da Bild F [mm] \cap [/mm] Kern F = 0 ist [mm] F|_{BildF} [/mm] ist injetktiv und Surjektiv => Bild [mm] F|_{BildF} [/mm] = Bild F => Bild F = Bild (FoF)
Kann Jemad mir erklären warum [mm] F|_{BildF} [/mm] injetktiv und Surjektiv ist?
Ich bin der Meinung dass es falsch ist.
Vielen Dank
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Hallo,
Surjektivität sollte klar sein, da wir ja die Einschränkung der Abbildung auf ihr Bild betrachten.
Injektivität folgt, da der [mm] Kern=\{0\}. [/mm] Denn wir wissen ja dass Kern geschnitten Bild leer ist und wir ja nur die Einschränkung betrachten.
Gruß Patrick
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Für mich ist leider Surjektivität nicht klar.
Z. B.
V = {b1, b2, b3} sind unsere Basen.
F(b1) = b2
F(b2) = b3
F(b3) = b3
Für $ [mm] F|_{BildF} [/mm] $
F(b2) = b3
F(b3) = b3
Das ist nicht surjektiv.
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> Für mich ist leider Surjektivität nicht klar.
Hallo,
das ist auch nicht sofort klar, und wie Du anmerkst, gilt es i.a. nicht.
Wir betrachten [mm] F|_{BildF}: [/mm] Bild F [mm] \to \Bild [/mm] F (Endomorphismus)
unter der Voraussetzung, daß V die direkte Summe von Kern und Bild ist.
Du kannst nun zeigen, daß Kern ($ [mm] F|_{BildF} [/mm] $) nur die 0 enthalt, woraus folgt, daß $ [mm] F|_{BildF} [/mm] $ injektiv ist.
Dann gibt es den Satz, der für endlichdimensionale VR (also auch für Bild F) sagt: Endomorphismus injektiv <==> Endomorphismus surjektiv.
Gruß v. Angela
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Jetzt ist es klarer.
Kern (F) = {0} ist aber auch nicht gebeben. Wir wissen nur Bild F [mm] \oplus [/mm] Kern F = 0 ist.
z. Bsp.
V = {b1, b2, b3} F ist V->V ein Endomorphismus.
F(b1) = b2
F(b2) = b3
F(b3) = b3
Für $ [mm] F|_{BildF} [/mm] $
Bild F -> Bild F
F(b2) = b3
F(b3) = b3
Das ist weder injektiv noch surjektiv.
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> Jetzt ist es klarer.
>
> Kern (F) = {0} ist aber auch nicht gebeben. Wir wissen nur
> Bild F [mm]\oplus[/mm] Kern F = 0 ist.
>
> z. Bsp.
> V = {b1, b2, b3} F ist V->V ein Endomorphismus.
>
> F(b1) = b2
> F(b2) = b3
> F(b3) = b3
Ja, aber das ist kein Endomorphismus mit V= Bild F [mm] \oplus [/mm] Kern F, rechne es nach!
Gruß v. Angela
>
> Für [mm]F|_{BildF}[/mm]
> Bild F -> Bild F
>
> F(b2) = b3
> F(b3) = b3
>
> Das ist weder injektiv noch surjektiv.
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Du hast recht. Das ist kein endomorphismus.
Ist diese Beispiel richtig?
Bsp:
V = {b1, b2, b3} F ist V->V ein Endomorphismus.
F(b1) = b2
F(b2) = 0
F(b3) = b1
Für
Bild F -> Bild F
F(b1) = b2
F(b2) = 0
Das ist weder injektiv noch surjektiv.
Sag bitte nicht dass alle endomorphismen injektiv sind.
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> Du hast recht. Das ist kein endomorphismus.
Hallo,
doch, ein Endomorphismus von [mm] V:= [/mm] nach V war das schon, die Voraussetzung V=kern f [mm] \oplus [/mm] bild f war nicht erfüllt.
>
> Ist diese Beispiel richtig?
>
> Bsp:
> V = {b1, b2, b3} F ist V->V ein Endomorphismus.
>
> F(b1) = b2
> F(b2) = 0
> F(b3) = b1
>
> Für
> Bild F -> Bild F
>
> F(b1) = b2
> F(b2) = 0
>
> Das ist weder injektiv noch surjektiv.
Das ist richtig, aber auch hier ist wieder nicht V=kern f [mm] \oplus [/mm] bild f.
> Sag bitte nicht dass alle endomorphismen injektiv sind.
Nein. Das würde ich niemals behaupten!
Gruß v. Angela
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1- Diese Kern F + Bild F = V gilt nur wenn der Homomorphismus eine Lineare Abbildung ist oder?
2- Kannst du mir bitte den Unterschied zwischen ein Homomorphismus und Lineare Abbildung sagen?
3- Noch mal für die Aufgabe. Woher kommt Kern F = 0.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 1- Diese Kern F + Bild F = V gilt nur wenn der
> Homomorphismus eine Lineare Abbildung ist oder?
Das gilt nur bei bestimmten linearen Abbildungen. Und es kann sogar bei nicht-linearen Abbildungen gelten.
> 2- Kannst du mir bitte den Unterschied zwischen ein
> Homomorphismus und Lineare Abbildung sagen?
Sind zwei verschiedene Woerter fuer das gleiche.
> 3- Noch mal für die Aufgabe. Woher kommt Kern F = 0.
Es gilt nicht [mm] $\ker [/mm] F = 0$, sondern [mm] $\ker (F|_{Bild F}) [/mm] = 0$. Das sind zwei sehr verschiedene Aussagen!
Dazu beachte: [mm] $\ker (F|_{Bild F}) [/mm] = [mm] \{ v \in Bild F \mid F(v) = 0 \} [/mm] = Bild F [mm] \cap \ker [/mm] F$. Und das ist nach Voraussetzung 0 (da $V = [mm] \ker [/mm] F [mm] \oplus [/mm] Bild F$).
LG Felix
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Warum $ [mm] \ker (F|_{Bild F}) [/mm] = 0 $ ?
Kannst du es zeigen bitte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:01 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Warum [mm]\ker (F|_{Bild F}) = 0[/mm] ?
>
> Kannst du es zeigen bitte.
Ich habe es dir gerade gezeigt. Wenn du einen Zwischenschritt nicht verstanden hast, dann sag bitte genau welcher es ist.
LG Felix
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jetzt habe ich es gesehen.
Vielen Dank.
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