www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Abbildungen" - Endomorphismus
Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Endomorphismus: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Do 08.12.2011
Autor: yangwar1

Aufgabe
Es sei F : V → V ein Endomorphismus des Vektorraums V und ein v ∈ V so wählbar, dass für ein
n ∈ N ∪ {0} gilt:
$ [mm] F^n(v) \not= [/mm] 0 und [mm] F^{n+1}(v) [/mm] = 0 $
Beweisen Sie, dass dann die Familie $ (v, F (v), . . . , [mm] F^n [/mm] (v)) $ linear unabhängig ist. Dabei bedeutet [mm] F^n [/mm] die n−fache Komposition von F mit sich selbst, wobei $ [mm] F^0 [/mm] $ die identische Abbildung auf V ist.




Ich komme bei der Aufgabe nicht recht weit.
Ein Endomorphismus ist eine lineare Abbildung, wenn F:V->V. Demnach ist in diesem Fall F linear. Also muss gelten:
i) $ [mm] F(v_1 [/mm] $ + $ [mm] v_2) [/mm] $ = $ [mm] F(v_1) [/mm] $ + $ [mm] F(v_2) [/mm] $
ii) $ [mm] F(\lambda [/mm] $ v) = $ [mm] \lambda \cdot [/mm] $ F(v)
mit v aus V.
Und es soll gelten, dass wenn,

$ [mm] \lambda_{1}*v+...+\lambda_{n-1}*F^n(v)=0 [/mm] die einzige Lösung ist:
$ [mm] \lambda_{1}=...=\lambda_{n-1}=0 [/mm] $
Hab ich das richtig verstanden, dass das erste Glied der Familie mit $ [mm] F^0(v) [/mm] = v $ beginnt? Steht ja in der Aufgabenstellung, dass $ [mm] F^0 [/mm] $ die identische Abbildung ist? Bedeutet dies, dass es überhaupt nicht abgebildet wird bzw. in V bleibt.
Stimmt der Index von Lambda?




        
Bezug
Endomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Do 08.12.2011
Autor: kamaleonti

Hallo yangwar1,
> Es sei F : V → V ein Endomorphismus des Vektorraums V und
> ein v ∈ V so wählbar, dass für ein  n ∈ N ∪ {0} gilt:
>  [mm]F^n(v) \not= 0 und F^{n+1}(v) = 0[/mm]
>  Beweisen Sie, dass dann die Familie [mm](v, F (v), . . . , F n (v))[/mm] linear unabhängig
> ist. Dabei bedeutet F n die n−fache Komposition von F mit
> sich selbst, wobei [mm]F^0[/mm] die identische Abbildung auf V ist.

Wende nacheinander [mm] $F^{n},F^{n-1},\ldots,F^2,F$ [/mm] auf die Gleichung

        [mm] \lambda_{0}*v+...+\lambda_{n}*F^n(v)=0 [/mm]

an und Du wirst so (induktiv) sehen, dass

         [mm] \lambda_i=0 [/mm]

für [mm] i=0,\ldots,n. [/mm]

LG

Bezug
                
Bezug
Endomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Fr 09.12.2011
Autor: yangwar1

Nein, das verstehe ich leider so noch nicht. Könntest du mir das bitte noch einmal genauer erklären?

Bezug
                        
Bezug
Endomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Fr 09.12.2011
Autor: fred97

Wende [mm] F^n [/mm] auf



        $ [mm] \lambda_{0}\cdot{}v+...+\lambda_{n}\cdot{}F^n(v)=0 [/mm] $

an. Dann bekommst Du:

           [mm] \lambda_0F^n(v)=0. [/mm]

Da [mm] F^n(v) \ne [/mm] 0 ist, folgt [mm] \lambda_0=0 [/mm]

Dann hast Du also noch:

        $ [mm] \lambda_{1}\cdot{}F(v)+...+\lambda_{n}\cdot{}F^n(v)=0 [/mm] $

Daruf wendest Du [mm] F^{n-1} [/mm] an und bekommst:


           [mm] \lambda_1F^n(v)=0, [/mm]

also [mm] \lambda_1=0. [/mm] Etc....

FRED
      

Bezug
                                
Bezug
Endomorphismus: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:52 Fr 09.12.2011
Autor: yangwar1

Also die Familie lautet doch:
$ (v, F (v), . . . , [mm] F^n [/mm] (v)) $
Ist das äquivalent zu:
$ (F^0v, [mm] F^1 [/mm] (v), . . . , [mm] F^n [/mm] (v)) $

Für die lineare Abhängigkeit muss
$ [mm] \lambda_1= \lambda_2 [/mm] = [mm] \cdots [/mm] = [mm] \lambda_n [/mm] = 0 $ als einzige Lösung der Gleichung $ [mm] \lambda_1*F^0(v)+ \cdot [/mm] + [mm] \lambda_n*F^{n+1}(v) [/mm] = 0 $

>Wende $ [mm] F^n [/mm] $ auf
>
>
>

>        $ [mm] \lambda_{0}\cdot{}v+...+\lambda_{n}\cdot{}F^n(v)=0 [/mm] $

>
>an. Dann bekommst Du:
>

>           $ [mm] \lambda_0F^n(v)=0. [/mm] $

Das hier verstehe ich nicht.
Die anderen Schritte schon, erfolgt dann der Beweis mittels Induktion?

Bezug
                                        
Bezug
Endomorphismus: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 11.12.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
Endomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Fr 09.12.2011
Autor: yangwar1

Es würde viel zu meinem Verständnis beitragen, wenn man mir einmal den Schritt erklären würde:
"Wende $ [mm] F^n [/mm] $ auf die "Gleichung" an erklären würde.

Bedeutet dieser Schritt folgendes:
$ [mm] \lambda_{0}*F^n(v)+\lambda_{2}* F^{n+1}(v)+ \cdots+\lambda_{n}F^{n+n}(v)=0 [/mm] $
Dann folgt mit den zwei Bedingungen:
$ [mm] \lambda_{0}*F^n(v)+0+\cdots+0=0 [/mm] $

Habe jetzt mit der Forensuche noch folgendes gefunden:
Man soll das F auf beiden Seiten anwenden. Ich kann mir darunter aber nichts vorstellen. Dass F kann doch nur auf einen Vektor angewendet werden, also immer einzeln oder gar auf die komplette linke seite?

Bezug
                                        
Bezug
Endomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 So 11.12.2011
Autor: kamaleonti


> Es würde viel zu meinem Verständnis beitragen, wenn man
> mir einmal den Schritt erklären würde:
>  "Wende [mm]F^n[/mm] auf die "Gleichung" an erklären würde.
>  
> Bedeutet dieser Schritt folgendes:
>  [mm]\lambda_{0}*F^n(v)+\lambda_{2}* F^{n+1}(v)+ \cdots+\lambda_{n}F^{n+n}(v)=0[/mm]

Ja.

>  
> Dann folgt mit den zwei Bedingungen:
>  [mm]\lambda_{0}*F^n(v)+0+\cdots+0=0[/mm]
>  
> Habe jetzt mit der Forensuche noch folgendes gefunden:
>  Man soll das F auf beiden Seiten anwenden. Ich kann mir
> darunter aber nichts vorstellen. Dass F kann doch nur auf
> einen Vektor angewendet werden, also immer einzeln oder gar
> auf die komplette linke seite?

F ist eine lineare Abbildung. Wenn man F auf beiden Seiten der Gleichung anwendet, kann man auf der linken Seite die Linearität benutzen und erhält das, was Du oben geschrieben hast.

LG


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de