Endomorphismus / Geraden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | a) Beschreibe alle Endomorphismen von [mm] \IR^2, [/mm] welche die Parallele zur x-Achse durch den Punkt (1,1) in sich abbildet.
b) Zeige: Ist [mm] \phi [/mm] ein Endomorphismus des [mm] \IR^n [/mm] und v ein Eigenvektor von [mm] \phi, [/mm] so bildet [mm] \phi [/mm] jede zu [mm] \IR [/mm] v parallele Gerade in eine zu [mm] \IR [/mm] v parallele Gerade ab. |
Hallo,
zu a)
Endomorphismus bedeutet ja eine Abbildung in sich selbst. D.h. gesucht sind letztlich alle Vielfachen der Gerade durch den Punkt (1,1):
Die Gerade parallel zur X-Achse durch (1,1) ist [mm] \pmat{ 1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 \\ 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ a \\ c }
[/mm]
=> c=0, Rest beliebig
also ist der gesuchte Endomorphismus:
M:= [mm] \pmat{ a & b \\ 0 & d }: \IR^2 \mapsto \IR^2
[/mm]
Ist dies richtig?
Zu b) Hier habe ich gar keinen Ansatz. Lässt sich hier evtl. was mit phi(v)=cv für v ein Eigenvektor machen? Für einen Tip wäre ich dankbar.
Gruß,
Rutzel
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Hi,
> a) Beschreibe alle Endomorphismen von [mm]\IR^2,[/mm] welche die
> Parallele zur x-Achse durch den Punkt (1,1) in sich
> abbildet.
>
> b) Zeige: Ist [mm]\phi[/mm] ein Endomorphismus des [mm]\IR^n[/mm] und v ein
> Eigenvektor von [mm]\phi,[/mm] so bildet [mm]\phi[/mm] jede zu [mm]\IRv[/mm] parallele
> Gerade in eine zu [mm]\IRv[/mm] parallele Gerade ab.
> Hallo,
>
> zu a)
> Endomorphismus bedeutet ja eine Abbildung in sich selbst.
> D.h. gesucht sind letztlich alle Vielfachen der Gerade
> durch den Punkt (1,1):
>
> Die Gerade parallel zur X-Achse durch (1,1) ist [mm]\pmat{ 1 \\ 0 }[/mm]
das musst du mir mal genauer erklaeren...
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 \\ 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ a \\ c }[/mm]
>
> => c=0, Rest beliebig
was du hier definierst, sind die Endos., die die x-achse in sich selbst abbilden. Den vektor (1,1) ignorierst du einfach...
>
> also ist der gesuchte Endomorphismus:
> M:= [mm]\pmat{ a & b \\ 0 & d }: \IR^2 \mapsto \IR^2[/mm]
>
> Ist dies richtig?
dein ansatz muss doch lauten:
[mm] $A\cdot((1,1)+\lambda (1,0))=(1,1)+\mu [/mm] (1,0)$
und zwar: fuer alle [mm] \lambda [/mm] muss es ein [mm] \mu [/mm] geben, s.d. diese aussage gilt.
zu b) schreib dir doch einfach mal mathematisch hin, was zu zeigen ist. Das ist dann eigentlich ein zweizeiler.
gruss
matthias
>
> Zu b) Hier habe ich gar keinen Ansatz. Lässt sich hier
> evtl. was mit phi(v)=cv für v ein Eigenvektor machen? Für
> einen Tip wäre ich dankbar.
>
> Gruß,
> Rutzel
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