Endomorphismus als Summe < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:22 So 02.01.2011 | | Autor: | f71715 |
| Aufgabe | | Zeigen sie: jeder Endomorphismus f:V-->V ist Summe zweier Automorphismen. |
Guten Abend und frohes neues Jahr,
ich weiß zwar, das Automorphismen sowohl Isomorphismen sind als auch Endomorphismen. Also müssen, wegen der Bijektivität, die Spaltenvektoren der Transformationsmatrizzen jeweils eine Basis von V sein. Weiter müssen diese Matrizzen regulär sein, was ja erfüllt ist, da sie Basen sind. Kurz: Ein Endomorphismus f:V-->V sollte sich als Summe zweier Basen aus V darstellen lassen.
Ist das richtig und wenn ja, wie kann ich das allgemein formulieren?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 04.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Di 04.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen sie: jeder Endomorphismus f:V-->V ist Summe zweier
> Automorphismen.
Das ist so falsch.
Gegenbeispiel: $V = [mm] \IF_2$, [/mm] als [mm] $\IF_2$-Vektorraum, [/mm] mit dem Endomorphismus $f = [mm] id_V$, [/mm] also $f(v) = v$ fuer alle $v [mm] \in [/mm] V$.
Ich vermute, du hast eine sehr wichtige Kleinigkeit vergessen, naemlich eine Information ueber den Koerper.
> Guten Abend und frohes neues Jahr,
> ich weiß zwar, das Automorphismen sowohl Isomorphismen
> sind als auch Endomorphismen. Also müssen, wegen der
> Bijektivität, die Spaltenvektoren der
> Transformationsmatrizzen jeweils eine Basis von V sein.
> Weiter müssen diese Matrizzen regulär sein, was ja
> erfüllt ist, da sie Basen sind. Kurz: Ein Endomorphismus
> f:V-->V sollte sich als Summe zweier Basen aus V darstellen
> lassen.
Jetzt wirfst du Begriffe wie Basen und Endomorphismen durcheinander.
Wenn du es mit Basen formulieren willst: jedes Paar [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] von $n$ Vektoren (mit $n = [mm] \dim [/mm] V$) laesst sich als [mm] $v_i [/mm] = [mm] w_i [/mm] + w'_i$ schreiben, wobei [mm] $(w_1, \dots, w_n), (w_1', \dots, w_n')$ [/mm] Basen von $V$ sind.
Mit der Beschreibung kommst du allerdings nicht so gut weiter.
Schau dir doch erstmal einen Spezialfall an, und zwar dass die Darstellungsmatrix von $f$ (bzgl. einer passenden Basis) eine Diagonalmatrix ist. Wann ist so eine Diagonalmatrix invertierbar?
Wenn du die Aufgabe in diesem Spezialfall geloest hast, schau dir obere Dreiecksmatrizen an.
Zum weiteren Vorgehen ist es wichtig zu wissen was du schon alles weisst bzw. nicht weisst. Da koennen wir weiterschauen wenn du die Aufgabe erstmal in den Spezialfaellen geloest hast.
LG Felix
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