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| Aufgabe | Brachistochronenproblem:
Zwei gegeben Punkte, welche verschiedenen Abstand vom Erdboden haben und nicht senkrecht übereinander liegen, sollen durch eine Curve verbunden werden, auf welcher ein beweglicher Körper vom oberen Punkt ausgehend vermöge seiner eigenen Schwere in kürzester Zeit zum unteren Punkte gelangt.
Der Sinn dieser Aufgabe ist der: unter den unendlich vielen Curven , welche die beiden Punkte verbinden, soll diejenige ausgewählt werden, längs welcher, wenn sie durch die entsprechen gekrümmte sehr dünne Röhre ersetzt wird, ein hineingelegtes und freigelassenes Kügelchen, seinen Weg von einem zum anderen Punkte in kürzester Zeit durchmißt. |
Hallo,
ich bin grade dabei mir den Beweis zu Bernoullis Brachistochronenproblem. näherzubringen.
Das Problem ist für meine Frage nur für den Kontext relevant.
Ich scheitere leider ein bisschen an den physikalischen Grundlagen.
Ich habe also eine Kugel, die eine Kurve runterrollt.
In dem Beweis steht da, dass wegen dem Energieerhaltungssatz gilt:
[mm] \frac{1}{2}mv^2 [/mm] = mgy(x)
wobei m Masse, v Geschwindigkeit, g Erdbeschleunigung und y(x) die Höhe ist (vertikale Entfernung vom Startpunkt) ist. Die Reibung wird nicht beachtet.
Eigentlich gilt doch aber :
[mm] E_{kin} [/mm] + [mm] E_{pot}= [/mm] konst.
Warum kann ich hier sagen, dass die Energien gleich sind?
Und warum kann ich x beliebig wählen? Müsste nicht am Anfang der Kurve die potentielle Energie und am Ende die kinetische Größer sein?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe =)
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Hallo!
Generell gebe ich dir vollkommen recht, das sieht irgendwie merkwürdig aus. Allerdings muß man auch immer den Kontext wissen.
Es kann sein, daß y(x) die Höhe bezeichnet, um die die Masse bereits gefallen ist. Dann würde das passen.
Ich finde das dennoch merkwüdig, und würde mir da auch erstmal selbst diese Herleitung angucken.
Zu der anderen Frage: Die verstehe ich nicht. Gesucht ist eine Funktion y(x). Die Bedingung ist erstens, daß sie durch die Koordinaten von Start- und Endpunkt geht und zweitens, daß die Zeit für die Strecke, die die Funktion beschreibt, minimal ist. Natürlich ist klar, daß x nur zwischen den x-Koordinaten von Start und Ende Sinn macht. Für y gilt das aber nicht unbedingt. Es ist möglich, daß der tiefste Punkt der Kurve tiefer als der Endpunkt liegt. Das passiert dann, wenn der horizontale Abstand der Punkte groß gegenüber dem vertikalen ist. Dann ist die MAsse schneller, wenn sie erstmal sehr tief fällt und ne hohe Geschwindgkeit aufbaut, dann den großen horizontalen Abstand überwindet, und am Ende wieder etwas in die Höhe muß, um den Endpunkt zu erreichen.
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Ja, y(x) ist der Wert um den die Kugel bereits gefallen ist. Das kam wohl nicht ganz raus.
Der genaue Satz aus dem Beweis ist [...], x die horizontale Entfernung vom Nullpunkt, y(x) die Höhe[...]
Die Frage wäre jetzt: Warum passt das genau?
Und die andere Frage mit dem beliebigen x:
Warum gilt diese Formel für jedes x und nicht nur für ein bestimmtes.
Ich kann mir vorstellen, dass es eine Stelle gibt, an der kinetische gleich der potentiellen Energie ist. Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass das auch für ein x nah am Startpunkt, oder nah am Endpunkt gilt.
Aber wenn du erklärst, warum die Formel passt, wenn y(x) die schon gefallene Höhe ist, dann erledigt sich die Frage automatisch.
Vielen Dank für deine Hilfe =)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Di 27.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die potentielle Energie kann man an einem beliebigen Punkt 0 setzen meist in der Hohe 0
dann hat die Kugel am Anfang die kinetische Energie 0 die potentielle m*g*h
m*g*h ist also die Gesamtenergie und konstant. an der Stelle h(x) ist dann die Energie [mm] mgh(x)+m/2*v^2=mg*h
[/mm]
oder [mm] m/2*v^2=mg(h-h(x))
[/mm]
nun wird in der Herleitung offensichtlich h-h(x)=y(x) gesetzt also ist y das durchfallene Stück.
ich sah gerade in wiki die Herleitung, die fangen bei h=0 an, y(x) ist deshalb negativ, y(0)=0
dabei spielt nur h eine Rolle für die Energie, wie weit die Kugel (da reibungsfrei) waagerecht kommt spielt keine Rolle. So kann man eine Kugel -wenn ohne Reibung eine lange flache Ebene oder eine kurze steile runtergleiten lassen , solange sie in derselben Höhe startet hat sie am Ende die gleiche Geschwindigkeit.
Gruß leduart
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