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Hallo,
Ich habe gerade angefangen mich durch "Probability" von A. N. Shiryayev durchzuarbeiten. Vor mir liegt die englische Version des Buchs und dort steht die folgende
| Aufgabe | 2.5
Let [mm] A_1,\ldots,A_n [/mm] be events, and define [mm] S_0,S_1,\ldots, S_n [/mm] as follows: [mm] S_0=1,
[/mm]
[mm] S_r=\sum_{J_r}P(A_{k_1}\cap\ldots\cap A_{k_r}), \qquad $1\leq r\leq [/mm] n$,
where the sum is over the unordered subsets [mm] J_r=[k_1,\ldots,k_r] [/mm] of [mm] \{1,\ldots,n\}.
[/mm]
Let [mm] B_m [/mm] be the event in which each of the events [mm] A_1,\ldots,A_n [/mm] occurs exactly m times.
Show that
[mm] P(B_m)=\sum_{r=m}^n(-1)^{r-m}C_r^m S_r.
[/mm]
In particular, for m=0
[mm] P(B_0)=1-S_1+S_2-\ldots\pm S_n.
[/mm]
[...] |
Ich bin leider trotz längeren Überlegens nicht darauf gekommen, was genau das Ereignis [mm] B_m [/mm] sein soll. Was ist mit "Let [mm] B_m [/mm] be the event in which each of the events [mm] A_1,\ldots,A_n [/mm] occurs exactly m times." gemeint? Mein "Fachenglisch" ist noch nicht so gut  .
Für [mm] P(B_0) [/mm] steht dann ja die Siebformel da.
Bitte um Hilfe.
LG
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Hallo kamaleonti,
> 2.5
> Let [mm]A_1,\ldots,A_n[/mm] be events, and define [mm]S_0,S_1,\ldots, S_n[/mm]
> as follows: [mm]S_0=1,[/mm]
>
> [mm]S_r=\sum_{J_r}P(A_{k_1}\cap\ldots\cap A_{k_r}), \qquad[/mm]
> [mm]1\leq r\leq n[/mm],
>
> where the sum is over the unordered subsets
> [mm]J_r=[k_1,\ldots,k_r][/mm] of [mm]\{1,\ldots,n\}.[/mm]
> Let [mm]B_m[/mm] be the event in which each of the events
> [mm]A_1,\ldots,A_n[/mm] occurs exactly m times.
> Show that
>
> [mm]P(B_m)=\sum_{r=m}^n(-1)^{r-m}C_r^m S_r.[/mm]
>
> In particular, for m=0
>
> [mm]P(B_0)=1-S_1+S_2-\ldots\pm S_n.[/mm]
>
> [...]
>
>
> Ich bin leider trotz längeren Überlegens nicht darauf
> gekommen, was genau das Ereignis [mm]B_m[/mm] sein soll. Was ist mit
> "Let [mm]B_m[/mm] be the event in which each of the events
> [mm]A_1,\ldots,A_n[/mm] occurs exactly m times." gemeint? Mein
> "Fachenglisch" ist noch nicht so gut .
Sei [mm] B_m [/mm] das Ereignis, bei dem jedes der Ereignisse [mm] A_1,\cdots,A_n [/mm] genau m mal vorkommt.
Das ist in der Tat ein bisschen unverständlich, weil hier m*n Ereignisse zu einem zusammengefasst werden, ungeachtet ihrer Reihenfolge.
> Für [mm]P(B_0)[/mm] steht dann ja die Siebformel da.
Das sieht ja auch plausibel aus. Durchdacht hab ichs aber nicht.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
danke zunächst für deine Antwort.
> Sei [mm]B_m[/mm] das Ereignis, bei dem jedes der Ereignisse
> [mm]A_1,\cdots,A_n[/mm] genau m mal vorkommt.
> Das ist in der Tat ein bisschen unverständlich, weil hier
> m*n Ereignisse zu einem zusammengefasst werden, ungeachtet
> ihrer Reihenfolge.
So 100% verstanden habe ich es immer noch nicht.
Sähe [mm] B_2 [/mm] für [mm] A_1,A_2,A_3 [/mm] zum Beispiel so aus:
[mm] B_2=A_1A_2\cup A_1A_3\cup A_2A_3 [/mm] ?
Das ist die Vereinigung aller Schnitte von je zwei (=m) verschiedenen Ereignissen [mm] A_i. [/mm] Das passt irgendwie nicht, denn wenn die Vermutung mit der Siebformel stimmt, sollte doch eigentlich
[mm] B_0=A_1\cup A_2\cup A_3
[/mm]
sein. Dieses Ereignis würde ich dann aber eher mit [mm] B_1 [/mm] bezeichnen... Ideen?
LG
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Hallo kamaleonti,
wie gesagt, es ist auch im Englischen etwas kraus. Ich verstehe das so:
> > Sei [mm]B_m[/mm] das Ereignis, bei dem jedes der Ereignisse
> > [mm]A_1,\cdots,A_n[/mm] genau m mal vorkommt.
> > Das ist in der Tat ein bisschen unverständlich, weil
> hier
> > m*n Ereignisse zu einem zusammengefasst werden, ungeachtet
> > ihrer Reihenfolge.
>
> So 100% verstanden habe ich es immer noch nicht.
> Sähe [mm]B_2[/mm] für [mm]A_1,A_2,A_3[/mm] zum Beispiel so aus:
>
> [mm]B_2=A_1A_2\cup A_1A_3\cup A_2A_3[/mm] ?
Nein, jedes Ereignis soll zweimal vorkommen, also [mm] B_2=\bigcup \pi(A_1A_1A_2A_2A_3A_3)=\cdots
[/mm]
[mm] \cdots=A_1A_1A_2A_2A_3A_3\cup A_1A_1A_2A_3A_2A_3\cup A_1A_1A_2A_3A_3A_2\cup A_1A_1A_3A_2A_2A_3\cup \cdots
[/mm]
Es gibt 90 mögliche Anordnungen für [mm] B_2. [/mm] Für [mm] B_3 [/mm] sind es schon 1680, allgemein [mm] |B_n|=\vektor{3n\\n}*\vektor{2n\\n}=\bruch{(3n)!}{(n!)^3} [/mm] Anordnungen schon bei nur drei Ereignissen [mm] A_i.
[/mm]
Bei m Ereignissen sind es dann natürlich [mm] |B_n|=\bruch{(mn)!}{(n!)^m} [/mm] Möglichkeiten.
> Das ist die Vereinigung aller Schnitte von je zwei (=m)
> verschiedenen Ereignissen [mm]A_i.[/mm] Das passt irgendwie nicht,
> denn wenn die Vermutung mit der Siebformel stimmt, sollte
> doch eigentlich
>
> [mm]B_0=A_1\cup A_2\cup A_3[/mm]
>
> sein. Dieses Ereignis würde ich dann aber eher mit [mm]B_1[/mm]
> bezeichnen... Ideen?
[mm] B_1=A_1A_2A_3\cup A_1A_3A_2\cup A_2A_1A_3\cup A_2A_3A_1\cup A_3A_1A_2\cup A_3A_2A_1
[/mm]
Einfacher wirds natürlich, wenn die Reihenfolge der A-Ereignisse bedeutungslos ist, aber dazu sagt die "Aufgabe" nichts.
Grüße
reverend
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 So 06.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo reverend,
> Nein, jedes Ereignis soll zweimal vorkommen, also
> [mm]B_2=\bigcup \pi(A_1A_1A_2A_2A_3A_3)=\cdots[/mm]
>
> [mm]\cdots=A_1A_1A_2A_2A_3A_3\cup A_1A_1A_2A_3A_2A_3\cup A_1A_1A_2A_3A_3A_2\cup A_1A_1A_3A_2A_2A_3\cup \cdots[/mm]
>
> Es gibt 90 mögliche Anordnungen für [mm]B_2.[/mm] Für [mm]B_3[/mm] sind es schon 1680, allgemein
> [mm]|B_n|=\vektor{3n\\n}*\vektor{2n\\n}=\bruch{(3n)!}{(n!)^3}[/mm]
> Anordnungen schon bei nur drei Ereignissen [mm]A_i.[/mm]
Hm... also sowas habe ich noch nicht bei einem einfachen Zufallsexperiment gesehen. Ich kann z.B. mit dem Ereignis [mm] A_1A_1A_2A_2A_3A_3 [/mm] nichts anfangen, wenn es etwa von [mm] A_1A_2A_1A_2A_3A_3 [/mm] verschieden ist. Für mich sind Ereignisse Teilmengen einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] und da wäre eben
[mm] A_1A_1A_2A_2A_3A_3=A_1A_2A_1A_2A_3A_3=A_1A_2A_3.
[/mm]
Ich weiß also noch nicht wirklich, wohin ich mich hier bewege.
>
> Bei m Ereignissen sind es dann natürlich
> [mm]|B_n|=\bruch{(mn)!}{(n!)^m}[/mm] Möglichkeiten.
>
> > Das ist die Vereinigung aller Schnitte von je zwei (=m)
> > verschiedenen Ereignissen [mm]A_i.[/mm] Das passt irgendwie nicht,
> > denn wenn die Vermutung mit der Siebformel stimmt, sollte
> > doch eigentlich
> >
> > [mm]B_0=A_1\cup A_2\cup A_3[/mm]
> >
> > sein. Dieses Ereignis würde ich dann aber eher mit [mm]B_1[/mm]
> > bezeichnen... Ideen?
>
> [mm]B_1=A_1A_2A_3\cup A_1A_3A_2\cup A_2A_1A_3\cup A_2A_3A_1\cup A_3A_1A_2\cup A_3A_2A_1[/mm]
>
> Einfacher wirds natürlich, wenn die Reihenfolge der
> A-Ereignisse bedeutungslos ist, aber dazu sagt die
> "Aufgabe" nichts.
In dem Buch wurde bis dahin auch noch nichts vergleichbares behandelt.
Ich habe die Aufgabe jetzt einfach übersprungen, der Rest war alles klar:
Den Shiryayev möchte ich jedenfalls etwas gründlicher lesen, da ich mich (erst kürzlich) dazu entschlossen habe, Stochastik zu vertiefen.
LG
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